Tài liệu gồm 76 trang, hướng dẫn phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình, giúp học sinh lớp 9 tham khảo khi học chương trình Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 môn Toán.
LOẠI 1: BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI DIỆN TÍCH, TAM GIÁC, TỨ GIÁC.
- TÓM TẮT LÝ THUYẾT – PHƯƠNG PHÁP GIẢI
- Các bước giải Bước 1: Lập phương trình hoặc hệ phương trình: + Chọn ẩn, đơn vị cho ẩn, điều kiện thích hợp cho ẩn. + Biểu đạt các đại lượng khác theo ẩn [chú ý thống nhất đơn vị]. + Dựa vào các dữ kiện, điều kiện của bài toán để lập phương trình hoặc hệ phương trình. Bước 2: Giải phương trình hoặc hệ phương trình. Bước 3: Nhận định, so sánh kết quả bài toán, dựa vào điều kiện tìm kết quả thích hợp, trả lời, nêu rõ đơn vị của đáp số. II. Các công thức liên quan + Diện tích tam giác vuông = nữa tích hai cạnh góc vuông. + Diện tích hình chữ nhật = dài nhân rộng. + Diện tích hình vuông = cạnh nhân cạnh.
- CÁC VÍ DỤ MẪU
- BÀI TẬP RÈN LUYỆN
- BÀI TẬP VỀ NHÀ
LOẠI 2: BÀI TOÁN NĂNG SUẤT.
- TÓM TẮT LÝ THUYẾT – PHƯƠNG PHÁP GIẢI
- Các bước giải Bước 1: Lập phương trình hoặc hệ phương trình: + Chọn ẩn, đơn vị cho ẩn, điều kiện thích hợp cho ẩn. + Biểu đạt các đại lượng khác theo ẩn [chú ý thống nhất đơn vị]. + Dựa vào các dữ kiện, điều kiện của bài toán để lập phương trình hoặc hệ phương trình. Bước 2: Giải phương trình hoặc hệ phương trình. Bước 3: Nhận định, so sánh kết quả bài toán, tìm kết quả thích hợp, trả lời, nêu rõ đơn vị của đáp số. II. Các công thức liên quan N = 1/t; t = 1/N; CV = N.t. Trong đó: N: là năng suất làm việc; t: là thời gian hoàn thành công việc; 1: là công việc cần thực hiện; CV: số công việc thực hiện trong thời gian t.
- CÁC VÍ DỤ MẪU
- BÀI TẬP RÈN LUYỆN
- BÀI TẬP VỀ NHÀ
LOẠI 3: BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI CHUYỂN ĐỘNG.
- TÓM TẮT LÝ THUYẾT – PHƯƠNG PHÁP GIẢI
- Các bước giải Bước 1: Lập phương trình hoặc hệ phương trình: + Chọn ẩn, đơn vị cho ẩn, điều kiện thích hợp cho ẩn. + Biểu đạt các đại lượng khác theo ẩn [chú ý thống nhất đơn vị]. + Dựa vào các dữ kiện, điều kiện của bài toán để lập phương trình hoặc hệ phương trình. Bước 2: Giải phương trình hoặc hệ phương trình. Bước 3: Nhận định, so sánh kết quả bài toán tìm kết quả thích hợp, trả lời, nên rõ đơn vị của đáp số. II. Các công thức liên quan + Quãng đường = Vận tốc . Thời gian. + v_xuôi = v_thực + v_nước. + v_ngược = v_thực – v_nước. + v_xuôi – v_ngược = 2v_nước.
- CÁC VÍ DỤ MẪU
- BÀI TẬP RÈN LUYỆN
- BÀI TẬP VỀ NHÀ
LOẠI 4: BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI CÔNG VIỆC – NƯỚC CHẢY.
- TÓM TẮT LÝ THUYẾT – PHƯƠNG PHÁP GIẢI
- Các bước giải Bước 1: Lập phương trình hoặc hệ phương trình: + Chọn ẩn, đơn vị cho ẩn, điều kiện thích hợp cho ẩn. + Biểu đạt các đại lượng khác theo ẩn [chú ý thống nhất đơn vị]. + Dựa vào các dữ kiện, điều kiện của bài toán để lập phương trình hoặc hệ phương trình. Bước 2: Giải phương trình hoặc hệ phương trình. Bước 3: Nhận định, so sánh kết quả bài toán, tìm kết quả thích hợp, trả lời, nêu rõ đơn vị của đáp số. II. Các công thức liên quan + Quãng đường = Vận tốc . Thời gian. + v_xuôi = v_thực + v_nước. + v_ngược = v_thực – v_nước. + v_xuôi – v_ngược = 2v_nước.
- CÁC VÍ DỤ MẪU
- BÀI TẬP RÈN LUYỆN
- BÀI TẬP VỀ NHÀ
LOẠI 5: CÁC BÀI TOÁN KHÁC.
- TÓM TẮT LÝ THUYẾT – PHƯƠNG PHÁP GIẢI
- Các bước giải Bước 1: Lập phương trình hoặc hệ phương trình: + Chọn ẩn, đơn vị cho ẩn, điều kiện thích hợp cho ẩn. + Biểu đạt các đại lượng khác theo ẩn [chú ý thống nhất đơn vị]. + Dựa vào các dữ kiện, điều kiện của bài toán để lập phương trình hoặc hệ phương trình. Bước 2: Giải phương trình hoặc hệ phương trình. Bước 3: Nhận định, so sánh kết quả bài toán, tìm kết quả thích hợp, trả lời, nêu rõ đơn vị của đáp số. II. Các lưu ý thêm + Toán nồng độ dung dịch: Biết rằng m lít chất tan trong M lít dung dịchthì nồng độ phàn trăm là m/M.100%. + Toán nhiệt lượng: m Kg nước giảm t0C thì toả ra một nhiệt lượng Q = m.t [Kcal]. m Kg nước tăng t0C thì thu vào một nhiệt lượng Q = m.t [Kcal]. + Toán lãi suất: 1 n A A r n với An: vốn sau n chu kỳ [năm, tháng, …]; A: vốn ban đầu; n số chu kỳ [năm, tháng,…].
- CÁC VÍ DỤ MẪU
- BÀI TẬP RÈN LUYỆN
- BÀI TẬP VỀ NHÀ
CHUYÊN ĐỀ 2 : CÁC BÀI TOÁN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A – LÝ THUYẾT CƠ BẢN
I. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Định nghĩa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng:
[ ] ' ' '
ax by c I a x b y c
Trong đó a, b, a’ và b’ không đồng thời bằng 0
2. Biện luận số nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn số
Với a’, b’, c’ khác 0 thì:
+ Hệ [I] có nghiệm duy nhất khi
' '
a b
a b
+ Hệ [I] vô nghiệm khi
' ' '
a b c
a b c
+ Hệ [I] có vô số nghiệm khi
' ' '
a b c
a b c
II. Phương pháp giải hệ phương trình
Để giải hệ phương trình chúng ta thường dùng phương pháp thế hoặc cộng đại
số, ngoài ra với một số hệ phương trình phức tạp ta sử dụng thêm phương pháp
đặt ẩn phụ.
1. Giải phương trình bằng phương pháp thế. [giả sử hệ có ẩn x và y ]
* Phương pháp giải:
- Từ một phương trình của hệ, biểu thị một ẩn chẳng hạn ẩn x theo ẩn kia
- Thế biểu thức của x vào phương trình còn lại rồi thu gọn, ta tìm được giá
trị của y.
- Thế giá trị của y vào biểu thức của x ta tìm được giá trị của x.
2. Giải phương trình bằng phương pháp cộng đại số
* Phương pháp giải:
- Nhân các vế của hai phương trình với một số thích hợp [nếu cần] sao cho
các hệ số của một ẩn bằng nhau hoặc đối nhau.
- Sử dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới trong đó có
một phương trình một ẩn.
- Giải hệ phương trình vừa thu được
3. Giải phương trình bằng phương đặt ẩn phụ
Khi trong hệ có chứa các biểu thức giống nhau, ta kết hợp phương pháp đặt ẩn
phụ để đưa hệ về một hệ mới đơn giản hơn. Sau đó sử dụng phương pháp cộng
hoặc thế để tìm ra nghiệm của hệ phương trình.
* Phương pháp giải:
- Đặt điều kiện để hệ có nghĩa [nếu cần].
- Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ [nếu có].
- Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt.
- Trở lại ẩn đã cho để tìm nghiệm của hệ số [lưu ý với điều kiện lúc đặt ẩn
phụ].
B – CÁC DẠNG BÀI TẬP
DẠNG 1 : Giải hệ phương trình cơ bản
1. Lý thuyết
Vận dụng kiến thức phương pháp thế và cộng đại số để giải hệ phương trình:
* Phương pháp thế:
- Từ một phương trình của hệ, biểu thị một ẩn chẳng hạn ẩn x theo ẩn kia
- Thế biểu thức của x vào phương trình còn lại rồi thu gọn, ta tìm được giá
trị của y.
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
1]
5 2 14
3 4 2 0
x y
x y
2]
3 2 14
2 5 3
x y
x y
3]
[ 1 ][ 3 3 ] 3 [ 1 ] 12
[ 2 3 ][ 2 4 ] 4 [ 3 ] 54
x y y x
x y x y
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau:
1]
[ 1 3 ] 5 1
5 [ 1 3 ] 1
x y
x y
2]
3 5
0 , 2 0 , 1 0 , 3
x y
x y
3]
10 0
3
2
x y
y
x
Bài 4: Giải các hệ phương trình sau:
4]
7
6 5
3
1
2
4
27
5
3
2 5
y x y
x
x
y x y
5]
[ 2 ][ 2 ] 32
2
1
2
1
50
2
1
[ 2 ][ 3 ]
2
1
xy x y
x y xy
6]
x y xy
x y xy
[ 10 ][ 1 ]
[ 20 ][ 1 ]
DẠNG 2 : Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn số phụ
1. Lý thuyết
Phương pháp giải:
- Đặt điều kiện để hệ có nghĩa [nếu cần].
- Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ [nếu có].
- Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt.
- Trở lại ẩn đã cho để tìm nghiệm của hệ số [lưu ý với điều kiện lúc đặt ẩn
phụ].
2. Ví dụ mẫu
Giải hệ phương trình:
2 1
3
2 2
[ ]
4 3
1
2 2
x y y x
I
x y y x
Giải:
Điều kiện
2 0
2 0
x y
y x
Đặt
1 1
;
2 2
a b
x y y x
Hệ phương trình [I] trở thành:
2 3 6 3 9 10 10 1
4 3 1 4 3 1 4 3 1 1
a b a b a a
a b a b a b b
Khi đó:
1
1 3
2 2 1 2 4
1
1 2 1 2 1 1
1
2 3
y y
x y x y x y
y
x y x y x
x
y x
Vậy hệ phương trình [I] có nghiệm duy nhất [x;y] = [
1 1
;
3 3
].
3. Bài tập áp dụng
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
1]
[ ] 2 [ ] 5
2 [ ] 3 [ ] 4
x y x y
x y x y
2]
1
2
3
2
4
3
2
1
2
2
x y y x
x y y x
3]
9
4
5
1
2
4
4
2
1
3
x y
x
x y
x
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
1]
1
8 15
12
1 1 1
x y
x y
2]
3 2 6
13
2 2
2 2
x y
x y
3]
2 3 11
3 2 16
x y
x y
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau:
1]
3 10
4 18
x y
x y
2]
3 [ 2 ] 2 1 7
2 [ 2 ] 1 0
2
2
x x y
x x y
3]
2 4 8 4 5 4 4 13
5 1 3 2 7
2 2 x x y y
x y
DẠNG 3 :Giải và biện luận hệ phương trình
1. Lý thuyết
Phương pháp giải:
Từ một phương trình của hệ tìm y theo x rồi thế vào phương trình thứ
hai để được phương trình bậc nhất đối với x
Giả sử phương trình bậc nhất đối với x có dạng: ax = b [1]
DẠNG 4 :Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện
cho trước
1. Lý thuyết
Phương pháp giải:
- Giải hệ phương trình theo tham số
- Viết x, y của hệ về dạng: n + f[m]
k
với n, k nguyên
- Tìm m nguyên để f[m] là ước của k
2. Ví dụ mẫu
Tìm m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:
2 1
[I]
2 2 1
mx y m
x my m
Giải:
2 2
2 1 2 4 2 2
[ ]
2 2 1 2
mx y m mx y m
I
x my m mx m y m m
2 2
4 2 3 2 2 2 1
2 2 1
m y m m m m
x my m
Để hệ [I] có nghiệm duy nhất thì m
2 - 4 0 hay m 2
Vậy với m 2 hệ phương trình có nghiệm duy nhất
2
3
1
2
1
2
3
2
2
2 1
4
[ 2 ][ 2 1 ]
2
m m
m x
m m
m
m
m m y
Để x, y là những số nguyên thì m + 2 Ư[3] = 1 ; 1 ; 3 ; 3
Vậy: m + 2 = 1, 3 => m = -1; -3; 1; -
Vây với m ={-1; -3; 1; -5}thì hệ phương trình [I] có nghiệm duy nhất là nghiệm
nguyên.
3. Bài tập áp dụng
Bài 1: Xác định các giá trị nguyên của m để hệ
4
4 10
x my
mx y m
[m là tham số]
có nghiệm duy nhất [x;y] sao cho x> 0, y > 0
Bài 2: Với giá trị nguyên nào của m để hai đường thẳng của hệ
2 5
[ 1 ] 3 1
x y m
m x my m
cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV của hệ tọa độ Oxy
Bài 3: Tìm m nguyên sao cho hệ
x y m
x y
2
3 2 4
có nghiệm [x; y] với x < 1, y < 1.
Bài 4: Với trị nguyên nào của m để hệ
2 16
3 9
mx y
x my