Bài tập về cực trị của hàm số bậc 3

Cực trị của hàm số là gì?

Cho hàm sốy=f[x]liên tục và xác định trên khoảng[a;b]và điểmx0∈[a;b]

Hàm sốf[x]đạt cực đại tạix0nếu tồn tại sốh>0sao chof[x]0sao chof[x]>f[x0]với mọix∈[x0−h;x0+h]vàx≠x0

Định lý:

Cực trị của hàm số bậc 3 là gì?

Cho hàm số bậc 3y=f[x]=ax3+bx2+cx+d

Đạo hàmy′=f′[x]=3ax2+2bx+c

Hàm sốf[x]có cực trị⇔f[x] có cực đại và cực tiểu

⇔f′[x]=0có hai nghiệm phân biệt⇔Δ‘=b2−3ac>0

Hàm sốf[x]không có cực trị⇔Δ‘=b2−3ac≤0

Bài tập về cực trị hàm đa thức bậc 3

Dạng 1: Tìm điểm cực trị hàm số bậc 3

Đây là dạng bài cơ bản nhất, chỉ cần sử dụng Định lý ở mục trên là có thể tìm được cực đại, cực tiểu của hàm số.

Ví dụ:

Tìm cực trị của hàm số :f[x]=x3−3x2−2

Cách giải:

Tập xác địnhD=R

Ta có :

f′[x]=3x2−6x=3x[x−2]

Mặt khác :

f′′[x]=6x−6

⇒f′′[0]=−60⇒hàm số đạt cực đại tại điểm[2;−6]

Dạng 2: Tìmmđể hàm số bậc 3 có 2 cực trị

Bài toán:Tìmmđể hàm sốy=f[x;m]=ax3+bx2+cx+dcó2điểm cực trị vớia,b,c,dlà các hệ chứam

Cách làm:

Bước 1:Tập xác địnhD=R. Tính đạo hàmy′=3ax2+2bx+c

Bước 2:Hàm số có2cực trị⇔Δ‘=b2−3ac>0

Bước 3:Giải bất phương trình trên, tìm ra điều kiện củam

Ví dụ:

Tìmmđề hàm sốf[x]=y=2x3+3[m−1]x2+6[m−2]x–1có hai điểm cực trị

Cách giải:

Xéty=2x3+3[m−1]x2+6[m−2]x–1 có tập xác địnhD=R

Ta có :

y′=6x2+6[m−1]x+6[m−2]

Để hàm số có hai cực trị thìy′=0có hai nghiệm phân biệt

⇔x2+[m−1]x+[m−2]=0có hai nghiệm phân biệt

⇔Δ=[m−1]2−4[m−2]>0

⇔m2−6m+9=[m−3]2>0

⇔m≠3

Dạng 3: Tìmmđể hai cực trị thỏa mãn điều kiện

Bài toán:Tìmmđể hàm sốy=f[x;m]=ax3+bx2+cx+dcó2điểm cực trịx1;x2thỏa mãn điều kiệnKvớia,b,c,dlà các hệ chứam

Cách làm:

Bước 1:Tập xác địnhD=R. Tính đạo hàmy′= 3ax2+2bx+c

Bước 2:Hàm số có2cực trị⇔Δ‘=b2−3ac>0. Giải bất phương trình này tìm đượcm∈D1

Bước 3:Gọix1;x2 là hai nghiệm của phương trìnhy′=0. Theo Vi-ét ta có :

Bước 4:Biến đổi điều kiện yêu cầu của đề bài về dạngSvàP. Từ đó giải ra tìm đượcm∈D2

Bước 5:Kết luận các giá trị củamthỏa mãnm=D1∩D2

Ví dụ:

Cho hàm sốy=4x3+mx2−3x. Tìmmđể hàm số đã cho có hai điểm cực trịx1;x2 thỏa mãnx1=−4x2

Cách giải:

Tập xác địnhD=R

Đạo hàm :y′=12x2+2mx−3

Để hàm số có hai cực trị thì phương trìnhy′=0có hai nghiệm phân biệt

⇔Δ′=m2+36>0

Điều này luôn đúng với mọim∈R

Vậyyluôn có hai điểm cực trị có hoành độx1;x2 thỏa mãn

Công thức tính nhanh cực trị hàm bậc 3

Đây là một số công thức giúp chúng ta có thể giải quyết các bài toán trắc nghiệm một cách nhanh chóng mà không cần phải tính toán phức tạp.

Cho hàm sốy = ax3+bx2+cx+dcó hai điểm cực trị phân biệt làA,B. Khi đó:

Phương trình đường thẳngAB:

Bài tập ví dụ
Bài 1:cho hàm số y = x3– 2[m + 1]x2+ [m2– 3m + 2]x + 4. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và 2 cực trị này nằm về hai phía của trục tung.

Lời giải

Tập xác định R
Ta có y’ = 3x2– 2[m + 1]x + [m2– 3m + 2]
Để hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của trục tung thì phương trình y’ = 0 phải có 1 nghiệm phân biệt

Bài 2:Cho hàm số y = [m + 2]x3+ 3x2+ mx -5 với m là tham số. Tìm giá trị của m để các cực trị có hoành độ là số dương.

Lời giải

Tập xác đinh R
Để các cực trị của hàm số có hoành đồ là số dương thì phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
Ta có y’ = 3[m + 2]x2+ 6x + m

Vậy với -3 < m< -2 thì hàm số đã cho có điểm cực trị có hoành độ là dương

Bài 3:Cho hàm số y = -x3+ 3x2+ 3[m2– 1]x – 3m2– 1 [m là tham số thực]. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu này cách đều gốc tọa độ O.

Lời giải​

Ta có đạo hàm y’ = – 3x2+ 6x + 3[m2– 1],
y’ = 0⇔ – 3x2+6x + 3[m2– 1] = 0 [1]
Để hàm số có cực trị⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
⇔Δ’= m2> 0⇔ m ≠ 0
Khi đó ta có tọa độ hai điểm cực trị là A[1 – m, – 2 – m2] và B[1+m ; -2 + 2m2]
Theo giả thiết đề bài 2 điểm cực trị này cách đều gốc tọa độ ta có
⇔ OA = OB
⇔ [1 – m]2+ [-2 – 2m2]2= [1+ m]2+ [2 – 2m2]2
⇔4m3= m
⇔ m = ± ½
Vậy với m = ± ½ thì hàm số có cực đại và cực tiểu thỏa mãn hai điểm này cách đều gốc tọa độ O.

Cập nhật lúc: 22:00 05-06-2015 Mục tin: LỚP 12

I Tóm tắt lý thuyết :

II.Các dạng bài tập :

Dạng 1 : Sự tồn tại và vị trí của các điểm cực trị :

Bài tập : 

Bài 1 : Tìm m để hàm số : \[y=\frac{1}{3}x^{3}+mx^{2}+[m+6]x-[2m+1]\] có cực đại cực tiểu 

Giải : Hàm số có cực đại cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt 

\[x^{2}+2mx+[m+6]=0\] có hai nghiệm phân biệt  \[\Delta '=m^{2}-m-6>0\]

m < -2 hoặc m > 3 

Tất cả nội dung bài viết. Các em hãy xem thêm và tải file chi tiết dưới đây:

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Cực trị hàm bậc ba, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Cực trị hàm bậc ba: Cực trị hàm bậc ba. Phương pháp. Bước 1. Hàm số đạt cực đại [cực tiểu] tại điểm x, thì f'[x] = 0, tìm được tham số. Bước 2. Với giá trị tham số tìm được, ta thế vào hàm số ban đầu để thử lại. Chú ý: Đối với hàm bậc ba, ta có thể làm trắc nghiệm như sau: Hàm số đạt cực tiểu tại x = x. Hàm số đạt cực đại tại x = x. Bài tập 1: Tìm m để hàm số y = x – mx + [m – 4]x + 3 đạt cực đại tại điểm x = 3. Hàm số đạt cực đại tại x = 3 thì. Với m = 1, y = 4 > 0 suy ra x = 3 là điểm cực tiểu. Với m = 5, y’ = – 40 suy ra x = 3 là điểm cực đại. Bài tập 2: Hàm số y = ax + x – 5x + b đạt cực tiểu tại x = 1 và giá trị cực tiểu bằng 2. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 y[1] = 02 a = 1. Thay a = 1 ta thấy y”[1] = 6 + 2 = 8 > 0 nên x = 1 là điểm cực tiểu. Bài tập 3: Hàm số f[x] = ax + bx + cx + d đạt cực tiểu tại điểm x = 0, f[0] = 0 và đạt cực đại tại điểm x = 1, f[1] = 1. Giá trị của biểu thức T = a + 2b – c + d là. Do hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0, f[0] = 0 và đạt cực đại tại điểm x = 1, f[1] = 1 nên ta có hệ phương. Bài tập 4: Giá trị của m để hàm số y = x + mx – 1 có cực đại và cực tiểu là. Hàm số y = x + mx – 1 có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi y = 0 có hai nghiệm phân biệt hay 3x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt. Do đó m 0. Hợp cả hai trường hợp, khi m < 1 thì hàm số có cực trị. Chú ý: Với bài toán hỏi “có cực trị” và hệ số của bậc ba [bậc cao nhất] có chứa tham số thì nên chia hai trường hợp: Hệ số của bậc cao nhất bằng 0 và khác 0. Bài tập 6: Tìm các giá trị của m để hàm số y = mx – 3mx – [m – 1]x + 2 không có cực trị. Với m = 0, hàm số trở thành y = x + 2 là hàm đồng biến trên IR nên không có cực trị, nhận m = 0. Xét m 40, hàm số không có cực trị khi y' = 0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm Hợp cả hai trường hợp, khi 0 < m < 1 thì hàm số không có cực trị. Bài tập 7: Số giá trị nguyên của tham số m [-20; 20] để hàm số có hai điểm cực trị trái dấu là. Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu khi y' = 0 có hai nghiệm trái dấu. Vậy m {-20; -19; 3 – 4; 2], có 18 giá trị của m. Bài tập 8: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = mx + m[m – 1]x – [m + 1]x – 1 có hai điểm cực trị đối nhau? Hàm số có hai điểm cực trị đối nhau y = 0 có hai nghiệm đối nhau. Bài tập 9: Giá trị của m để đồ thị hàm số y = x + [m – 1]x2 + [m + 2]x – 6 có hai điểm cực trị có hoành độ dương là. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị có hoành độ dương y = 0 có hai nghiệm phân biệt dương. Bài tập 10: Cho hàm số y = x + [1 – 2m]x + [2 – m]x + 2. các giá trị của m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1 là. Đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu khi phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt. Khi đó, giả sử x là hai nghiệm của phương trình y = 0. Kết hợp điều kiện có cực trị thì m < -1 và thỏa mãn yêu cầu. Chú ý: Có thể dùng Vi-ét để lời giải đơn giản hơn như sau: Xét x < x < 1. Bài tập 11: Tìm các giá trị thực của tham số m sao cho điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x + x + mx − 1 nằm bên phải trục tung. Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu khi phương trình hai nghiệm phân biệt Khi đó, giả sử là hai nghiệm của phương trình y = 0 thì nên điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x + x + mx – 1 nằm bên phải trục tung. Bài tập 12: Giá trị của m để hàm số = x – [m – 2]x + [4m – 8]x + m + 1 có hai điểm cực trị x thỏa. Bài tập 13: Gọi S là tập các giá trị thực của tham số m để hàm số y = [x – 3][x – 2x – m – 1] có hai điểm cực trị x, y = 1. Tổng tất cả các phần tử của S bằng. Vậy tổng cần tìm bằng 4 + [-2] = 2. Bài tập 14: Có bao nhiêu giá trị nguyên để hàm số y = x – mx + mx – 1 có hai điểm cực trị x. Do m nguyên. Vậy có 37 giá trị của m. Bài tập 15: Cho hàm số y = x[m + 1] + 9x – m. Tổng tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn hàm số đạt cực trị tại hai điểm x sao cho 3x – 2x = m + 6 là. Hàm số có hai điểm cực trị khi y' = 0 có hai nghiệm phân biệt.

Bài tập 16: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để hàm số y = 2x + 9mx + 12mx có điểm cực đại, điểm cực tiểu x thỏa mãn. Hàm số có hai điểm cực trị khi y' = 0 có hai nghiệm phân biệt. Trường hợp 1: m 0 lập bảng xét dấu đạo hàm ta có x = -2m, x = -m. Bài tập 17: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m [-18; 18] để đồ thị hàm số y = [x – 1][x + 2mx + 1] có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành? Bảng biến thiên của hàm số bậc ba khi có hai cực trị và hai điểm cực trị của đồ thị nằm về hai phía trục hoành là. Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành thì y = 0 có ba nghiệm phân biệt có hai nghiệm phân biệt khác. Vậy có 34 giá trị của m thỏa mãn đề. Bài tập 18: Cho hàm số y = 2x – 3mx + x + m. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m trong khoảng [-10; 10]để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm về hai phía của đường thẳng y = x – 6.