Bài tập viết phương trình mặt phẳng trong không gian năm 2024
|
Với 21 dạng Viết phương trình mặt phẳng trong đề thi Đại học có lời giải Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Viết phương trình mặt phẳng từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12. Show
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và nhận vecto n→ làm vecto pháp tuyến1. Phương pháp giải + Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(xo; yo; zo) và có vecto pháp tuyến n→(A;B;C) ≠ 0→ : A.(x- xo) + B( y- yo)+C( z- zo) =0 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(0; 1; -1) và có vecto pháp tuyến n→(2;3;4)
Hướng dẫn giải: Mặt phẳng (P) đi qua điểm A (0;1; -1) và có vecto pháp tuyến n→(2;3;4) có phương trình là: 2( x- 0) + 3( y – 1) + 4( z + 1) = 0 Hay 2x + 3y + 4z + 1 = 0 Chọn C. Ví dụ 2: Cho hai điểm A( 1;2; 7) và B(3; 0; -3), gọi M là trung điểm của AB. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và vecto pháp tuyến n→(2;-3;1)
Hướng dẫn giải: + Do M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là: \=> M(2; 1; 2) + Mặt phẳng đi qua điểm M( 2; 1; 2) và có vecto pháp tuyến có phương trình là: 2( x – 2) -3( y- 1)+ 1( z – 2 ) = 0 Hay 2x -3y + z - 3= 0 Chọn D. Ví dụ 3: Cho tam giác ABC biết A( 2; 1; 3) và B( - 2; 3; -1) và C( 0; 2; 1), gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm G và vecto pháp tuyến n→(2;1;1)
Hướng dẫn giải: + Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên tọa độ điểm G là: \=> G( 0; 2; 1) + Mặt phẳng đi qua điểm G(0; 2; 1) và có vecto pháp tuyến n→(2;1;1) có phương trình là: 2( x- 0) + 1( y - 2) + 1.( z - 1) = 0 Hay 2x+ y+ z – 3= 0 Chọn A. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M (xo; yo; zo) và song song với một mặt phẳng (P): Ax+ By + Cz + D= 0.1. Phương pháp giải Cách 1: Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: n→(A;B;C) Do mặt phẳng (α) // (P) nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) là n→(A;B;C) Phương trình mặt phẳng (α): A(x- xo) + B. (y – yo) + C( z- zo) = 0 Cách 2: Mặt phẳng (α ) // (P) nên phương trình mặt phẳng (α) có dạng: Ax+ By + Cz + D’= 0 (*) với D' ≠ D Vì mặt phẳng (α) đi qua điểm M (xo; yo; zo) nên thay tọa độ điểm M vào (*) tìm đươc D’ 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (-1; 2; 0) và song song với mặt phẳng (Q): x + 2y – 3z + 10 = 0.
Hướng dẫn giải: Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n→(1;2-3) . Mặt phẳng (P) đi qua điểm M ( -1; 2; 0) và có vecto pháp tuyến n→(1;2-3) nên có phương trình: 1( x+1) + 2(y- 2) – 3( z- 0) = 0 hay x+ 2y – 3z – 3 = 0 Chọn A. Ví dụ 2: Cho hai điểm A(0; -2;1) và B( 2; 0; 3). Gọi M là trung điểm của AB. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và song song với mặt phẳng Q: 2x + 5y +z - 10 =0
Hướng dẫn giải: Do M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là: \=> M( 1; -1; 2) Do mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→(2;5;1) Phương trình mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→(2;5;1) và đi qua điểm M (1; -1; 2) là: 2( x- 1) + 5( y+ 1) + 1(z- 2) = 0 hay 2x + 5y + z + 1= 0 Chọn D. Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A (5; 1; 3), B(1; 2; 6), C(5; 0; 4), D( -1; 2; -3). Viết phương trình mặt phẳng đi qua D và song song với mặt phẳng (ABC)
Hướng dẫn giải: Ta có: Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) ta có nên n→ cùng phương với [AB→, AC→] Chọn n→(1;1;1) là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) Do mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (ABC) nên mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→(1;1;1) Phương trình mặt phẳng (P) đi qua D (-1; 2; -3) và có vecto pháp tuyến n→(1;1;1) là: 1( x+ 1) + 1( y – 2) + 1( z+ 3) = 0 hay x+ y + z + 2= 0 Chọn C. Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A (-2;1;3), B(1; 2; 4), C(2; -1;3), D(0; 0; -1). Viết phương trình mặt phẳng đi qua D và song song với mặt phẳng (ABC)
Hướng dẫn giải: Ta có: Gọi n→ là một VTPT của mặt phẳng (ABC) ta có nên n→ cùng phương với Chọn n→(1;2;-5) là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) Do mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (ABC) nên mặt phẳng (P) có VTPT n→ (1; 2; -5). Phương trình mặt phẳng (P) đi qua D (0; 0; -1) và có vecto pháp tuyến n→ là: 1. (x – 0)+ 2( y – 0) - 5( z+ 1) =0 hay x+ 2y – 5z – 5 = 0 Chọn D. Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng. Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và nhận hai vecto u→, v→ làm vecto chỉ phương1. Phương pháp giải * Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng. 1. Tìm tọa độ các vecto AB→, AC→ 2. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n→ \= [AB→, AC→] 3. Điểm thuộc mặt phẳng: A (hoặc B, hoặc C) 4. Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có vecto pháp tuyến n→ \= [AB→, AC→] Chú ý: Phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(a;0;0); B(0;b;0); C(0;0;c) có dạng là: x/a + y/b + z/c = 1 với a.b.c ≠ 0. Trong đó A ∈ Ox; B ∈ Oy; C∈ Oz. Khi đó (P) được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn. * Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm M và nhận hai vecto u→, v→ làm vecto chỉ phương 1: Vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( P): n→ \= [u→, v→] 2. Mặt phẳng ( P) đi qua điểm M và nhận vecto n làm VTPT \=> Phương trình mặt phẳng (P). 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1; -2; 0), B(1; 1; 1) và C(0; 1; -2)
Hướng dẫn giải: Ta có: AB→(0;3;1); AC→ \=> [AB→, AC→]= ( - 9; -1; 3) Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) ta có nên n→ cùng phương với [AB→, AC→] Chọn n→( 9;1; -3) ta được phương trình mặt phẳng (ABC) là 9.( x – 1)+1.(y + 2) - 3( z - 0) = 0 hay 9x + y – 3z – 7 = 0 Chọn B. Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(5; 4; 3) và cắt các tia Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC. Viết phương trình mặt phẳng (P).
Hướng dẫn giải: Do mặt phẳng (P) cắt các tia Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC nên A (a; 0; 0); B(0; a; 0); C(0; 0; a) ; ( a > 0) Phương trình mặt phẳng (P) theo đoạn chắn là: x/a + y/a + z/a = 1 Do mặt phẳng (P) đi qua điểm M (5; 4; 3) nên ta có: 5/a + 4/a + 3/a = 1 => 12/a = 1 => a = 12 Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) là: x/12 + y/12 + z/12 = 1 hay x+ y + z – 12 = 0 Chọn A. Ví dụ 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(5; 1; 3), B(1; 6;2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6). Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và song song với đường thẳng CD có phương trình là:
Hướng dẫn giải: Ta có: AB→(-4;5-1); CD→(-1;0;-2) => [AB→, CD→] = (10; 9; 5) Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) Do A, B thuộc mặt phẳng (P), mặt phẳng (P) song song với đường thẳng CD nên ta có: nên n→ cùng phương với [AB→, CD→]. Chọn n→ \= (10;9;5) Vậy phương trình mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→ và đi qua điểm A(5; 1; 3) là: 10 (x – 5) + 9 ( y- 1) + 5 ( z – 3) = 0 hay 10x + 9y + 5z – 74 = 0 Chọn B. Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M( 2; -1; 2)và nhận hai vecto u→(1;2;3) và v→(-2;1;0) làm vecto chỉ phương?
Hướng dẫn giải: Ta có hai vecto u→(1;2;3) và v→(-2;1;0) là vecto chỉ phương của mặt phẳng (P) nên một vecto pháp tuyến của mp (P) là: n→ = [u→,v→] = (- 3; - 6; 5) Mặt phẳng (P) nhận n→ làm vecto pháp tuyến và đi qua điểm M( 2; -1; 2 ) nên phương trình mặt phẳng ( P) là: -3( x- 2) – 6 ( y+ 1) + 5( z-2)= 0 hay – 3x- 6y+ 5z - 10= 0 Chọn B. Ví dụ 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A( 2; -3; 4); B(2; 1; -3) và mặt phẳng (P) nhận vecto u→( 2; 0; 1) làm vecto chỉ phương ?
Hướng dẫn giải: + Ta có: AB→(0; 4; -7) + Lại có mặt phẳng ( P) nhận vecto u→( 2; 0; 1) làm vecto chỉ phương nên một vecto pháp tuyến của mp( P) là: n→ \= [u→;AB→] = (-4; 14; 8)= -2( 2; -7; -4) \=> Phương trình mặt phẳng ( P) đi qua A(2; -3; 4) và nhận n→ làm VTPT là: 2( x-2) – 7( y+ 3) – 4( z- 4) =0 hay 2x – 7y - 4z- 9=0 Chọn A. Dạng 4. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng1. Phương pháp giải + Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (xo; yo; zo) và có vecto pháp tuyến n→(A:B:C) là: A(x – xo) + B( y – yo) + C(z- zo ) = 0 + Cho trước hai điểm A và B. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB : • Gọi I là trung điểm của AB. Suy ra tọa độ điểm I ( áp dụng công thức trung điểm của đoạn thẳng). • Mặt phẳng trung trực của AB đi qua điểm I và nhận AB→ làm vecto pháp tuyến \=> Phương trình mặt phẳng trung trực của AB. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hai điểm A( 2; 1; 0) và B(-4 ; -3; 2) . Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB?
Hướng dẫn giải: + Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của AB. \=> Mặt phẳng ( P) nhận AB→ (- 6; -4; 2) làm vecto pháp tuyến. Chọn n→ ( 3; 2; -1) + Gọi I là trung điểm của AB; tọa độ điểm I là: \=> I( -1; - 1; 1) + Mặt phẳng ( P) qua I (- 1; -1; 1) và vecto pháp tuyến có phương trình là: 3( x+ 1)+ 2( y+ 1) – 1( z – 1) = 0 hay 3x + 2y – z + 6 = 0 Chọn A. Ví dụ 2: Cho hai điểm A( 0; 2; -3) và B( 4; -4; 1). Gọi M là trung điểm của AB.Viết phương trình mặt phẳng trung trực của OM?
Hướng dẫn giải: + Do M là trung điểm của AB nên tọa độ của M là: \=> M( 2; -1; -1) + Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của OM. \=> Mặt phẳng ( P) nhận OM→(2;-1;-1) làm vecto pháp tuyến + Gọi I là trung điểm của OM; tọa độ điểm I là: + Mặt phẳng ( P) qua I và vecto pháp tuyến OM→(2;-1;-1) có phương trình là: 2.(x-1) - 1.(y+1/2) - 1.(z+1/2) = 0 hay 2x – y – z – 3= 0 Chọn C. Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz; cho hai điểm A và B. Gọi I là trung điểm của AB. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB biết tọa độ điểm A( 1; 2; 0) và I( -2; 1; 1)
Hướng dẫn giải: + Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của AB . \=> Mặt phẳng ( P) đi qua I và vuông góc AI \=> Mặt phẳng ( P) đi qua I ( -2; 1; 1) và nhận vecto IA→ ( 3; 1; -1) làm vecto pháp tuyến Phương trình mặt phẳng (P): 3( x+ 2) + 1( y-1) – 1(z- 1) = 0 hay 3x+ y – z+ 6= 0 Chọn B. Dạng 5. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn1. Phương pháp giải + Phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(a; 0; 0) ; B( 0; b; 0) , C(0;0; c) với abc ≠ 0 có phương trình: x/a + y/b + z/c = 1 + Phương trình mặt phẳng có dạng: x/a + y/b + z/c = 1 cắt ba trục Ox; Oy;Oz lần lượt tại các điểm A(a; 0; 0); B(0; b; 0) và C( 0; 0; c) . 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): 2x - y+ 2z - 4= 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) theo đoạn chắn? Hướng dẫn giải: Mặt phẳng ( P) cắt các trục tọa độ Ox; Oy; Oz lần lượt tại A( 2; 0; 0); B( 0; -4; 0) và C(0; 0; 2) \=> Phương trình mặt phẳng ( P) theo đoạn chắn là: x/2 + y/-4 + z/2 = 1 Chọn C. Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng qua G(1; -2; -1) và cắt các trục Ox; Oy; Oz lần lượt tại các điểm A; B; C (khác gốc O) sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó mặt phẳng (P) có phương trình:
Hướng dẫn giải: Gọi tọa độ ba điểm A( a; 0; 0); B(0; b; 0) và C(0; 0; c) với , khi đó mặt phẳng (P) phương trình có dạng: Mà điểm G( 1; 2; 3) là trọng tâm tam giác ABC nên Chọn B. Ví dụ 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm H(2; 1;1) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A; B; C (khác gốc toạ độ O) sao cho H là trực tâm tam giác ABC. Mặt phẳng (P) có phương trình là:
Hướng dẫn giải: Gọi tọa độ ba điểm A(a; 0; 0); B(0; b; 0) và C(0; 0; c) với , khi đó mặt phẳng ( P) phương trình có dạng: Ta có: Điểm H(2; 1; 1) là trực tâm tam giác ABC nên Thay a; b; c vào (1), ta được: (P): x/3 + y/6 + z/6 = 1 hay (P): 2x+ y + z - 6 = 0 Chọn A. Ví dụ 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; 1; 1) và cắt chiều dương các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A; B; C (khác gốc toạ độ O) sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất. Mặt phẳng (P) có phương trình là:
Hướng dẫn giải: Gọi tọa độ ba điểm A(a; 0; 0); B(0; b; 0) và C( 0; 0; c) với a; b;c > 0 . Khi đó phương trình mặt phẳng (P) có dạng: Điểm M(1;1;1) thuộc (P) nên ta có: 1/a + 1/b + 1/c = 1. Thể tích khối tứ diện OABC: VO.ABC = 1/6.OA.OB.OC = 1/6 a.b.c Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương 1/a; 1/b; 1/c : Do 1/a + 1/b + 1/c = 1 nên suy ra abc ≥ 27 => 1/6 ≥ abc ≥ 9/2 . \=> VOABC đạt giá trị nhỏ nhất bằng 9/2 khi 1/a = 1/b = 1/c = 1/3 ⇔ a = b = c = 3 (P): x/3 + y/3 + z/3 = 1 ⇔ x + y + z - 3 = 0 Chọn C Dạng 6. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d.1. Phương pháp giải + Đường thẳng d: nhận vecto u→(a; b; c) làm vecto chỉ phương. Đường thẳng : nhận vecto u→(a; b; c) làm vecto chỉ phương. + Để viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua M và vuông góc với đường thẳng d ta làm như sau: Tìm vecto chỉ phương của d là ud→ Vì d ⊥ (α) nên (α) có vecto pháp tuyến là nα→\= ud→ Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 vecto pháp tuyến nα→ 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng d:
Hướng dẫn giải: +Đường thẳng d có vecto chỉ phương ud→(2;0;-1) +Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng (d) nên (P) có một vecto pháp tuyến là: nP→ →= ud→(2; 0; -1) + Khi đó phương trình mặt phẳng (P) đi qua O và có vecto pháp tuyến nP→ là: 2(x – 0) + 0 (y -0) – 1. (z – 0) = 0 hay 2x – z = 0 Chọn A. Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (-2; 3; -3), B(2; 1; -1) và C(0; 2; 0). Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng BC.
Hướng dẫn giải: Đường thẳng BC có vecto chỉ phương u→ \= BC→ \= (-2; 1;1). Do mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng BC nên mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là n→ \= BC→ \= (-2; 1; 1) Phương trình mặt phẳng cần tìm là: -2( x+ 2) + 1. ( y – 3) + 1( z+ 3) = 0 hay -2 x + y+ z – 4= 0 Chọn C. Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A (1; 2; 3) và B( 3; 0; -1). Gọi I là trung điểm của AB. Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua I và vuông góc với đường thẳng (d): ?
Hướng dẫn giải: + I là trung điểm của AB nên tọa độ điểm I là: \=> I (2; 1; 1) + Đường thẳng d có vecto chỉ phương là: u→ (2; 1; 3) + Do mặt phẳng ( P ) vuông góc với đường thẳng (d) nên mp (P) có VTPT là n→(2;1;3) \=> Phương trình mặt phẳng ( P) : 2( x-2) + 1( y- 1) + 3( z - 1) =0 Hay 2x+ y+ 3z – 8 = 0 Chọn C. Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho tam giác ABC với A (1;0; -1); B(2; 1; -1) Và C( 3; 2; -1). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua G và vuông góc với đường thẳng (d) : ?
Hướng dẫn giải: + Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên tọa độ điểm G là: \=> G( 2; 1; -1) + Đường thẳng d có vecto chỉ phương là: u→(3;-4;1) . + Do mặt phẳng ( P ) vuông góc với đường thẳng (d) nên mp (P) có vecto pháp tuyến là : n→(3;-4;1) \=> Phương trình mặt phẳng ( P): 3( x- 2) – 4( y - 1) + 1( z + 1) = 0 Hay 3x – 4y + z- 1= 0 Chọn B. Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng (β) .1. Phương pháp giải • Tìm vecto pháp tuyến của (β) là nβ→ • Tìm vecto chỉ phương của Δ là uΔ→ • Vecto pháp tuyến của mặt phẳng α là nα→ • Lấy một điểm M trên Δ • Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có VTPT nα→ 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng (Q): x+ 2y - z+ 10 = 0
Hướng dẫn giải: Đường thẳng d đi qua điểm A ( -1; 2; 1) và có vecto chỉ phương u→ (-1;2;1) Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến nQ→ \= (1;2;-1) Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vuông góc với (Q) nên (P) có một vecto pháp tuyến là n→ \=[u→ ,nQ→ ]= ( - 4; 0; -4) = - 4(1; 0; 1) Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A( -1; 2; 1) và có VTPT n'→ (1; 0; 1) là: 1( x + 1) + 0( y - 2) + 1( z - 1) = 0 hay x+ z = 0 Chọn A. Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) chứa đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng α : 2x – y + 3z – 98= 0 có phương trình là
Hướng dẫn giải: + Đường thẳng ∆ có vecto chỉ phương là u∆→ (2;2; -1) và đi qua điểm A( -1; 1; -3). + Mặt phẳng (α) có vecto pháp tuyến là: nα→ ( 2; -1; 3) + Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆ và vuông góc với mặt phẳng (α) nên (P) có một vecto pháp tuyến là n→=[u∆→ ,nα→ ] = (5; -8; -6) và đi qua A(0; -1; 2) Phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là: 5( x+ 1) – 8( y - 1) – 6( z + 3) = 0 hay 5x - 8y - 6z - 5 = 0 Chọn D. Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; 1; 1), B( 2; -1; 2) và mặt phẳng : 2x – y + 2z + 50= 0. Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A; B và vuông góc với mặt phẳng α có phương trình là
Hướng dẫn giải: Ta có đường thẳng AB nhận AB→ (-1 ; -2 ; 1) làm vecto chỉ phương Mặt phẳng (α) có vecto pháp tuyến nα→ (2 ; -1 ; 2) + Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm AB nên chứa đường thẳng AB và vuông góc với mặt phẳng (α) nên (P) có một VTPT là n→ = [AB→ , nα→ ] = (-3; 4; 5) và đi qua A(3; 1; 1) + Phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là: -3( x- 3) + 4( y-1) + 5( z- 1) = 0 hay -3x + 4y + 5z= 0 Vậy phương trình mp (P): - 3x + 4y+ 5z = 0 ⇔ 3x- 4y- 5z= 0 Chọn B. Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng Δ và song song với Δ'; (Δ; Δ' chéo nhau).1. Phương pháp giải Tìm vecto chỉ phương của ∆; ∆’ là u1→ ; u2→ Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) là nα→ \= [u1→, u2→] Lấy 1 điểm M trên đường thẳng ∆ Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có 1 vecto pháp tuyến. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng A.– 6x+ y+ 2z- 3= 0 B. -6x+ y+ 2z+ 3= 0
Hướng dẫn giải: Đường thẳng d1 đi qua điểm M (1; 1; 1) và có vecto chỉ phương u1→(0;-2;1) Đường thẳng d2 đi qua điểm N (1; 0;1) có vecto chỉ phương u2→(1;2;2) Ta có: [u1→,u2→] = ( - 6; 1; 2) Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) ta có: nên → cùng phương với [u1→,u2→] . Chọn n→ ( -6; 1; 2) Mặt phẳng (P) đi qua điểm M (1; 1; 1) và nhận VTPT n→ (-6; 1; 2) có phương trình là: - 6(x -1) + 1( y- 1) + 2( z - 1)= 0 hay – 6x + y + 2z + 3= 0 Thay tọa độ điểm N vào phương trình mặt phẳng (P) thấy không thỏa mãn. Vậy phương trình mặt phẳng (P) là – 6x + y + 2z + 3= 0 Chọn B. Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng Mặt phẳng α chứa ∆1 và song song với đường thẳng ∆2 có phương trình là
Hướng dẫn giải: Đường thẳng ∆_1 đi qua điểm M (0; 1; -2) và có vecto chỉ phương u1→ (2; 1; -2) Đường thẳng d_2 đi qua điểm N (0; 0; 2) có vecto chỉ phương u2→ (2; 2; -1) Ta có: [u1→, u2→] = (3; -2; 2) Gọi n → là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) ta có nên n→ cùng phương với [u1→, u2→] .Chọn n→ ( 3; -2; 2) Mặt phẳng (α) đi qua điểm M (0; 1; -2) và nhận VTPT n→ ( 3; -2; 2) có phương trình là: 3( x- 0) – 2( y – 1) + 2( z+ 2) = 0 hay 3x – 2y + 2z + 6 = 0 Thay tọa độ điểm N vào phương trình mặt phẳng ( thấy không thỏa mãn. Vậy phương trình mặt phẳng (P) là 3x - 2y + 2z + 6 = 0 Chọn C. Ví dụ 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng .Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và song song với d’
Hướng dẫn giải: Đường thẳng d đi qua điểm M (1; 5; 4) và có vecto chỉ phương u1→ (2; 0; -1) Đường thẳng d’ đi qua điểm N (3; 6;0) có vecto chỉ phương u2→ (1; 1; -1) Ta có: [u1→, u2→] = (1; 3; 2) Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) ta có nên n→ cùng phương với [u1→, u2→]. Chọn n→(1;3;2) . Mặt phẳng (P) đi qua điểm M (1; 5; 4) và nhận vecto pháp tuyến n→(1;3;2) có phương trình là: 1( x -1) + 3( y -5) + 2( z- 4) = 0 hay x+ 3y + 2z – 24= 0 Thay tọa độ điểm N vào phương trình mặt phẳng (P) thấy không thỏa mãn. Vậy phương trình mặt phẳng (P) là x+ 3y + 2z – 24= 0. Chọn B. Ví dụ 4: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(5; 1; 3), B(1; 6;2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6). Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và song song với đường thẳng CD có phương trình là:
Hướng dẫn giải: Ta có: AB→ (- 4; 5; -1); CD→( -1; 0; 2) =>[AB→, CD→] = ( 10; 9; 5) Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) Do A, B thuộc mặt phẳng (P), mặt phẳng (P) song song với đường thẳng CD nên ta có nên n→ cùng phương với [AB→, CD→] . Chọn n→ (10; 9; 5) Vậy phương trình mặt phẳng (P) có VTPT n→ (10; 9; 5) và đi qua điểm A(5; 1; 3) là: 10. (x – 5) + 9( y- 1)+ 5( z- 3) =0 hay 10x + 9y + 5z – 74 =0 Thay tọa độ C, D vào phương trình thấy không thỏa mãn. Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là 10x +9y + 5z – 74= 0 Chọn A. Dạng 9. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và đi qua điểm M không thuộc d1. Phương pháp giải • Tìm vecto chỉ phương của đường thẳng d là u→ . Lấy 1 điểm N trên d, tính tọa độ vecto MN→ • Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n→ = [u→, MN→] • Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có vecto pháp tuyến. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (4; -3; 1) và đường thẳng d: . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và đường thẳng d.
Hướng dẫn giải: Đường thẳng d đi qua điểm N(-1; 1; -1) và có vecto chỉ phương u→(2;1; 2); AN→( - 5; 4; -2) Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đi qua điểm A nên (P) có một vecto pháp tuyến là n→ = [u→; AN→] = ( - 10; -6; 13) = - (10; 6; -13) Phương trình mặt phẳng (P) là: 10(x – 4) + 6 ( y+ 3) – 13( z- 1) = 0 hay 10x + 6y – 13z – 9 = 0 Chọn C. Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) qua điểm A(0; 0; 2) và chứa trục hoành có phương trình là:
Hướng dẫn giải: Trục hoành đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và có vecto chỉ phương u→(1; 0; 0) ; OA→(0; 0; 2) Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đi qua điểm A nên (P) có một vecto pháp tuyến là n→ = [u→; OA→] = (0; -2; 0) = -2 (0; 1;0) Phương trình mặt phẳng (P) là: 0( x- 0) + 1( y-0) + 0(z - 2) = 0 hay y = 0 Chọn A. Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; mặt phẳng (P) đi qua A( 1; 2; 3) và chứa đường thẳng d: Phương trình mặt phẳng (P) có dạng 5x+ ay+ bz+ c= 0. Tính a+ b+ c?
Hướng dẫn giải: + Đường thẳng d đi qua điểm N(1; -1; -1) và có vecto chỉ phương u→(2; 1; 3); AN→(0; -3; -4) Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đi qua điểm A nên (P) có một vecto pháp tuyến là n→ = [u→;AN→] = ( 5; 8; -6) Phương trình mặt phẳng (P) là: 5( x- 1)+ 8( y-2) – 6( z- 3) = 0 hay 5x+ 8y- 6z – 3= 0 \=> a+ b+ c = 8+ (-6) + (-3) = - 1 Chọn A. Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; 2; 1); B( 1; -2; 0) và C(2; 1; 2). Phương trình mặt phẳng ( P) có dạng : 5x+ ay+ bz+ c= 0. Tính a.b.c?
Hướng dẫn giải: + Ta có: AB→ (0; -4; -1); BC→ ( 1; 3; 2) + Mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A; B và C nên (P) có một vecto pháp tuyến là n→ = [AB→, BC→] = (- 5; -1; 4) = - ( 5; 1; -4) \=> Phương trình mặt phẳng (P) là: 5(x- 1) +1( y- 2) – 4( z- 1) = 0 hay 5x+ y – 4z -3= 0 \=> a= 1; b= -4 và c= -3 nên a.b.c= 1.(-4).(-3) = 12 Chọn D. Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa 2 đường thẳng cắt nhau d và d’1. Phương pháp giải • Tìm vecto chỉ phương của d và d’ là u1→; u2→ • Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n→ = [u1→; u2→] • Lấy 1 điểm M trên d • Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có vecto pháp tuyến. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng có phương trình là
Hướng dẫn giải: Đường thẳng d1 đi qua điểm M(-2; -1; 1) và có vecto chỉ phương u1→ (2; 1; 1) Đường thẳng d2 đi qua điểm N(-1; 0; 1) và có vecto chỉ phương u2→ (1; -1; 2) Ta có: [u1→,u2→] = ( 3; -3; -3); MN1→ (1; 1;0) Do MN→ . [u1→,u2→] = 3. 1+ (- 3).1+ (- 3). 0 = 0 nên đường thẳng d1 và d2 cắt nhau. Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d1 và d2 cắt nhau nên (P) có một vecto pháp tuyến là n→ \= [u1→,u2→] = (3; -3; -3) = 3( 1; -1; -1) Phương trình mặt phẳng (P) là: 1( x+ 2) – 1( y+ 1) - 1( z- 1) = 0 hay x- y - z + 2= 0 Chọn B. Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng có dạng 6x+ ay+ bz+c= 0. Tính a+ b+ c?
Hướng dẫn giải: Đường thẳng d đi qua điểm M(1; -1; 12) và có vecto chỉ phương u1→ (1; -1; -3) Đường thẳng d’ đi qua điểm N(1; 2; 3) và có vecto chỉ phương u2→ (-1; 2; 0) Ta có: [u1→, u1→]= ( 6; 3; 1); MN→ ( 0; 3; -9) Do MN→. [u1→, u1→] = 0 nên đường thẳng d và d’ cắt nhau. Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và d’ cắt nhau nên (P) có một vecto pháp tuyến là n→ \= [u1→, u2→] = (6; 3; 1) Phương trình mặt phẳng (P) là: 6( x- 1)+ 3( y – 2) + 1( z- 3) =0 hay 6x + 3y + z – 15= 0 \=> a= 3; b= 1; c= -15 nên a+ b+ c= 3+ 1+ (-15) = -11. Chọn B Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng có dạng 6x+ ay+ bz+c= 0. Tính a+ b+ c?. Gọi mặt phẳng (P) chứa d1 và d2. Tính khoảng cách từ điểm I( 2; 1; 3) đến mặt phẳng (P)? có dạng 6x+ ay+ bz+c= 0. Tính a+ b+ c? Hướng dẫn giải: Đường thẳng d1 đi qua điểm M(0; -2; 3) và có vecto chỉ phương u1→ (2; 1; 3) Đường thẳng d2 đi qua điểm N(2; -3; 3) và có vecto chỉ phương u2→ (2; -1; 0) Ta có: [u1→, u2→] =( 3; 6; -4); MN→ ( 2; -1; 0) Do MN→.[u1→, u2→] = 3.2+ 6.(-1) + (-4). 0 = 0 nên đường thẳng d1 và d2 cắt nhau. Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d1 và d2 cắt nhau nên (P) có một vecto pháp tuyến là n→ \= [u1→, u1→] = ( 3; 6; -4) Phương trình mặt phẳng (P) là: 3( x-0) + 6( y+2) – 4( z-3) = 0 hay 3x+ 6y – 4z+ 24= 0 Khoảng cách từ điểm I( 2; 1; 3) đến mặt phẳng (P) là: Chọn D. Dạng 11: Viết phương trình mặt phẳng chứa 2 đường thẳng song song d và d’1. Phương pháp giải • Tìm vecto chỉ phương của d và d’ là u1→;u2→ lấy M thuộc d; N thuộc d’ • Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n→ = [u1→; MN→] • Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 vecto pháp tuyến. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng
Hướng dẫn giải: Đường thẳng d đi qua điểm M (1; -1;12) và có vecto chỉ phương u1→(1; -1; -3) Đường thẳng d’ đi qua điểm N (1; 2;3) và có vecto chỉ phương u2→(1; -1; -3) Ta có: [u1→,u2→] = (0; 0; 0); MN→(0;3; -9) Do [u1→,u1→] = (0; 0; 0) nên đường thẳng d và d’ song song với nhau. Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và d’ song song nên (P) có một vecto pháp tuyến là n→ \= [u1→,MN→] = (18, 9, 3) = 3( 6; 3; 1) Phương trình mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến (6; 3; 1) và đi qua điểm N (1; 2; 3) là: 6( x – 1)+ 3(y -2) +1(z – 3) = 0 hay 6x + 3y + z - 15 = 0 Chọn B. Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz và đường thẳng
Hướng dẫn giải: Trục Oz đi qua điểm O (0; 0; 0) và có vecto chỉ phương u1→(0; 0; 1). Đường thẳng d đi qua điểm N (3; -1;5) và có vecto chỉ phương u2→( 0; 0; 2) Ta có: [u1→, u1→] = (0; 0; 0); ON→ = (3; -1; 5) Do [u1→, u2→] = (0; 0; 0) nên đường thẳng Oz và d song song. Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng Oz và d song song nên (P) có một vecto pháp tuyến là n→ \= [u1→, ON→] = (1; 3; 0) Phương trình mặt phẳng (P) có VTPT n→ (1; 3; 0) và đi qua điểm O (0; 0; 0) là: x+ 3y = 0 Chọn C. Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A( -1; 2; 1); B( 0; 4; - 2) và chứa đường thẳng d:
Hướng dẫn giải: + Đường thẳng d đi qua điểm M( 0; 1; -1) và có vecto chỉ phương u→( 1; 2; -3). Vecto AB→ (1; 2; -3); AM→(1; -1; -2) + Ta có: [AB→; u→] = (0; 0; 0) Suy ra: đường thẳng d và AB song song với nhau. Mặt phẳng (P) chứa A(-1; 2; 1), nhận vecto n→ \= [AM→; u→] = ( - 7; -1; -3) = -( 7; 1;3) làm VTPT \=> Phương trình mặt phẳng (P) : 7( x+ 1) + 1( y-2) + 3( z- 1)= 0 hay 7x+ y + 3z + 2= 0 Chọn A. Ví dụ 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng . Gọi mặt phẳng (P) chứa d1và d2. Biết mặt phẳng (P) có phương trình dạng: x+ ay+ bz+ c= 0. Tính a.b.c?
Hướng dẫn giải: Đường thẳng d1 đi qua điểm M( 0;1;2) và có vecto chỉ phương u1→(2; -3; 1) Đường thẳng d2 đi qua điểm N( 1;2; 0) và có vecto chỉ phương u2→(2; -3; 1) Ta có: [u1→; u2→] =(0; 0; 0); MN→ (1; 1; -2) Do [u1→; u2→] = (0; 0; 0) nên đường thẳng d1 và d2 song song với nhau. Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d1 và d2 song song với nhau nên (P) có VTPT là n→ \= [u1→; u2→] = (5; 5;5) chọn ( 1; 1; 1) Phương trình mặt phẳng (P) là: 1( x- 0) + 1( y- 1) + 1( z-2) = 0 hay x + y + z - 3= 0 \=> a= 1; b= 1 và c= - 3 nên a.b.c= -3 Chọn D. Dạng 12. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua một điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d và d’ cho trước1. Phương pháp giải • Tìm vecto chỉ phương của d và d’ là u1→; u2→ • Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n→ \= [u1→, u2→] • Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 vecto pháp tuyến. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng Mặt phẳng (α) đi qua A( 2; 1; 2) và đồng thời song song với cả hai đường thẳng d1; d2 có phương trình là
Hướng dẫn giải: Đường thẳng d1 đi qua M (1; 0; -2) và có vecto chỉ phương u1→( 3; 1;1) Đường thẳng d’ đi qua N (0; -1; 2) và có vecto chỉ phương u2→(-1; 1; 3) Ta có: [u1→, u2→] = (2; -10; 4) Gọi n→ là VTPT của mặt phẳng (P). Ta có (P) song song với d1 và d2 nên nên n→ cùng phương với [u1→, u2→] Chọn n→( 1; -5; 2) ta được phương trình mặt phẳng (P) là: 1.( x – 2) – 5 ( y – 1) + 2(z- 2) =0 hay x- 5y + 2z – 1 = 0 Chọn C. Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm B(1; -3; 2) và song song với trục Ox, Oy
Hướng dẫn giải: Trục Ox có vecto chỉ phương u1→(1; 0; 0) Trục Oy có vecto chỉ phương u2→(0; 1; 0) Ta có: [u1→, u2→] = (0; 0; 1) Gọi n→ là VTPT của mặt phẳng (P). Ta có (P) song song với Ox và Oy nên nên n→ cùng phương với [u1→, u2→] Chọn n→(0; 0; 1) ta được phương trình mặt phẳng (P) là: 0(x- 1) + 0( y+ 3) + 1( z- 2) = 0 hay z - 2 = 0 Chọn C. Ví dụ 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (0; -3; 4) và song song với đường thẳng d: và trục Oz
Hướng dẫn giải: Đường thẳng d có vecto chỉ phương u1→(- 2 ;3; -1) Trục Oz có vecto chỉ phương u2→(0; 0;1) Ta có: [u1→, u2→] = ( 3; 2; 0) Gọi n→ là VTPT của mặt phẳng (P). Ta có (P) song song với Oz và d nên nên n→ cùng phương với [u1→, u2→] Chọn n→(3; 2; 0) ta được phương trình mặt phẳng (P) là: 3( x- 0) + 2( y +3) + 0( z - 4) = 0 hay 3x + 2y+ 6 = 0 Chọn B. Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A( -1; 2; 1) và song song với đường thẳng BC và đường thẳng d:; biết điểm B( 0; 1; -3) và C( -2; 1; 0)?
Hướng dẫn giải: + Đường thẳng d có vecto chỉ phương u→(1; 2; -3). Đường thẳng BC có vecto chỉ phương BC→( -2; 0; 3) Ta có: [u→, BC→] = ( 6; 3; 4) Gọi n→ là VTPT của mặt phẳng (P). Ta có (P) song song với BC và d nên nên n→ cùng phương với [u→, BC→] Chọn n→( 6; 3; 4) ta được phương trình mặt phẳng (P) là: 6 (x+ 1) + 3( y- 2) + 4.(z- 1) = 0 hay 6x +3y + 4z – 4= 0 Chọn B. Dạng 13. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua một điểm M và vuông góc với 2 mặt phẳng (P), (Q) cho trước1. Phương pháp giải • Tìm vecto pháp tuyến của (P) và (Q) là n1→ và n2→ • Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) là n→ \= [n1→, n2→] • Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 vecto pháp tuyến. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x- y + z – 3 = 0 và (Q): 2x – z + 2= 0. Mặt phẳng (α) đi qua O và đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng (P), (Q) có phương trình là
Hướng dẫn giải: Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n1→(1; -1; 1) Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là n2→(2; 0; -1) Ta có: [n1→, n2→] = ( 1; 3; 2) nên mặt phẳng (α) nhận (1; 3; 2) là một vecto pháp tuyến và (P) đi qua điểm O(0; 0; 0) nên mặt phẳng (α) có phương trình: 1. (x – 0) + 3( y – 0) + 2(z – 0) = 0 hay x+ 3y + 2z = 0 Chọn D. Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(0; 1; 5), đồng thời vuông góc với cả hai mặt phẳng (Q): 3x – 2y + 2z + 1 = 0 và (R): 5x – 4y + 3z + 10 =0
Hướng dẫn giải: Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là n1→( 3; -2; 2) Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (R) là n2→( 5; -4; 3) Ta có: [n1→, n2→] = (2; 1; -2) nên mặt phẳng (P) nhận (2; 1; -2) là một vecto pháp tuyến và (P) đi qua điểm M (0; 1; 5) nên mặt phẳng (P) có phương trình: 2.(x – 0) + 1(y - 1) - 2( z - 5) = 0 hay 2x+ y – 2z + 9= 0 Chọn A. Ví dụ 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A ( 3; 2; -1), đồng thời vuông góc với mặt phẳng Oxy và mặt phẳng (Q): x + 2y – z + 9 = 0.
Hướng dẫn giải: Mặt phẳng Oxy có vecto pháp tuyến n1→(0; 0; 1) Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là n2→( 1; 2; -1) Ta có: [n1→, n2→] = ( - 2; 1; 0) nên mặt phẳng (P) nhận ( 2; -1; 0) là một VTPT và (P) đi qua điểm A (3; 2; -1) nên mặt phẳng (P) có phương trình: 2( x- 3) - 1( y – 2)+ 0( z+ 1)= 0 hay 2x – y – 4= 0 Chọn C. Dạng 14: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) và cách (Q): Ax+ By + Cz + D = 0 ( hoặc điểm H) một khoảng k cho trước.1. Phương pháp giải • Trên mặt phẳng (Q) chọn một điểm M • Do mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên mặt phẳng (P) có dạng: Ax+ By+ Cz + D’= 0 • Sử dụng công thức khoảng cách: d((P); (Q)) = d(M; (Q))= k để tìm D’. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q): x + 2y - 2z + 1 = 0 và cách (Q) một khoảng bằng 3.
Hướng dẫn giải: Trên mặt phẳng (Q) chọn điểm M (-1; 0;0) Do mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng: x+ 2y – 2z + D = 0 Vì khoảng cách giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q) bằng 3 nên ta có: d(M; (P))= 3 Vậy có 2 phương trình mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu đề bài là x+ 2y – 2z + 10 = 0 hoặc x+ 2y - 2z – 8= 0 Chọn C. Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q): 2x+ 3y – z + 3 = 0 và cách (Q) một khoảng bằng √14
Hướng dẫn giải: Trên mặt phẳng (Q) chọn điểm M (0; -1;0) Do mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng: 2x + 3y – z + D = 0 Vì khoảng cách giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q) bằng √14 nên ta có: Vậy có 2 phương trình mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu đề bài là : x+ 2y – 2z + 17 = 0 hoặc x + 2y – 2z – 11= 0 Chọn B. Ví dụ 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, gọi (α) là mặt phẳng song song với mặt phẳng (β): 2x - 4y + 4z + 3 = 0 và cách điểm A(2; -3; 4) một khoảng bằng 3. Viết phương trình mặt phẳng (α)?
Hướng dẫn giải: Mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng (β) nên phương trình mặt phẳng (α) có dạng: 2x - 4y + 4z + D = 0 (D ≠ 3) Vì d(A; (P))= 3 Vậy có 2 phương trình mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu đề bài là 2x - 4y+ 4z – 14= 0 và 2x – 4y + 4z – 50 = 0 Chọn A. Ví dụ 4: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1; 0; 0), B(0; -2; 0); C(0; 0; 4). Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (ABC) và cách điểm M(2; -1; -1) một khoảng bằng √21
Hướng dẫn giải: Phương trình mặt phẳng (ABC) là: x/1 + y/(-2) + z/4 = 1 hay 4x - 2y + z – 4= 0 Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (ABC) nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng: 4x – 2y + z + D = 0 ( D ≠ -4 ) Do khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng √21 nên ta có: Vậy có 2 phương trình mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu đề bài là 4x – 2y + z – 30 = 0 và 4x – 2y + z + 12= 0 Chọn C. Ví dụ 5: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz; cho điểm M( 0; -1; 2) ; N( -1; 1; 3). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M; N và tạo với mặt phẳng (Q): 2x – y – 2z – 2= 0 góc có số đo nhỏ nhất. Điểm A( 1;2; 3) cách mp (P) một khoảng là |
