Các dạng bài tập tích của vecto với một số năm 2024

Với Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách và phương pháp giải các dạng bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 10.

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

1. Lí thuyết.

- Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ

và không cùng phương. Khi đó mọi vectơ đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ và , nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho .

Ôn lại các quy tắc: Quy tắc ba điểm, quy tắc trừ, quy tắc hình bình hành.

Ôn lại các tính chất: Tính chất phép cộng vectơ, tích của vectơ với một số, trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác.

2. Các dạng bài.

Dạng 1: Chứng minh đẳng thức vectơ

Phương pháp giải: Phân tích và biến đổi các vectơ để biến đổi vế này thành vế kia của đẳng thức hoặc biến đổi cả hai vế để được hai vế bằng nhau hoặc ta cũng có thể biến đổi đẳng thức véctơ cần chứng minh đó tương đương với một đẳng thức vectơ đã được công nhận là đúng.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến, D là trung điểm của AM. Chứng minh rằng :

và ( O tùy ý )

Giải:

+) Ta có M là trung điểm của BC ⇒

.

⇒

⇔

⇒

( điều cần phải chứng minh)

+) Ta có M là trung điểm của BC ⇒

⇒

Mà D là trung điểm của AM ⇒

⇒

⇒

(điều cần phải chứng minh)

Bài 2: Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm hai đường chéo AC, BD. Chứng minh rằng:

Giải:

Ta có:

⇔

⇔

⇔

(điều cần phải chứng minh)

Dạng 2: Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương.

Phương pháp giải:

Áp dung định nghĩa về phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương, quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, tính chất trung điểm, tính chất trọng tâm.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. I là giao điểm của AD và EF. Phân tích

theo hai vectơ và .

Giải:

+) Có FE là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ FE // BC.

⇒ Tam giác AFE đồng dạng với tam giác ABC.

Mà AD là trung tuyến của tam giác ABC ⇒ AI là trung tuyến của tam giác AFE.

⇒ I là trung điểm của FE.

⇔

⇔

Bài 2: Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho

. Phân tích vectơ theo hai vectơ .

Giải:

Ta có:

⇔

⇔

⇔

⇔

Ta có:

⇔

⇔

⇔

Dạng 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng.

Phương pháp giải:

Ba điểm A, B, C thẳng hàng ⇔

. Để chứng minh điều này ta áp dụng các quy tắc biến đổi vectơ (quy tắc hình bình hành, quy tắc ba điểm, quy tắc trung điểm, quy tắc trọng tâm) hoặc xác định hai vectơ trên thông qua tổ hợp trung gian.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Cho 4 điểm A, B, C, D sao cho

. Chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng.

Giải:

⇔

⇔

⇔

⇔

Vậy B, C, D thẳng hàng.

Bài 2: Cho 4 điểm A, B, I, J. Biết

và . Chứng minh B, I, J thẳng hàng.

Giải:

⇔

⇔

⇔

⇔

⇔

⇔

Vậy B, I, J thẳng hàng.

Dạng 4: Chứng minh hai điểm trùng nhau.

Phương pháp giải:

Để chứng minh M và M’ trùng nhau, ta chứng minh

hoặc chứng minh với O tùy ý.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác ANP trùng với trọng tâm của tam giác CMQ.

Giải:

Gọi trọng tâm của tam giác ANP là G. Ta có:

⇔

(do N, P là trung điểm của BC, CD)

⇔

⇔

⇔

⇔

(do Q, M là trung điểm của AD, AB)

Vậy G vừa là trọng tâm của tam giác ANP vừa là trọng tâm của tam giác CMQ.

Bài 2: Biết

. Chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng AC trùng với trung điểm của đoạn thẳng BD.

Giải:

Khi

thì ABCD là hình bình hành.

Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I là tâm hình bình hành ABCD.

Trung điểm của AC và BD trùng nhau ( cùng là I).

Dạng 5: Quỹ tích điểm.

Phương pháp giải:

Đối với bài toán quỹ tích, học sinh cần nhớ một số quỹ tích cơ bản sau:

Nếu

với A, B cho trước thì M thuộc đường trung trực của đoạn AB.

Nếu

với A, B, C cho trước thì M thuộc đường tròn tâm C, bán kính bằng k. .

Nếu

thì M thuộc đường thẳng qua A song song với BC nếu ; M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC và cùng hướng với nếu k > 0; M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC và ngược hướng với nếu k < 0.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Cho tam giác ABC, M là điểm tùy ý trong mặt phẳng. Tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn:

.

Giải:

Ta có:

⇔

⇔

⇔

(1)

Chọn điểm I sao cho

⇒

⇒

(1) ⇔

⇔

Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I bán kính R =

BC. .

Bài 2: Cho tam giác ABC. Biết

. Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện trên.

Giải:

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và D là trung điểm của BC.

Ta có:

⇔

⇔

Vậy tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng GD.

3. Bài tập tự luyện.

Bài 1: Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB và CD. Chứng minh rằng:

Đáp án:

Bài 2: Cho tam giác ABC. Gọi điểm M nằm trên BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh:

Đáp án:

⇔ ⇔ ⇔

Bài 3: Cho hình thang OABC, M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC. Chứng minh rằng

.

Đáp án:

(luôn đúng)

Bài 4: Cho AK và BM là trung tuyến của tam giác ABC. Phân tích vectơ

theo hai vectơ và .

Đáp án:

Bài 5: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi I là trung điểm của AG. Phân tích vectơ

theo và .

Đáp án:

Bài 6: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến. Gọi I là trung điểm của AM và K là một điểm trên cạnh AC sao cho AK =

AC . Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.

Đáp án:

;

⇒

⇒ B, K, I thẳng hàng.

Bài 7: Cho tam giác ABC. Lấy điểm J sao cho

. Biết M, N là trung điểm của AB, BC. Chứng minh M, N, J thẳng hàng.

Đáp án:

⇒ ⇒ ⇒ M, N, J thẳng hàng.

Bài 8: Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh trọng tâm tam giác MPR trùng với trọng tâm tam giác NQS.

Đáp án:

⇒ G vừa là trọng tâm tam giác MPR vừa là trọng tâm tam giác NQS.

Bài 9: Cho tam giác ABC, A’ là điểm đối xứng của A qua B, B’ là điểm đối xứng của B qua C, C’ là điểm đối xứng của C qua A. Chứng minh các tam giác ABC, A’B’C’ có chung trọng tâm.

Đáp án:

Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác A’B’C’.

⇒ ⇒

Vậy điểm G và G’ trùng nhau.

Bài 10: Cho tam giác ABC. Biết

. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn điều kiện trên.

Đáp án: Tập hợp điểm M là đường trung trực của EF (E, F là trung điểm của AB, AC)

Bài 11: Cho tứ giác ABCD với k là số tùy ý thuộc đoạn [0;1], lấy các điểm M, N sao cho

và . Tìm tập hợp trung điểm I của MN khi k thay đổi.

Đáp án: Tập hợp trung điểm I là đoạn thẳng PQ.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 10 chọn lọc, có đáp án hay khác khác:

• Các định nghĩa về vectơ
• Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ
• Tích của vectơ với môt số
• Các dạng bài tập về toạ độ của vectơ, toạ độ của một điểm

Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• (mới) Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• (mới) Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• (mới) Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều
• Gói luyện thi online hơn 1 triệu câu hỏi đầy đủ các lớp, các môn, có đáp án chi tiết. Chỉ từ 200k!

Săn SALE shopee Tết:

• Đồ dùng học tập giá rẻ
• Sữa dưỡng thể Vaseline chỉ hơn 40k/chai
• Tsubaki 199k/3 chai
• L'Oreal mua 1 tặng 3

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 10

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.