Bài tập giới hạn hàm 2 biến số có lời giải

Tóm tắt nội dung tài liệu

1. H c ph n: Gi i tích 2 – L p Lý 1SP – 2007 – 2008 Bài t p GI I H N C A HÀM S HAI BI N S Bài 1: Xét các gi i h n c a các hàm s sau khi [x, y] → [0; 0] [ x + y] 2 x+ y xy [ x 2 − y 2 ] x2 − y2 1. 2. 2 3. 2 4. x + y2 x2 + y 2 x2 + y 2 x + y2 x + 2y x2 + y 2 x3 − y 3 x2 y 8. 5. 6. 7. x4 + y 4 x2 − y 2 3x 2 + 2 y 2 3x 2 + 2 y 2 3x3 + 2 y 2 x3 y 2 x2 y xy 10. 9. 11. 12. x6 + y 4 x2 + y 2 x4 + 3 y 2 3x 2 + 2 y 2 −3 x 3 − y 2 x4 + y4 x2 y5 x2 y 2 13. 14. 15. 16. 3x3 + 2 y 2 x2 + 3 y2 2 x 4 + 3 y10 2x2 + 3 y4 Bài 2: Tính các gi i h n l p c a hàm s khi [x, y] → [0; 0] x− y ln[1 + x 2 y + x] sin[ xy ] 1. 2. 3. x+ y 1 − 3 1 + xy x x3 + y 3 − x − y 3 5. x y + y x 4. x y 6. x2 + y 2 1 1 f [ x, y ] = x sin + y sin có gi i h n kép khi x → 0, y → 0 Bài 3: Ch ng t r ng hàm s y x nhưng 2 gi i h n l p không t n t i. x2 y 2 f [ x, y ] = Bài 4: Ch ng minh r ng hàm s có: x 2 y 2 + [ x − y]2 limlim f [ x, y ] = limlim f [ x, y ] = 0 x→0 y →0 y →0 x →0 Nhưng không có gi i h n kép lim f [ x, y ] . [ x ; y ] →[0;0] Bài 5: Cho hàm s   x3 + y 3   x2 − y 2  ;[ x; y ] ≠ [0;0] ;[ x; y ] ≠ [0;0] cos  a. f [ x, y ] =   x 2 + y 2  b. f [ x , y ] =  x 2 + y 2  a a ;[ x; y ] = [0;0] ;[ x; y ] = [0;0]   Ch n a b ng bao nhiêu ñ f[x;y] liên t c t i [0;0]? GV biên so n: Nguy n Vũ Th Nhân – T Toán – Lý – Khoa V t lý – ðHSP

Page 2

YOMEDIA

Tài liệu ôn tập luyện thi vào cao đẳng, đại học dành cho các bạn học sinh về giới hạn của hàm số hai biến số...

18-04-2011 1083 93

Download

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2009-2019 TaiLieu.VN. All rights reserved.

1. Các định nghĩa:

1.1 Định nghĩa 1:

Ta nói dãy điểm dần đến điểm và viết , nếu dãy khoảng cách dần đến 0 khi .

Nhận xét:

Vì

nên :

Ví dụ 1:

;

1.2 Định nghĩa 2:

Điểm là điểm tụ của tập E khi và chỉ khi có một dãy sao cho

1.3 Định nghĩa 3:

Giả sử hàm số z = f[x,y] xác định trong một lân cận V nào đó của điểm [có thể trừ điểm ].

Ta nói L là giới hạn của hàm số f[x; y] khi M[x;y] dần tiến đến khi và chỉ khi: với mọi dãy dần tiến đến ta đều có:

Khi đó, ta viết: hay

1.4 Định nghĩa 4:

L là giới hạn của hàm số f[x; y] khi [hay là nếu:

Nhận xét:

1. Từ định nghĩa, rõ ràng giới hạn tồn tại là duy nhất. Do đó, f[x; y] phần dần tới cùng số L dù [x; y] dần đến theo kiểu gì. Trong không gian 2 chiều, càng có nhiều kiểu để [x; y] dần đến , nên càng khó tồn tại giới hạn.

2. Khái niệm giới hạn trên đôi lúc chúng ta còn gọi là giới hạn kép của hàm hai biến số.

3. Để chứng minh hàm số không tồn tại giới hạn, Ta xét 2 dãy , cùng dần tiến về nhưng : .

4. Các tính chất giới hạn của tổng, tích, thương của hàm hai biến hoàn toàn tương tự với tính chất của hàm 1 biến

Ghi chú: Ta quy ước tất cả giới hạn được lấy khi .

2. Định lý:

Cho thì:

1.

2. [c là hằng số hữu hạn]

3.

4.

3. Định lý giới hạn kẹp:

Giả sử f[x; y], g[x; y] và h[x;y] cùng xác định trên D , và:

Hơn nữa:

Khi đó:

4. Các ví dụ:

a.

b. .

Cách 1: Ta xét hai dãy

Ta có: .

Và:

nhưng

Vậy hàm số đã cho không có giới hạn.

Cách 2: Xét dãy điểm [x; y] tiến đến [0; 0] theo đường thẳng y = kx. [k – hằng số]. Ta có:

Do đó, giới hạn hàm số phụ thuộc theo hệ số góc k. Nên, với những giá trị k khác nhau ta sẽ có giá trị giới hạn khác nhau.

Vậy hàm số đã cho không có giới hạn.

c.

Ta có:

Mà:

nên theo định lý giới hạn kẹp ta có:

Vậy:

5. Giới hạn lặp:

Xét hàm số f[x; y]. Cố định giá trị , xem hàm f[x; y] như hàm 1 biến x. Giả sử tồn tại giới hạn:

Nếu tồn tại giới hạn: thì a được gọi là giới hạn lặp của f[x; y] khi và viết:.

Hoàn toàn tương tự ta cũng có khái niệm: