a. Định lý
Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại 1 điểm thì:
- Điểm đó cách đều hai tiếp điểm
- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến
- Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm
b. Ví dụ
Nếu AM; AN là tiếp tuyến của [O] [M; N là 2 tiếp điểm]. Khi đó:
AM = AN
AO là phân giác của $\widehat{MAN}$
OA là phân giác của $\widehat{MON}$
\n \n
2. Đường tròn nội tiếp tam giác
a. Định nghĩa
- Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác [tam giác ngoại tiếp đường tròn]
- Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao của 3 đường phân giác
b. Ví dụ
Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC
\n \n
3. Đường tròn bàng tiếp tam giác
a. Định nghĩa
- Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác
- Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác trong một góc là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại hai góc còn lại hoặc là giao điểm của đường phân giác trong góc đó và đường phân giác góc ngoài một trong hai góc còn lại.
- Với một tam giác, có ba đường tròn bàng tiếp
b. Ví dụ
- Đường tròn tâm K bàng tiếp trong góc A của tam giác ABC
\n \n
- Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc A là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại B và C hoặc là giao điểm của đường phân giác trong góc A và đường phân giác góc ngoài tại B [hoặc C].
Bài viết dưới đây, Itoan sẽ tổng hợp các kiến thức cơ bản về tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau một cách dễ hiểu và khái quát nhất cho các bạn. Bao gồm các công thức, định lý cần thiết và đặc biệt là một số dạng toán thường gặp về các tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.
Mắc dù các bài giảng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau xuất hiện ở lớp 9 những dạng bài này sẽ xuyên suốt quá trình học trung học. Đây cũng là một mảng kiến thức không thể thiếu trong thi đại học. Vậy nên hãy học tập chăm chỉ và chú ý với những gì Itoan đề cập trong bài viết dưới đây nhé!
Tiếp tuyến – tiếp điểm
Để có thể hiểu rõ được vấn đề thì điều đầu tiên đó là có thể hiểu được khái niệm của những yếu tố chính trong khái niệm đó. Itoan sẽ mang tới cho bạn định nghĩa chi tiết và giúp bạn hiểu được tiếp tuyến nghĩa là gì.
Tiếp tuyến là một đường thẳng chỉ “chạm” đường cong tại một điểm duy nhất thuộc đường cong. Điểm cắt duy nhất giữa đường thẳng và đường cong đó được gọi là tiếp điểm. Hai khái niệm này là những khái niệm cơ bản nhất của phần toán hình học vi phân và được áp dụng rộng rãi từ những bài toán cơ bản cho tới những bài toán nâng cao phức tạp.
Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
Tiếp tuyến đường tròn và các đường thẳng vuông góc với bán kính đường tròn và giao tại một điểm duy nhất. Nếu hai tiếp tuyến trên cùng một đường tròn cắt nhau thì sẽ có những tính chất như sau:
- Điểm cắt nhau của hai tiếp tuyến ngoài đường tròn thì cách đều hai tiếp điểm
- Tia phân giác của góc hợp bởi hai tiếp tuyến thì đi qua tâm
- Tia nối từ tâm của đường tròn tới điểm giao nhau của hai tiếp tuyến là đường phân giác của góc tạo bởi hai bán kính vuông góc với tiếp tuyến đó
Đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của một tam giác
- Đường tròn tiếp xúc tại một điểm với mỗi cạnh của một tam giác. Hay đa giác thì được gọi là đường tròn nội tiếp hay đa giác được gọi là đa giác ngoại tiếp
- Đường tròn được gọi là ngoại tiếp. Khi đường tròn đó đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác.
- Các đa giác chỉ có duy nhất một đường tròn nội tiếp và ngoài tiếp cho mỗi đa giác khác nhau
Trong môn học toán 9 tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có thể rút ra thêm một đặc điểm. Đó là tâm của đường tròn nội tiếp của một tam giác. Sẽ là giao điểm của các đường phân giác của các góc thuộc tam giác ngoại tiếp đường tròn.
Có một số đặc điểm của đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác. Cần chú ý để có thể áp dụng vào bài tập như sau:
- Tâm đường tròn ngoại tiếp của một tam giác. Là giao điểm của ba đường trung trực kẻ từ ba cạnh của tam giác đó.
- Trung điểm của cạnh huyền chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp/ Nếu tam giác đó là tam giác vuông.
- Khác với đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp có tâm. Là giao của ba đường phân giác từ đỉnh của ba góc thuộc tam giác.
Đường tròn bàng tiếp của một tam giác
Đường tròn có hai phần tiếp xúc với một cạnh của tam giác. Và phần còn lại tiếp xúc với phần kéo dài của hai cạnh khác của tam giác. Gọi là đường tròn bàng tiếp của một tam giác.
Tâm của một đường tròn bàng tiếp sẽ nằm ở trong góc A. Và thuộc điểm cắt của phân giác ngoài của góc B và góc C. Hoặc cũng có thể là điểm đồng quy của ba đường phân giác góc A, đường phân giác góc ngoài của B và C. Mỗi tam giác thường có ba đường tròn bàng tiếp khác nhau.
Các dạng bài tập về tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau.
Ở lớp 9, các bạn sẽ được làm quen với nhiều bài toán là kết hợp của nhiều dạng toán và định lý khác nhau. Những dạng bài toán có liên quan tới tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau được chia làm hai loại cơ bản:
- Chứng minh các đường thẳng là song song, vuông góc, bằng nhau. Hoặc tỉ lệ với nhau dựa vào các tính chất đã nêu trên.
- Chứng minh một đường thẳng đi qua đường tròn là tiếp tuyến. Sau khi chứng minh thì tính các đại lượng chính xác cho các cạnh, các góc và các tỉ lệ đề bài yêu cầu khác. Với bài toán này, học sinh có thể áp dụng các định lý. Hay hệ thức lượng hay các tính chất liên quan tới tam giác. Và đường tròn ngoài các tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau.
Các bài toán về tiếp tuyến luôn là những bài toán làm các bạn học sinh đau đầu. Không chỉ là những bài chứng minh đơn giản cơ bản lớp 9. Các đường tiếp tuyến còn theo các bạn học sinh xuyên suốt. Tới các bài toán ôn thi đại học. Chính vì vậy, qua bài viết trên Itoan mong muốn gửi tới cho các bạn những kiến thức tổng hợp về lý thuyết và hai dạng bài tập cơ bản. Chúc các bạn học tập tốt!
TÍNH CHẤT HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU
Bài 1. Cho đường tròn và điểm M nằm bên ngoài đường tròn. Qua M kẻ hai tiếp tuyến tới đường tròn [A, B là các tiếp điểm]. Từ điểm C trên cung nhỏ AB kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt lần lượt ở P và Q. Biết \[AM\bot BM\].
a] Tứ giác MAOB là hình gì ? Vì sao ?
b] Tính chu vi \[\Delta MPQ\];
c] Tính góc \[\widehat{POQ}\].
Bài 2. Cho \[\Delta ABC\] cân ở A. Vẽ đường tròn tâm D đường kính BC cắt AC và AB lần lượt ở E và F. Gọi H là giao điểm của BE và CF. Chứng minh rằng :
a] Bốn điểm A,E,H,F cùng thuộc một đường tròn.
b] DE là tiếp tuyến của đường tròn nói trong câu a].
Bài 3. Cho đường tròn [O; 5cm], đường kính AB, tiếp tuyến Bx. Gọi C là một điểm trên đường tròn sao cho \[\widehat{BAC}=30^o\], tia AC cắt Bx ở E.
a] Chứng minh rằng: \[BC^2=AC.CE\] ; b] Tính độ dài đoạn BE.
Bài 4. Cho nửa đường tròn [O], đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến xy của nửa đường tròn. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A và điểm B trên xy. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C xuống AB. Chứng minh :
a] C là trung điểm của MN; b] \[CH^2=AM.BN\]
Bài 5. Cho đường tròn và đường thẳng [d] không giao nhau. Dựng tiếp tuyến của đường tròn [O] sao cho tiếp tuyến đó song song với đường thẳng [d].
Bài 6. Cho đường tròn [O] và điểm M nằm bên ngoài đường tròn. Qua M vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn; A, B là các tiếp điểm sao cho \[\widehat{AMB}=90^0\]. Qua điểm C trên cung nhỏ AB kẻ tiếp tuyến với đường tròn [O] cắt MA và MB lần lượt ở P và Q. Chứng minh rằng: \[\dfrac{1}{3}[MA+MB]