Cách chứng minh ideal

Vành

Vành [R, +, ] chứa tập R với hai phép toán hai ngôi [được ký hiệu là + [cộng] và [nhân]] thỏa mãn các tiên đề sau:

R1. [R, +] là một nhóm giao hoán đối với phép cộng. Phần tử đơn vị đối với phép cộng [không] được ký hiệu 0.

R2. Phép có tính phân phối đối với phép +, nghĩa là:

R3. Phép có tính kết hợp, nghĩa là:

R4. Đối với phép vành R phù hợp theo các tiên đề đóng kín, kết hợp. Phần tử đơn vị đối với phép nhân [đơn vị] được ký hiệu 1, với 1 0.

1. 
   Tập hợp các số nguyên Z với phép cộng và nhân thông thường là một vành.
   
2. 
   Tập các ma trận vuông cùng cấp n với phép cộng và nhân ma trận là một vành.
   
3. 
   Tập các số với phép cộng và nhân theo modulo n ký hiệu là
   là một vành, thường gọi là vành theo thặng dư n.
   
4. 
   Đối với bất kỳ n > 0, nhóm
   là vành đối với các toán tử cộng và nhân theo modulo n, và 0 = 0, 1 = 1.
   

Vành giao hoán là vành R trong đó phép nhân có tính chất giao hoán.

Vành trong đó phép nhân có phần tử đơn vị được gọi là vành có đơn vị.

Tập con A của vành R được gọi là vành con của R nếu chính A là một vành với hai phép toán cộng và nhân trên R [bao gồm cả tính đóng của hai phép toán này trên A].

• 
  Cho A là một ideal của vành R và phần tử x
  R. Tập con của R gồm các phần tử dạng x + a với a
  A được gọi là một liên tập của A theo x.
  
• 
  Ký hiệu R/A là tập hợp tất cả các liên tập của A với x
  R: R/A = {x + A| x
  R} được gọi là tập thừa số của R theo A.
  
• 
  Trên tập thừa số R/A có thể xác định hai phép toán cộng và nhân như sau:
  
  • 
    [x + A] + [y + A] = [x + y] + A
    
  • 
    [x + A] * [ y + A] = [x * y] + A
    

1. Một số khái niệm về ideal

1. 
   Vành con A của vành R được gọi là ideal trái [hoặc phải] của R nếu x a
   A [hoặc a x
   A] với a
   A, với x
   R.
   
2. 
   Vành con A vừa là ideal trái, vừa là ideal phải của R được gọi là ideal của R.
   
3. 
   Giao của họ bất kỳ các ideal của R là ideal của R.
   
4. 
   Cho tập con X R, ideal nhỏ nhất của R chứa X được gọi là ideal sinh bởi X.
   

1. Đồng hình vành

Cho R1 và R2 là hai vành. Ánh xạ f: R1 R2 được gọi là đồng hình vành nếu f bảo toàn hai phép toán cộng và nhân trong R, nghĩa là với a, b

1. 
   f[a + b] =f[a] + f[b],
   
2. 
   f[a b] =f[a] f[b].
   

1. 
   TRƯỜNG
   
   1. 
      Trường