Cách biểu diễn tập hợp nghiệm trên trục số

Câu 1

Vận dụng

Với giá trị nào của \(m\) thì hai bất phương trình sau tương đương?

$\left( {m + 2} \right)x \le m + 1$ và $\left( {3m + 1} \right)x 3m + 1 \le 0$

Câu 2

Thông hiểu

Bất phương trình \(\left( {{m^2} + 9} \right)x + 3 \ge m\left( {1 6x} \right)\) nghiệm đúng với mọi \(x\) khi

Câu 3

Vận dụng

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = \sqrt {x m} \sqrt {6 2x} \) có tập xác định khác rỗng.

Đáp án câu 1

d

Phương pháp giải

Thay lần lượt các giá trị của \(m\) ở từng đáp án vào hai bất phương trình.

Giải các bất phương trình thu được và so sánh tập nghiệm.

Đáp án chi tiết:

Viết lại $\left( {m + 2} \right)x \le m + 1{\rm{ }}\left( 1 \right)$ và $\left( {3m + 1} \right)x \le 3m 1{\rm{ }}\left( 2 \right).$

Thay \(m = 3\), ta được

\(\left\{ \begin{array}{l} x \le 2 \leftrightarrow x \ge 2\\- 8x \le 10 \leftrightarrow x \ge \dfrac{5}{4}\end{array} \right.\)

Không thỏa mãn.

Thay \(m = 2\) thì hệ số của \(x\) ở \(\left( 1 \right)\) bằng \(0\), hệ số của \(x\) ở \(\left( 2 \right)\) khác \(0\). Không thỏa mãn.

Thay \(m = 1\) thì hệ số của \(x\) ở \(\left( 1 \right)\) dương, hệ số của \(x\) ở \(\left( 2 \right)\) âm.

Suy ra hai bất phương trình ngược chiều không cùng tập nghiệm. Không thỏa.

Đến đây dùng phương pháp loại trừ thì chỉ còn đáp án D.

Thay \(m = 3\), ta được

\(\left\{ \begin{array}{l} 5x \le 4 \leftrightarrow x \le \dfrac{4}{5}\\10x \le 8 \leftrightarrow x \le \dfrac{4}{5}\end{array} \right.\)

Đáp án cần chọn là: d

Đáp án câu 2

d

Phương pháp giải

Biến đổi bất phương trình về dạng \(ax + b \ge 0\).

Điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\) là \(\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b \ge 0\end{array} \right.\)

Đáp án chi tiết:

Bất phương trình tương đương với \({\left( {m + 3} \right)^2}x \ge m 3\).

Với \(m = 3\) bất phương trình trở thành \(0x \ge 6\): nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Đáp án cần chọn là: d

Đáp án câu 3

d

Phương pháp giải

Tìm điều kiện xác định của biểu thức \(\sqrt {x m} \) và \(\sqrt {6 2x} \).

Biện luận tập xác định của bất phương trình theo từng giá trị của \(m\).

Đáp án chi tiết:

Hàm số xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}x m \ge 0\\6 2x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge m\\x \le 3\end{array} \right..\)

Nếu \(m > 3\) thì tập xác định của hàm số là \(D = \emptyset .\)

Nếu \(m \le 3\) thì tập xác định của hàm số là \(D = \left[ {m;3} \right].\)

Đáp án cần chọn là: d