Bài viết hướng dẫn phương pháp loại bỏ các nghiệm không thích hợp [không thỏa mãn điều kiện, không thỏa mãn yêu cầu bài toán] khi giải phương trình lượng giác.
I. PHƯƠNG PHÁP
Bài toán: Loại nghiệm không thích hợp của phương trình lượng giác.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG:
Ta thường gặp hai dạng toán sau:
Dạng 1: Tìm nghiệm thuộc $[a,b]$ của phương trình.
Ta thực hiện theo các bước:+ Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình.
+ Bước 2: Giải phương trình để tìm nghiệm $x = \alpha + \frac{{2k\pi }}{n}$, $k,n \in Z.$
+ Bước 3: Tìm nghiệm thuộc $[a,b]:$
$a < \alpha + \frac{{2k\pi }}{n} < b$ $\mathop \Leftrightarrow \limits^{k,n \in Z} \left[ {{k_0},{n_0}} \right]$ $ \Rightarrow {x_0} = \alpha + \frac{{2{k_0}\pi }}{{{n_0}}}.$
Dạng 2: Phương trình chứa ẩn ở mẫu. Ta thực hiện theo các bước:
+ Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình $x \ne \beta + \frac{{2l\pi }}{n}$, $l,n \in Z.$
+ Bước 2: Giải phương trình để tìm nghiệm ${x_0} = \alpha + \frac{{2k\pi }}{n}$, $k,n \in Z.$
+ Bước 3: Kiểm tra điều kiện ta lựa chọn một trong hai phương pháp sau:
Phương pháp đại số: Nghiệm ${x_0}$ bị loại khi và chỉ khi: $\alpha + \frac{{2k\pi }}{n} = \beta + \frac{{2l\pi }}{n}.$ Nghiệm ${x_0}$ chấp nhận được khi và chỉ khi: $\alpha + \frac{{2k\pi }}{n} \ne \beta + \frac{{2l\pi }}{n}.$
Phương pháp hình học:
Biểu diễn các điểm $x = \beta + \frac{{2l\pi }}{n}$, $l,n \in Z$ trên đường tròn đơn vị, khi đó ta được tập các điểm $C = \left\{ {{C_1}, \ldots ,{C_p}} \right\}.$ Biểu diễn các điểm $x = \alpha + \frac{{2k\pi }}{n}$, $k,n \in Z$ trên đường tròn đơn vị, khi đó ta được tập các điểm $D = \left\{ {{D_1}, \ldots ,{D_q}} \right\}.$ Lấy tập $E = D\backslash C = \left\{ {{E_1}, \ldots ,{E_r}} \right\}$, từ đó kết luận nghiệm của phương trình là:$x = {E_1} + 2k\pi $, …, $x = {E_r} + 2k\pi $, $k \in Z.$
Ví dụ 1: Tìm các nghiệm thuộc $\left[ {\frac{\pi }{2},3\pi } \right]$ của phương trình:
$\sin \left[ {2x + \frac{{5\pi }}{2}} \right] – 3\cos \left[ {x – \frac{{7\pi }}{2}} \right]$ $ = 1 + 2\sin x.$
Biến đổi phương trình về dạng: $\sin \left[ {2x + \frac{\pi }{2} + 2\pi } \right]$ $ – 3\cos \left[ {x + \frac{\pi }{2} – 4\pi } \right]$ $ = 1 + 2\sin x.$ $ \Leftrightarrow \cos 2x + 3\sin x = 1 + 2\sin x$ $ \Leftrightarrow 1 – 2{\sin ^2}x = 1 – \sin x$ $ \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x – \sin x = 0.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sin x = 0}\\ {\sin x = \frac{1}{2}} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = k\pi }\\ {x = \frac{\pi }{6} + 2k\pi }\\ {x = \frac{{5\pi }}{6} + 2k\pi } \end{array}} \right.$ $\mathop \Leftrightarrow \limits^{x \in \left[ {\frac{\pi }{2},3\pi } \right]} \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \pi ,x = 2\pi }\\ {x = \frac{{13\pi }}{6}}\\ {x = \frac{{5\pi }}{6},x = \frac{{17\pi }}{6}} \end{array}} \right..$
Vậy phương trình có $5$ nghiệm.
Ví dụ 2: Tìm các nghiệm thuộc $[0,2\pi ]$ của phương trình:
$5\left[ {\sin x + \frac{{\cos 3x + \sin 3x}}{{1 + 2\sin 2x}}} \right]$ $ = \cos 2x + 3.$
Điều kiện: $1 + 2\sin 2x \ne 0$ $ \Leftrightarrow \sin 2x \ne – \frac{1}{2}$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {2x \ne – \frac{\pi }{6} + 2k\pi }\\ {2x \ne \frac{{7\pi }}{6} + 2k\pi } \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \ne – \frac{\pi }{{12}} + k\pi }\\ {x \ne \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi } \end{array}} \right.$, $k \in Z.$ Ta có: $\cos 3x + \sin 3x$ $ = 4{\cos ^3}x – 3\cos x + 3\sin x – 4{\sin ^3}x.$ $ = 4\left[ {{{\cos }^3}x – {{\sin }^3}x} \right] – 3[\cos x – \sin x].$ $ = [\cos x – \sin x][4[1 + \cos x\sin x] – 3]$ $ = [\cos x – \sin x][1 + 2\sin 2x].$ Khi đó phương trình có dạng: $5[\sin x + \cos x – \sin x] = \cos 2x + 3$ $ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x – 5\cos x + 2 = 0.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\cos x = 2\:{\rm{[loại]}}}\\ {\cos x = \frac{1}{2}} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + 2k\pi $, $k \in Z$ $\mathop \Leftrightarrow \limits^{x \in \left[ {0,2\pi } \right]} \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \frac{\pi }{3}}\\ {x = \frac{{5\pi }}{3}} \end{array}} \right..$
Vậy phương trình có hai nghiệm.
Ví dụ 3: Giải phương trình:
$\frac{1}{{\cos x}} + \frac{1}{{\sin 2x}} = \frac{2}{{\sin 4x}}.$
Điều kiện: $\sin 4x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{4}$, $k \in Z$ $[*].$ Biến đổi phương trình về dạng: $4\sin x\cos 2x + 2\cos 2x = 2$ $ \Leftrightarrow 2\sin x\cos 2x = 1 – \cos 2x.$ $ \Leftrightarrow 2\sin x\cos 2x = 2{\sin ^2}x$ $ \Leftrightarrow [\cos 2x – \sin x]\sin x = 0.$ $ \Leftrightarrow \left[ {1 – 2{{\sin }^2}x – \sin x} \right]\sin x = 0$ $ \Leftrightarrow [\sin x + 1][2\sin x – 1]\sin x = 0.$ $\mathop \Leftrightarrow \limits^{[*]} \sin x = \frac{1}{2}$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \frac{\pi }{6} + 2k\pi }\\ {x = \frac{{5\pi }}{6} + 2k\pi } \end{array}} \right.$, $k \in Z.$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
Nhận xét: Trong lời giải trên chúng ta đã linh hoạt trong việc kiểm tra điều kiện $[*]$ để loại đi các nghiệm $\sin x = 0$ và $\sin x = – 1$ bởi:
$\sin 4x = 4\sin x\cos x\cos 2x.$
Ví dụ 4: Giải phương trình:
$\frac{{\sin x\cot 5x}}{{\cos 9x}} = 1.$
Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sin 5x \ne 0}\\ {\cos 9x \ne 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {5x \ne l\pi }\\ {9x \ne \frac{\pi }{2} + l\pi } \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \ne \frac{{l\pi }}{5}}\\ {x \ne \frac{\pi }{{18}} + \frac{{l\pi }}{9}} \end{array}} \right.$, $l \in Z$ $[*].$ Biến đổi phương trình về dạng: $\cos 5x\sin x = \cos 9x\sin 5x$ $ \Leftrightarrow \frac{1}{2}[\sin 6x – \sin 4x]$ $ = \frac{1}{2}[\sin 14x – \sin 4x].$ $ \Leftrightarrow \sin 14x = \sin 6x$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {14x = 6x + 2k\pi }\\ {14x = \pi – 6x + 2k\pi } \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \frac{{k\pi }}{4}}\\ {x = \frac{\pi }{{20}} + \frac{{k\pi }}{{10}}} \end{array}} \right.$, $k \in Z.$ Kiểm tra điều kiện $[*]:$ + Với $x = \frac{{k\pi }}{4}$, ta cần có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{k\pi }}{4} \ne \frac{{l\pi }}{5}}\\ {\frac{{k\pi }}{4} \ne \frac{\pi }{{18}} + \frac{{l\pi }}{9}} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {5k \ne 4l}\\ {9k \ne 2 + 4l} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {k = 4n + 1}\\ {k = 4n + 3} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \frac{{[4n + 1]\pi }}{4}}\\ {x = \frac{{[4n + 3]\pi }}{4}} \end{array}} \right.$, $n \in Z.$ + Với $x = \frac{\pi }{{20}} + \frac{{k\pi }}{{10}}$, ta cần có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{\pi }{{20}} + \frac{{k\pi }}{{10}} \ne \frac{{l\pi }}{5}}\\ {\frac{\pi }{{20}} + \frac{{k\pi }}{{10}} \ne \frac{\pi }{{18}} + \frac{{l\pi }}{9}} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {1 + 2k \ne 4l}\\ {18k \ne 1 + 20l} \end{array}} \right.$ luôn đúng $ \Rightarrow x = \frac{\pi }{{20}} + \frac{{k\pi }}{{10}}$, $k \in Z.$
Vậy phương trình có ba họ nghiệm.
Nhận xét: Trong lời giải trên từ: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {5k \ne 4l\:[1]}\\ {9k \ne 2 + 4l\:[2]} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {k = 4n + 1}\\ {k = 4n + 3} \end{array}} \right..$ Bởi từ $[1]$ suy ra $k$ không chia hết cho $4$ và từ $[2]$ suy ra $k$ lẻ, do đó: $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {k = 4n + 1}\\ {k = 4n + 3} \end{array}} \right.$ $[I].$ Rồi lại thực hiện phép thử $[I]$ và $[2].$ Còn đối với: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {1 + 2k \ne 4l}\\ {18k \ne 1 + 20l} \end{array}} \right.$ luôn đúng.
Xuất phát từ tính chẵn lẻ của hai vế.
Ví dụ 5: Giải phương trình:
$\sin 3x = \cos x\cos 2x\left[ {{{\tan }^2}x + \tan 2x} \right].$
Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\cos x \ne 0}\\ {\cos 2x \ne 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi }\\ {2x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi } \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi }\\ {x \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}} \end{array}} \right.$, $k \in Z.$ $[*].$ Biến đổi phương trình về dạng: $\sin 3x = \cos x\cos 2x\left[ {\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}}} \right]$ $ \Leftrightarrow \sin 3x = \frac{{{{\sin }^2}x\cos 2x}}{{\cos x}} + \sin 2x\cos x.$ $ \Leftrightarrow \left[ {3\sin x – 4{{\sin }^3}x} \right]\cos x$ $ = \left[ {\cos 2x\sin x + 2{{\cos }^3}x} \right]\sin x.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\left[ {3 – 4{{\sin }^2}x} \right]\cos x – \left[ {\cos 2x\sin x + 2{{\cos }^3}x} \right]} \right]\sin x = 0.$ $ \Leftrightarrow [\cos x – \sin x]\cos 2x\sin x = 0$ $\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left[ * \right]} \sin x = 0$ $ \Leftrightarrow x = k\pi $, $k \in Z.$
Vậy phương trình có một họ nghiệm.
II. CÁC BÀI TOÁN THI
Bài 1: Tìm $x$ thuộc đoạn $[0,14]$ là nghiệm đúng nghiệm phương trình:
$\cos 3x – 4\cos 2x + 3\cos x – 4 = 0.$
Biến đổi phương trình về dạng: $4{\cos ^3}x – 3\cos x$ $ – 4[\cos 2x + 1] + 3\cos x = 0.$ $ \Leftrightarrow 4{\cos ^3}x – 8{\cos ^2}x = 0$ $ \Leftrightarrow \cos x = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi $, $k \in Z.$ Vì $x \in [0,14]$ nên: $0 \le \frac{\pi }{2} + k\pi \le 14$ $ \Leftrightarrow – \frac{1}{2} \le k \le \frac{{14 – \frac{\pi }{2}}}{\pi }$ $ \Leftrightarrow k = 0,1,2,3.$
Vậy phương trình có các nghiệm $x = \frac{\pi }{2}$, $x = \frac{{3\pi }}{2}$, $x = \frac{{5\pi }}{2}$, $x = \frac{{7\pi }}{2}.$
Bài 2: Giải phương trình:
$\frac{{\cos 2x + 3\cot 2x + \sin 4x}}{{\cot 2x – \cos 2x}} = 2.$
Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sin 2x \ne 0}\\ {\cot 2x – \cos 2x \ne 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sin 2x \ne 0}\\ {\left[ {\frac{1}{{\sin 2x}} – 1} \right]\cos 2x \ne 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sin 2x \ne 0}\\ {\cos 2x \ne 0}\\ {\sin 2x \ne 1} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \sin 4x \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{4}$ $k \in Z.$ Biến đổi phương trình về dạng: $\cos 2x + 3\frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}} + 2\sin 2x\cos 2x$ $ = 2\left[ {\frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}} – \cos 2x} \right].$ $ \Leftrightarrow 1 + \frac{3}{{\sin 2x}} + 2\sin 2x$ $ = 2\left[ {\frac{1}{{\sin 2x}} – 1} \right]$ $ \Leftrightarrow 2{\sin ^2}2x + 3\sin 2x + 1 = 0.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sin 2x = – 1\:{\rm{[loại]}}}\\ {\sin 2x = – \frac{1}{2}} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {2x = – \frac{\pi }{6} + 2k\pi }\\ {2x = \pi + \frac{\pi }{6} + 2k\pi } \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = – \frac{\pi }{{12}} + k\pi }\\ {x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi }
\end{array}} \right.$, $k \in Z.$
Bài 3: Giải phương trình:
$\frac{{{{[1 – \cos x]}^2} + {{[1 + \cos x]}^2}}}{{4[1 – \sin x]}}$ $ – {\tan ^2}x\sin x$ $ = \frac{{1 + \sin x}}{2} + {\tan ^2}x.$
Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sin x \ne 1}\\ {\cos x \ne 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \cos x \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi $, $k \in Z.$ Biến đổi phương trình về dạng: $\frac{{2 + 2{{\cos }^2}x}}{{4[1 – \sin x]}}$ $ = \frac{{1 + \sin x}}{2} + [1 + \sin x]{\tan ^2}x.$ $ \Leftrightarrow \frac{{1 + {{\cos }^2}x}}{{2[1 – \sin x]}}$ $ = \frac{{1 + \sin x}}{2}\left[ {1 + 2{{\tan }^2}x} \right]$ $ = \frac{{1 + \sin x}}{2}.\frac{{{{\cos }^2}x + 2{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}$ $ = \frac{{1 + \sin x}}{2}.\frac{{{{\cos }^2}x + 2{{\sin }^2}x}}{{1 – {{\sin }^2}x}}$ $ = \frac{{{{\cos }^2}x + 2{{\sin }^2}x}}{{2[1 – \sin x]}}.$ $ \Leftrightarrow 1 + {\cos ^2}x = {\cos ^2}x + 2{\sin ^2}x$ $ \Leftrightarrow 1 – 2{\sin ^2}x = 0.$ $ \Leftrightarrow \cos 2x = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}$, $k \in Z.$
Vậy phương trình có một họ nghiệm: $x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}$, $k \in Z.$
Bài 4: Giải phương trình:
$3{\sin ^2}x + \frac{1}{2}\sin 2x + 2{\cos ^2}x$ $ = \frac{{3\left[ {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x – 1} \right]}}{{{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x – 1}}.$
Ta có: ${\sin ^4}x + {\cos ^4}x – 1$ $ = {\left[ {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right]^2} – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x – 1$ $ = – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x.$ ${\sin ^6}x + {\cos ^6}x – 1$ $ = {\left[ {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right]^3}$ $ – 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left[ {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right] – 1$ $ = – 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x.$ Điều kiện: ${\sin ^6}x + {\cos ^6}x – 1 \ne 0$ $ \Leftrightarrow – 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x \ne 0$ $ \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}$, $k \in Z$ $[*].$ Biến đổi phương trình về dạng: $3{\sin ^2}x + \frac{1}{2}\sin 2x + 2{\cos ^2}x = 2$ $ \Leftrightarrow {\sin ^2}x + \sin x\cos x = 0.$ $ \Leftrightarrow \sin x[\sin x + \cos x] = 0$ $\mathop \Leftrightarrow \limits^{[*]} \sin x + \cos x = 0$ $ \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{4} + k\pi $, $k \in Z.$
Vậy phương trình có một họ nghiệm $x = – \frac{\pi }{4} + k\pi $, $k \in Z.$
Bài 5: Giải phương trình:
$\frac{{{{\sin }^4}2x + {{\cos }^4}2x}}{{\tan \left[ {\frac{\pi }{4} – x} \right]\tan \left[ {\frac{\pi }{4} + x} \right]}} = {\cos ^4}2x.$
Ta có: $\tan \left[ {\frac{\pi }{4} – x} \right]\tan \left[ {\frac{\pi }{4} + x} \right]$ $ = \tan \left[ {\frac{\pi }{4} – x} \right]\cot \left[ {\frac{\pi }{2} – \frac{\pi }{4} – x} \right]$ $ = \tan \left[ {\frac{\pi }{4} – x} \right]\cot \left[ {\frac{\pi }{4} – x} \right] = 1.$ Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\cos \left[ {\frac{\pi }{4} – x} \right] \ne 0}\\ {\cos \left[ {\frac{\pi }{4} + x} \right] \ne 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x – \frac{\pi }{4} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi }\\ {\frac{\pi }{4} + x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi } \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \ne \frac{{3\pi }}{4} + k\pi }\\ {x \ne \frac{\pi }{4} + k\pi } \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}$, $k \in Z.$ Biến đổi phương trình về dạng: ${\sin ^4}2x + {\cos ^4}2x = {\cos ^4}2x$ $ \Leftrightarrow {\sin ^4}2x = 0$ $ \Leftrightarrow \sin 2x = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2}$, $k \in Z.$
Vậy phương trình có một họ nghiệm $x = \frac{{k\pi }}{2}$, $k \in Z.$
Bài 6: Giải phương trình:
$\frac{{\sin 5x}}{{5\sin x}} = 1.$
Điều kiện: $\sin x \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne k\pi $, $k \in Z.$ Biến đổi phương trình về dạng: $\sin 5x = 5\sin x$ $ \Leftrightarrow \sin 5x – \sin x = 4\sin x$ $ \Leftrightarrow 2\cos 3x\sin 2x = 4\sin x.$ $ \Leftrightarrow 4\cos 3x\sin x\cos x = 4\sin x$ $ \Leftrightarrow [\cos 3x\cos x – 1]\sin x = 0$ $ \Leftrightarrow \cos 3x\cos x = 1.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\cos x = 1}\\ {\cos 3x = 1} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\cos x = – 1}\\ {\cos 3x = – 1} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.$ vi phạm điều kiện vì $\sin x \ne 0.$
Vậy phương trình vô nghiệm.
Bài 7: Giải phương trình:
$\frac{{\cos x – 2\sin x\cos x}}{{2{{\cos }^2}x – \sin x – 1}} = \sqrt 3 .$
Ta có: $2{\cos ^2}x – \sin x – 1$ $ = – 2{\sin ^2}x – \sin x + 1$ $ = [\sin x + 1][1 – 2\sin x].$ Điều kiện: $2{\cos ^2}x + \sin x – 1 \ne 0$ $ \Leftrightarrow [\sin x + 1][1 – 2\sin x] \ne 0.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sin x \ne – 1}\\ {\sin x \ne \frac{1}{2}} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \ne – \frac{\pi }{2} + 2k\pi }\\ {x \ne \frac{\pi }{6} + 2k\pi }\\ {x \ne \frac{{5\pi }}{6} + 2k\pi } \end{array}} \right.$, $k \in Z.$ Biến đổi phương trình về dạng: $\frac{{\cos x[1 – 2\sin x]}}{{[\sin x + 1][1 – 2\sin x]}} = \sqrt 3 $ $ \Leftrightarrow \cos x = \sqrt 3 \sin x + \sqrt 3 .$ $ \Leftrightarrow \sqrt 3 \sin x – \cos x = – \sqrt 3 $ $ \Leftrightarrow \sin \left[ {x – \frac{\pi }{6}} \right] = – \frac{{\sqrt 3 }}{2}.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x – \frac{\pi }{6} = – \frac{\pi }{3} + 2k\pi }\\ {x – \frac{\pi }{6} = \frac{{4\pi }}{3} + 2k\pi } \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = – \frac{\pi }{6} + 2k\pi }\\ {x = \frac{{3\pi }}{2} + 2k\pi \:{\rm{[loại]}}} \end{array}} \right.$, $k \in Z.$
Vậy phương trình có một họ nghiệm.
Bài 8: Giải phương trình:
$\tan x – \sin 2x – \cos 2x$ $ + 2\left[ {2\cos x – \frac{1}{{\cos x}}} \right] = 0.$
Điều kiện: $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi $, $k \in Z.$ Biến đổi phương trình về dạng: $\frac{{\sin x}}{{\cos x}} – 2\sin x\cos x – \cos 2x$ $ + 2\left[ {\frac{{2{{\cos }^2}x – 1}}{{\cos x}}} \right] = 0.$ $ \Leftrightarrow \sin x\left[ {\frac{1}{{\cos x}} – 2\cos x} \right]$ $ – \cos 2x + \frac{{2\cos 2x}}{{\cos x}} = 0.$ $ \Leftrightarrow – \sin x.\frac{{\cos 2x}}{{\cos x}}$ $ – \cos 2x + \frac{{2\cos 2x}}{{\cos x}} = 0$ $ \Leftrightarrow \frac{{\cos 2x}}{{\cos x}}[ – \sin x – \cos x + 2] = 0.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\cos 2x = 0}\\ {\cos x + \sin x = 2} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}$, $k \in Z.$
Vậy phương trình có một họ nghiệm.
Bài 9: Giải phương trình:
$1 + \cot 2x = \frac{{1 – \cos 2x}}{{{{\sin }^2}2x}}.$
Điều kiện: $\sin 2x \ne 0$ $ \Leftrightarrow 2x \ne k\pi $ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}$, $k \in Z$ $[*].$ Biến đổi phương trình về dạng: $1 + \frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}} = \frac{{1 – \cos 2x}}{{1 – {{\cos }^2}2x}}$ $ \Leftrightarrow \frac{{\cos 2x + \sin 2x}}{{\sin 2x}} = \frac{1}{{1 + \cos 2x}}.$ $ \Leftrightarrow [\cos 2x + \sin 2x][1 + \cos 2x] = \sin 2x.$ $ \Leftrightarrow \cos 2x + \sin 2x$ $ + [\cos 2x + \sin 2x]\cos 2x$ $ = \sin 2x.$ $ \Leftrightarrow [\cos 2x + \sin 2x + 1]\cos 2x = 0.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\cos 2x = 0}\\ {\sqrt 2 \cos \left[ {2x – \frac{\pi }{4}} \right] = – 1} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\cos 2x = 0}\\ {\cos \left[ {2x – \frac{\pi }{4}} \right] = – \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {2x = \frac{\pi }{2} + k\pi }\\ {2x – \frac{\pi }{4} = \pm \frac{{3\pi }}{4} + 2k\pi } \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}}\\ {x = \frac{\pi }{2} + k\pi }\\ {x = – \frac{\pi }{4} + k\pi } \end{array}} \right.$ $\mathop \Leftrightarrow \limits^{[*]} x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}$, $k \in Z.$
Vậy phương trình có một họ nghiệm.
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài tập 1. Giải các phương trình sau:
a. $6\sin x – 2{\cos ^3}x = \frac{{5\sin 4x\cos x}}{{2\cos 2x}}.$
b. $\frac{{{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x}}{{\sin 2x}} = \frac{1}{2}[\tan x + \cot x].$
Bài tập 2. Giải các phương trình sau: a. $\frac{{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}}{{\cos x + \cos 2x + \cos 3x}} = \sqrt 3 .$ b. $\frac{{1 + 2{{\sin }^2}x – 3\sqrt 2 \sin x + \sin 2x}}{{2\sin x\cos x – 1}} = 1.$ c. $2[\sin 3x – \cos 3x] = \frac{1}{{\sin x}} + \frac{1}{{\cos x}}.$ d. $\frac{{{{\sin }^3}x + {{\cos }^3}x}}{{2\cos x – \sin x}} = \cos 2x.$ e. $2\sqrt 2 \sin \left[ {x + \frac{\pi }{4}} \right] = \frac{1}{{\sin x}} + \frac{1}{{\cos x}}.$ f. $\frac{1}{{\tan x + \cot 2x}} = \frac{{\sqrt 2 [\cos x – \sin x]}}{{\cot x – 1}}.$
g. $\frac{{{{\cot }^2}x – {{\tan }^2}x}}{{\cos 2x}} = 16[1 + \cos 4x].$
Bài tập 3. Giải các phương trình sau: a. ${\sin ^4}x + {\cos ^4}x$ $ = \frac{7}{8}\cot \left[ {x + \frac{\pi }{3}} \right]\cot \left[ {\frac{\pi }{6} – x} \right].$
b. $\frac{1}{{\cos x}} + \frac{1}{{\sin 2x}} = \frac{2}{{\sin 4x}}.$
Bài tập 4. Giải các phương trình sau: a. $6\sin x – 2{\cos ^3}x = \frac{{5\sin 4x\cos x}}{{2\cos 2x}}.$
b. ${\sin ^2}x – \sin x + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} – \frac{1}{{\sin x}} = 0.$
Bài tập 5. Tìm các nghiệm của phương trình: $\sin \frac{x}{2} – \cos \frac{x}{2} = 1 – \sin x$ thoả mãn điều kiện $\left| {\frac{x}{2} – \frac{\pi }{2}} \right| \le \frac{{3\pi }}{4}.$
Bài tập 6. Tìm các nghiệm của phương trình: $\frac{1}{2}[\cos 5x + \cos 7x]$ $ – {\cos ^2}2x + {\sin ^2}3x = 0$ thoả mãn điều kiện $|x| < 2.$
Bài tập 7. Tìm các nghiệm của phương trình: $\frac{{3\pi }}{4}\sin \left[ {2x + \frac{{5\pi }}{2}} \right] – 3\cos \left[ {x – \frac{{7\pi }}{2}} \right]$ $ = 1 + 2\sin x$ thoả mãn điều kiện $x \in \left[ {\frac{\pi }{2},3\pi } \right].$
Bài tập 8. Tìm tổng các nghiệm thoả mãn $1 \le x \le \pi $ của phương trình:
$\cos 2x – {\tan ^2}x = \frac{{{{\cos }^2}x – {{\cos }^3}x – 1}}{{{{\cos }^2}x}}.$
- Kiến thức Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác