Cách biểu diễn tập hợp nghiệm trên trục số

Câu 1

Vận dụng

Với giá trị nào của \[m\] thì hai bất phương trình sau tương đương?

$\left[ {m + 2} \right]x \le m + 1$ và $\left[ {3m + 1} \right]x 3m + 1 \le 0$

Câu 2

Thông hiểu

Bất phương trình \[\left[ {{m^2} + 9} \right]x + 3 \ge m\left[ {1 6x} \right]\] nghiệm đúng với mọi \[x\] khi

Câu 3

Vận dụng

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \[m\] để hàm số \[y = \sqrt {x m} \sqrt {6 2x} \] có tập xác định khác rỗng.

Đáp án câu 1

d

Phương pháp giải

Thay lần lượt các giá trị của \[m\] ở từng đáp án vào hai bất phương trình.

Giải các bất phương trình thu được và so sánh tập nghiệm.

Đáp án chi tiết:

Viết lại $\left[ {m + 2} \right]x \le m + 1{\rm{ }}\left[ 1 \right]$ và $\left[ {3m + 1} \right]x \le 3m 1{\rm{ }}\left[ 2 \right].$

Thay \[m = 3\], ta được

\[\left\{ \begin{array}{l} x \le 2 \leftrightarrow x \ge 2\\- 8x \le 10 \leftrightarrow x \ge \dfrac{5}{4}\end{array} \right.\]

Không thỏa mãn.

Thay \[m = 2\] thì hệ số của \[x\] ở \[\left[ 1 \right]\] bằng \[0\], hệ số của \[x\] ở \[\left[ 2 \right]\] khác \[0\]. Không thỏa mãn.

Thay \[m = 1\] thì hệ số của \[x\] ở \[\left[ 1 \right]\] dương, hệ số của \[x\] ở \[\left[ 2 \right]\] âm.

Suy ra hai bất phương trình ngược chiều không cùng tập nghiệm. Không thỏa.

Đến đây dùng phương pháp loại trừ thì chỉ còn đáp án D.

Thay \[m = 3\], ta được

\[\left\{ \begin{array}{l} 5x \le 4 \leftrightarrow x \le \dfrac{4}{5}\\10x \le 8 \leftrightarrow x \le \dfrac{4}{5}\end{array} \right.\]

Đáp án cần chọn là: d

Đáp án câu 2

d

Phương pháp giải

Biến đổi bất phương trình về dạng \[ax + b \ge 0\].

Điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng với mọi \[x\] là \[\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b \ge 0\end{array} \right.\]

Đáp án chi tiết:

Bất phương trình tương đương với \[{\left[ {m + 3} \right]^2}x \ge m 3\].

Với \[m = 3\] bất phương trình trở thành \[0x \ge 6\]: nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Đáp án cần chọn là: d

Đáp án câu 3

d

Phương pháp giải

Tìm điều kiện xác định của biểu thức \[\sqrt {x m} \] và \[\sqrt {6 2x} \].

Biện luận tập xác định của bất phương trình theo từng giá trị của \[m\].

Đáp án chi tiết:

Hàm số xác định khi \[\left\{ \begin{array}{l}x m \ge 0\\6 2x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge m\\x \le 3\end{array} \right..\]

Nếu \[m > 3\] thì tập xác định của hàm số là \[D = \emptyset .\]

Nếu \[m \le 3\] thì tập xác định của hàm số là \[D = \left[ {m;3} \right].\]

Đáp án cần chọn là: d