Chứng minh dãy số bằng phương pháp quy nạp

Bài 2.
a) Ta có
$U_{n+3}=\sin \left ((4n+11)\dfrac{\pi}{6} \right )=\sin \left ((4n-1)\dfrac{\pi}{6} +2\pi\right )=\sin \left ((4n-1)\dfrac{\pi}{6} \right )=u_n \forall n \ge 1.$
b) Ta thấy rằng nếu
$n=3m$ thì $u_n=\sin \left ((12m-1)\dfrac{\pi}{6} \right )=\sin \left (2\pi-\dfrac{\pi}{6} \right )=-\frac{1}{2}$
$n=3m+1$ thì $u_n=\sin \left ((12m+3)\dfrac{\pi}{6} \right )=1$
$n=3m+2$ thì $u_n=\sin \left ((12m+7)\dfrac{\pi}{6} \right )=-\frac{1}{2}$
Như vậy
$U_1+\ldots+U_{15}=5U_1+5U_2+5U_3=5(U_1+U_2+U_3)=0$

Câu 3.
a) Ta chứng minh bằng quy nạp.
Với $n=1$ hiển nhiên đúng.
Giả sử đúng với $n=k$ tức là $U_k <8.$
Theo công thức truy hồi ta có
$U_{k+1}=\frac{1}{2}U_k+4 <\frac{1}{2}.8+4=8 $
Tức là nó cũng đúng với $n=k+1$, đpcm.
b) Theo câu a)
$U_{n+1}-U_n =4-\frac{1}{2}U_n >0$ suy ra $U_n$ là dãy tăng.

Bài 1.
a) hiển nhiên thấy $U_{n+1}-U_n =(n+1)2^n >0 \forall n.$
suy ra $U_n$ là dãy tăng thực sự.
b) Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng $U_n=1+(n-1)2^n.$
Với $n=1$ hiển nhiên thấy đúng.
Giả sử điều trên đúng với $n=k$ tức là $U_k=1+(k-1)2^k.$
Theo công thức ta có
$U_{k+1}=U_k +(k+1)2^k=1+(k-1)2^k+(k+1)2^k=1+2k.2^k=1+(k+1-1)2^{k+1}$.
Tức là nó cũng đúng với $n=k+1$, đpcm.