Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau có tích các chữ số chia hết cho 6
|
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là \(\overline {abcd} \,\,\left( {a;b;c;d \in \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\},\,\,a \ne b \ne c \ne d} \right)\). Vì \(\overline {abcd} \,\, \vdots \,\,15\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\overline {abcd} \,\, \vdots \,\,5 \Rightarrow d \in \left\{ {0;5} \right\}\\\overline {abcd} \,\, \vdots \,\,3\end{array} \right.\). + TH1: \(d = 0\), số cần tìm có dạng \(\overline {abc0} \) \( \Rightarrow a + b + c\,\, \vdots \,\,3\). Các bộ ba chữ số chia hết cho 3 là \(\left\{ {1;2;3} \right\};\,\,\left\{ {1;3;5} \right\};\,\,\left\{ {2;3;4} \right\};\,\,\left\{ {3;4;5} \right\}\). \( \Rightarrow \) có \(4.3! = 24\) cách chọn \(a,\,\,b,\,\,c\). \( \Rightarrow \) Có 24 số thỏa mãn. TH2: \(d = 5\), số cần tìm có dạng \(\overline {abc5} \) \( \Rightarrow a + b + c + 5\,\, \vdots \,\,3\) \( \Rightarrow a + b + c\) chia 3 dư 1. Các bộ ba chữ số chia 3 dư 1 là \(\left\{ {0;1;3} \right\};\,\,\left\{ {1;2;4} \right\};\,\,\left\{ {0;3;4} \right\}\). Từ tập A={0,1,2,3,4,5,6} hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 6 Các số lập được có dạng $\overline{abcdef}$ Xét $3$ trường hợp : $1)$ Số lập được gồm các cs $1;2;3;4;5;6$ + Chọn $f$ : $3$ cách (vì $f$ chẵn) + Sắp xếp $5$ cs còn lại : $5!=120$ cách. $\Rightarrow$ TH 1 có $3.120=360$ số. $2)$ Số lập được gồm các cs $0;1;2;3;4;5$ $a)$ Nếu $f=0$ : Có $5!=120$ số. $b)$ Nếu $f$ khác $0$ : + Chọn $f$ : $2$ cách (vì $f$ chẵn) + Chọn vị trí cho cs $0$ : $4$ cách. + Sắp xếp $4$ cs còn lại : $4!=24$ cách. $\Rightarrow$ TH 2 có $120+2.4.24=312$ số. $3)$ Số lập được gồm các cs $0;1;2;4;5;6$ $a)$ Nếu $f=0$ : Có $5!=120$ số. $b)$ Nếu $f$ khác $0$ : + Chọn $f$ : $3$ cách (vì $f$ chẵn) + Chọn vị trí cho cs $0$ : $4$ cách. + Sắp xếp $4$ cs còn lại : $4!=24$ cách. $\Rightarrow$ TH 2 có $120+3.4.24=408$ số.
Vậy có $360+312+408=1080$ số thỏa mãn ĐK đề bài.
Bạn ah đề yêu cầu lập số chia hết cho 6 mà bạn, sao bạn chỉ tìm điều kiện để số đó là số chẵn $A_{0}=\left \{ 3,6 \right \}; A_{1}=\left \{1,4,7 \right \};A_{2}=\left \{2,5,8 \right \}$ và $\left \{ 0 \right \}$. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau. Gọi S là tích các chữ số được chọn. Xác suất để S>0 và chia hết cho 6 bằng
Lời giải tham khảo: Đáp án đúng: D +) Số tự nhiên có ba chữ số khác nhau có dạng \(\overline{abc},\ \ a\ne 0\) Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega\right)=9.9.8=648\). +) Gọi A là biến cố: “Chọn được số có S>0 và S chia hết cho 6”. Ta có: S=a.b.c>0 nên ba chữ số \(a,~b,~c\) khác 0. Mặt khác S=a.b.c chia hết cho 6 nên xảy ra một trong các TH sau: +) TH1: Trong 3 chữ số \(a,~b,~c\) có chữ số 6. - Chọn vị trí cho chữ số 6: có 3 cách. - Chọn 2 chữ số trong tập \(\left\{ 1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5;\ 7;\ 8;\ 9 \right\}\) và xếp vào 2 vị trí còn lại: có \(A_{8}^{2}\) cách. \(\Rightarrow \) có \(3.A_{8}^{2}=168\). +) TH2: Trong 3 chữ số a,b,c không có chữ số 6. Khi đó để a.b.c chia hết cho 6 ta cần có ít nhất 1 chữ số chia hết cho 2 thuộc tập \(\left\{ 2;4;8 \right\}\) và ít nhất 1 chữ số chia hết cho 3 thuộc tập \(\left\{ 3;9 \right\}\). Có các khả năng sau: - Trong 3 chữ số a,b,c có một chữ số chia hết cho 2, một chữ số chia hết cho 3 và một chữ số thuộc tập \(\left\{ 1;5;7 \right\}\): có \(C_{3}^{1}.C_{2}^{1}.C_{3}^{1}.3!=108\). - Trong 3 chữ số a,b,c có 2 chữ số chia hết cho 2, một chữ số chia hết cho 3: có \(C_{3}^{2}.2.3!=36\). - Trong 3 chữ số a,b,c có 1 chữ số chia hết cho 2 và 2 chữ số chia hết cho 3: có \(C_{3}^{1}.C_{2}^{2}.3!=18\). Suy ra \(n\left( A \right)=168+108+36+18=330\) Vậy \(P\left( A \right)=\frac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega \right)}=\frac{330}{648}=\frac{55}{108}\). |
