Bài tập hình học 11 trang 112 bài 25
|
Follow along with the video below to see how to install our site as a web app on your home screen. Note: This feature currently requires accessing the site using the built-in Safari browser. Cho hai mặt phẳng vuông góc (P) và (Q) có giao tuyến Δ. Lấy A, B cùng thuộc Δ và lấy C ϵ (P), D ϵ (Q) sao cho AC ⊥ AB, BD ⊥ AB và AB = AC = BD. Xác định thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (α) đi qua điểm A và vuông góc với CD. Tính diện tích thiết diện khi AC = AB = BD = a. Đề bài Cho hai mặt phẳng vuông góc \((P)\) và \((Q)\) có giao tuyến \(Δ\). Lấy \(A, B\) cùng thuộc \(Δ\) và lấy \(C ϵ (P), D ϵ (Q)\) sao cho \(AC ⊥ AB, BD ⊥ AB\) và \(AB = AC = BD\). Xác định thiết diện của tứ diện \(ABCD\) khi cắt bởi mặt phẳng \((α)\) đi qua điểm \(A\) và vuông góc với \(CD\). Tính diện tích thiết diện khi \(AC = AB = BD = a.\) Phương pháp giải - Xem chi tiết + Xác định mp \((α)\) và tìm thiết diện + Tình diện tích thiết diện. Lời giải chi tiết +) Xác định mặt phẳng \((α)\) và thiết diện. Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\). Ta có: \(AI ⊥ BC\) vì \(AC=AB\). (1) Do \(BD ⊥ AB\) - là giao tuyến chung nên \(BD ⊥ mp(ABC) \Rightarrow BD ⊥ AI.\) (2) Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AI ⊥ (DBC) \subset DC .\) Trong \(mp(DCB)\), từ \(I\), kẻ \(IJ ⊥ CD (J ϵ CD)\) \(\Rightarrow DC ⊥ AI \) và \(DC ⊥ IJ\) \(\Rightarrow DC ⊥ (AIJ) \) Vậy \(mp(AIJ)\) chính là mặt phẳng \((α)\) và thiết diện phải tìm là tam giác \(AIJ\). +) Tính diện tích tam giác \(AIJ\) Ta có: tam giác \(AIJ\) vuông tại \(I\) vì \( AI ⊥ (DBC) \subset IJ .\) Vậy \({S_{AIJ}} = \frac{1}{2}.AI.IJ\) Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt 2 a\) Và \( AI = CI = BI = \frac{{BC}}{2} = \frac{{\sqrt 2 a}}{2}\) Lại có: \(\Delta CIJ\) đồng dạng với \(\Delta CDB\) (chung góc \(C\) và \(\hat J = \hat B = 90^0\)) \( \Rightarrow \frac{{IJ}}{{DB}} = \frac{{CI}}{{CD}} \Rightarrow IJ = DB.\frac{{CI}}{{CD}}\) Mà \(DB = a,\;\;CI = \frac{{\sqrt 2 a}}{2};\;\;CD = \sqrt {B{C^2} + B{D^2}} = \sqrt 3 a\) \( \Rightarrow IJ = a.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}:\sqrt 3 a = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\) \( \Rightarrow {S_{AIJ}} = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{{a\sqrt 6 }}{6} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{12}}\) Cho hai mặt phẳng vuông góc (P) và (Q) có giao tuyến Δ. Lấy A, B cùng thuộc Δ và lấy C ϵ (P), D ϵ (Q) sao cho AC ⊥ AB, BD ⊥ AB và AB = AC = BD. Xác định thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (α) đi qua điểm A và vuông góc với CD. Tính diện tích thiết diện khi AC = AB = BD = a. Gọi I là trung điểm của BC thì AI ⊥ BC. Do BD ⊥ mp(ABC) nên AI ⊥ CD (định lí ba đường vuông góc). Trong mp(CDB), kẻ IJ vuông góc với CD (J ϵ CD) thì mp(AIJ) chính là mặt phẳng (α) và thiết diện phải tìm là tam giác AIJ Tam giác AIJ là tam giác vuông tại I. Vậy \({S_{AIJ}} = \frac{1}{2}AI.IJ\) Ta có: \(\begin{array}{*{20}{l}} {AI = \frac{1}{2}BC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}}\\ \begin{array}{l} \frac{{IJ}}{{DB}} = \frac{{CI}}{{CD}} \Rightarrow IJ = \frac{{CI}}{{CD}}.DB\\ \= \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{a\sqrt 3 }}.a = \frac{{a\sqrt 6 }}{6} \end{array} \end{array}\) Vậy \({S_{AIJ}} = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{{a\sqrt 6 }}{6} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{12}}\) Haylamdo giới thiệu lời giải bài tập Toán 11 trang 112 Chân trời sáng tạo, Cánh diều sẽ giúp học sinh lớp 11 dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 112. Giải Toán 11 trang 112 Chân trời sáng tạo, Cánh diều- Toán lớp 11 trang 112 Tập 1 (sách mới):
- Toán lớp 11 trang 112 Tập 2 (sách mới): Lưu trữ: Giải Toán 11 trang 112 (sách cũ) Bài 25 (trang 112 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hai mặt phẳng vuông góc (P) và (Q) có giao tuyến Δ . Lấy A, B cùng thuộc Δ và lấy C Є (P), D Є (Q) sao cho AC ⊥ AB, BD ⊥ AB và AB = AC = BD. Xác định thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mp(α) đi qua điểm A và vuông góc với CD tính diện tích thiết diện khi AC = AB = BD = a Lời giải: Gọi I là trung điểm của BC thì AI ⊥ BC ( vì tam giác ABC vuông cân tại A có AI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao). Trong mp(CDB) , kẻ IJ vuông góc với CD (J Є CD) thì mp(AIJ) chính là mp(α) và thiết diện phải là tam giác AIJ |
