Gọi số trái thanh long ruột đỏ trong mỗi bộ ba theo thứ tự là $x_1,x_2,...,x_{10}$ [$0\leqslant x_i\leqslant 3$]. Ta có :
$$x_1+x_2+x_3+...+x_{10}=10$$
Hàm sinh cho số cách phân bố $10$ trái thanh long ruột đỏ vào $10$ bộ ba là :
$f[x]=[1+x+x^2+x^3]^{10}=\left [ \frac{1-x^4}{1-x} \right ]^{10}=[1-x^4]^{10}[1-x]^{-10}=[1-10x^4+45x^8-...]\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+9}^9x^k$
$\left [ x^{10} \right ]f[x]=C_{19}^9-10C_{15}^9+45C_{11}^9=44803$.
Hàm sinh cho số cách phân bố sao cho không có bộ ba nào có $3$ trái thanh long ruột đỏ là :
$g[x]=[1+x+x^2]^{10}=\left [ \frac{1-x^3}{1-x} \right ]^{10}=[1-10x^3+45x^6-120x^9+...]\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+9}^9x^k$
$\left [ x^{10} \right ]g[x]=C_{19}^9-10C_{16}^9+45C_{13}^9-120C_{10}^9=8953$.
Xác suất cần tính là $\frac{8953}{44803}\approx 0,1998$
3/ Các số 5 chữ số lập từ các chữ số đã cho có dạng $\overline{a_4a_3a_2a_1a_0 }$.
Ta xét các trường hợp, giả sử :
- $a_4\in \left \{ 2,5,6 \right \}$ thì số các số $\overline{a_3a_2a_1a_0 }$ là :
$\left [ \frac{x^4}{4!} \right ]f[x]=\left [ \frac{x^4}{4!} \right ][1+x]^2\left [ 1+x+\frac{x^2}{2!} \right ]^2\left [ 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!} \right ]=370$ số
- $a_4\in \left \{ 1,3 \right \}$ thì số các số $\overline{a_3a_2a_1a_0 }$ là :
$\left [ \frac{x^4}{4!} \right ]g[x]=\left [ \frac{x^4}{4!} \right ][1+x]^4\left [ 1+x+\frac{x^2}{2!} \right ]\left [ 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!} \right ]=626$ số
- $a_4=4$ thì số các số $\overline{a_3a_2a_1a_0 }$ là :
$\left [ \frac{x^4}{4!} \right ]h[x]=\left [ \frac{x^4}{4!} \right ][1+x]^3\left [ 1+x+\frac{x^2}{2!} \right ]^3=738$ số
Do đó tổng các số thỏa yêu cầu là :
$\sum_{k=0}^{4}\left [ 370[2+5+6]+626[1+3]+738\cdot4 \right ]10^k\\
=10266\cdot11111=\boldsymbol {114065526}$
Bài [Extra]:Em nghĩ là : số trái ruột đỏ chỉ chiếm 1/3 nên XS cần tìm sẽ vào khoảng lân cận 66%. Anh thấy sao?
Bài 3 : Tính nhầm ở TH5 [đã sửa]
Bài [Extra] Mình nghĩ $n[\Omega ]$ là số bộ nghiệm nguyên của phương trình $\sum_{i=1}^{10}x_i=10$ với $0\leqslant x_i\leqslant 3$
2. Trong các số tự nhiên có ba chữ số có bao nhiêu số chứa đúng một chữ số 4? Có bao nhiêu số chứa đúng một chữ số 2?
3. Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số abcd trong đó b-a=1 ; d-c=1?
Xem chi tiếtTìm số tự nhiên có tận cùng bằng 3, biết rằng nếu xóa chữ số hàng đơn vị thì số đó giảm đi 1992 đơn vị. Tìm ba chữ số khác nhau và khác 0, biết rằng nếu dùng cả ba chữ số này lập thành các số tự nhiên có ba chữ số thì hai số lớn nhất có tổng bằng 1444
-Nếu 5 đứng ở hàng trăm
Có 1 cách chọn chữ số thứ nhất
Có 9 cách chọn chữ số thứ hai
Có 9 cách chọn chữ số thứ 3
=> Có tất cả :1x9x9=81 số [1]
- Nếu 5 đứng ở chục
Có 8 cách chọn chữ số thứ nhất
Có 1 cách chọn chữ số thứ hai
Có 9 cách chọn chữ số thứ 3
=> Có tất cả :8x1x9=72 số [2]
- Nếu 5 đứng ở hàng đơn vị
Có 8 cách chọn chữ số thứ nhất
Có 9 cách chọn chữ số thứ hai
Có 1 cách chọn chữ số thứ 3
=> Có tất cả :8x9x1=72 số [3]
Từ [1] ; [2] và [3]
=> Có tất cả 81+72+72=231 số
Vậy có 231 số có 3 chữ số trong đó có đúng một chữ số 5.