Bài này sẽ hình thành công thức tính số ước số nguyên dương của một số tự nhiên cho trước. Ta xét các ví dụ sau rồi tổng quát hóa. 1. Ví d...
Bài này sẽ hình thành công thức tính số ước số nguyên dương của một số tự nhiên cho trước. Ta xét các ví dụ sau rồi tổng quát hóa.
1. Ví dụ mở đầu
Ví dụ 1. Tìm số ước số nguyên dương của số $234.$Giải: Phân tích $234$ thành thừa số nguyên tố [bằng thủ công hoặc bằng máy tính cầm tay như hướng dẫn trong ảnh dưới].
Do vậy một ước nguyên dương của $234$ phải có dạng $2^a. \ 3^b. \ 13^c.$
Trong đó $a \in \{0;1\}, b \in \{0;1;2\}, c \in \{0;1\}.$
Theo quy tắc nhân trong tổ hợp, tổng số ước nguyên dương của $234$ là: $2.3.2=12.$
Ví dụ 2. Tìm số ước số nguyên dương của số $70560.$
Giải: Phân tích $70560$ thành thừa số nguyên tố:
$$70560=2^5.3^2.5.7^2.$$
Một ước nguyên dương của $70560$ phải có dạng $2^a. \ 3^b. \ 5^c. \ 7^d.$
Trong đó $a$ có $6$ cách chọn [$a \in \{0;1;2;3;4;5\}$]. Tương tự $b$ có $3$ cách chọn; $c$ có $2$ cách chọn; $d$ có $3$ cách chọn.
Vậy $70560$ có tất cả: $6.3.2.3=108$ ước số nguyên dương.
2. Tổng quát hóa
Định lí. Giả sử số tự nhiên $n$ được phân tích thành thừa số nguyên tố:$$n=p_1^{m_1}.p_2^{m_2}...p_k^{m_k}.$$
Khi đó số ước số nguyên dương của $n$ là $[m_1+1][m_2+1]...[m_k+1].$
Việc chứng minh định lí này được trình bày tương tự như các ví dụ trên.
3. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 3. Tìm số ước tự nhiên của số $202000.$Giải: Ta có: $202000 = 2^4.5^3.101$
Do đó $202000$ có tất cả $[4+1][3+1][1+1]=40$ ước số tự nhiên.
Ví dụ 4. Số $9465779232$ có bao nhiêu ước số nguyên dương? [Đề thi thử trường chuyên Bắc Ninh]
Giải: Ta có $9465779232=2^5.3^6.7^4.13^2.$
Vậy số ước số nguyên dương của $9465779232$ là: $[5+1][6+1][4+1][2+1]=630.$
Theo Math Vn. Người đăng: Tố Uyên.
Xem thêm: Công thức tính tổng các ước nguyên dương của một số.
Một tổ có 6 học sinh, trong đó có 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các học sinh trong tổ thành một hàng dọc sao cho nam, nữ đứng xen kẽ nhau?
Xem đáp án » 08/03/2022 7,008
Câu 2:
Có 12 tay đua xe đạp cùng xuất phát trong một cuộc đua để chọn ra 3 người về đích đầu tiên. Số kết quả có thể xảy ra là:
Xem đáp án » 08/03/2022 2,438
Câu 3:
Một lớp học có 30 học sinh, trong đó có 18 em giỏi Toán, 14 em giỏi văn và 10 em không giỏi môn nào. Số tất cả các em giỏi cả văn lẫn toán là:
Xem đáp án » 08/03/2022 2,304
Câu 4:
Có 3 tem thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư đó lên 3 bì thư đã chọn, mỗi bì thư chỉ dán 1 tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy?
Xem đáp án » 08/03/2022 1,831
Câu 5:
Có 18 đội bóng đá tham gia thi đấu. Mỗi đội chỉ có thể nhận nhiều nhất là một huy chương và đội nào cũng có thể đoạt huy chương. Khi đó, số cách trao 3 loại huy chương vàng, bạc, đồng cho ba đội nhất nhì ba là:
Xem đáp án » 08/03/2022 1,374
Câu 6:
Có 4 cuốn sách toán khác nhau, 3 sách lý khác nhau, 2 sách hóa khác nhau. Muốn sắp và một kệ dài các cuốn sách cùng môn kề nhau, 2 loại toán và lý phải kề nhau thì số cách sắp là:
Xem đáp án » 08/03/2022 1,047
Câu 7:
Có bao nhiêu số là ước dương của 210.36.58 và chia hết cho 25.32.54?
Xem đáp án » 08/03/2022 636
Câu 8:
Cho A=a;b;c. Số hoán vị của ba phần tử của A là:
Xem đáp án » 08/03/2022 477
Câu 9:
Cho n, k∈ℕ với 0