Góc giữa 2 vecto được xác định thông qua cos [cosin] của hai vector đó. Bài viết này, boxthuthuat sẽ chia sẻ với các bạn các công thức tính góc giữa 2 vecto trong mặt phẳng và trong không gian, kèm các bài tập ví dụ minh họa chi tiết.
Góc giữa 2 vector trong mặt phẳng Oxy
Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho 2 vec tơ:
Cosin [cos] của góc giữa 2 vecto được tính bằng công thức:
Hệ quả: Để 2 vecto vuông góc với nhau:
Góc giữa 2 vector trong không gian Oxyz
Trong hệ trục tọa độ không gian Oxyz, cho 2 vec tơ:
Cosin [cos] của góc giữa 2 vecto được tính bằng công thức:
Hệ quả: Để 2 vecto vuông góc với nhau:
Bài tập có lời giải:
Trên đây là những chia sẻ về công thức tính góc giữa 2 vec tơ trong mặt phẳng và trong không gian. Hi vọng qua những chia sẻ này, bạn có thể nắm vững được phần kiến thức vô cùng quan trọng này!
Tiếp tục ở chuyên mục Toán Học hôm nay, điện máy Sharp Việt Nam sẽ chia sẻ công thức tính góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng và không gian kèm theo các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao có lời giải chi tiết để các bạn cùng tham khảo nhé
Công thức tính góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng
1. Tính theo vector chỉ phương
Góc giữa 2 đường thẳng bằng góc giữa 2 vector chỉ phương của 2 đường thẳng đó.
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường đường thẳng d1, d2.
Gọi u1→ = [a1; b1],u2→ = [a2; b2] lần lượt là vec-tơ chỉ phương của d1, d2.
Khi đó, cos của góc giữa hai đường thẳng được tính theo công thức:
2. Tính theo vector pháp tuyến
Góc giữa 2 đường thẳng trong mặt phẳng bằng góc giữa 2 vector pháp tuyến của 2 đường thẳng đó.
Gọi n1→ = [A1; B1], n2→ = [A2; B2] lần lượt là vec-tơ pháp tuyến của d1, d2
Khi đó, góc giữa hai đường thẳng này được tính theo công thức:
Tham khảo thêm:
Công thức tính góc giữa 2 đường thẳng trong không gian
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường đường thẳng d1, d2.
Gọi u1→ = [a1; b1; c1], u2→ = [a2; b2; c2] lần lượt là vec-tơ chỉ phương của d1,d2.
Khi đó, cosin của góc giữa 2 đường thẳng này được tính theo công thức:
Lưu ý: góc giữa 2 đường thẳng trong không gian không được tính bằng vector pháp tuyến như trong mặt phẳng.
Bài tập về góc giữa hai đường thẳng
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ [ABC] và SA = a√3. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và SC. Tính cosin góc giữa 2 đường thẳng AN và CM.
Ví dụ 2: Tính góc giữa 2 đường thẳng [a]: 3x + y – 2 = 0 và [b]: 2x – y + 39 = 0.
Ví dụ 3: Cho đường thẳng [a]: x + y – 10 = 0 và đường thẳng [b]: 2x + my + 99 = 0. Tìm m để góc giữa 2 đường thẳng trên bằng 450.
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a; AD=a√2, SA⊥[ABCD] và SA=2a .
a] Tính cosin góc giữa hai đường thẳng BC và SD.
b] Gọi I là trung điểm của CD. Tính cosin góc giữa 2 đường thẳng SB và AI.
Hy vọng với những kiến thức mà chúng tôi vừa chia sẻ có thể giúp các bạn biết cách tính góc giữa 2 đường thẳng trong không gian và mặt phẳng dễ dàng và chính xác nhé
Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng
Giả sử ta biết phương trình mặt phẳng [P]: ax + by + cz + d = 0 và phương trình mặt phẳng [Q]: Ax + By + Cz + D = 0
- Mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_P}} $ = [ a; b; c]
- Mặt phẳng [Q] có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_Q}} $ = [ A; B; C]
Khi biết vecto pháp tuyến của của hai mp thì ta có thể sử dụng công thức tính góc giữa 2 mặt phẳng:
$\begin{array}{l} \cos \varphi = \left| {\cos \left[ {\overrightarrow {{n_{\left[ P \right]}}} ;\overrightarrow {{n_{\left[ Q \right]}}} } \right]} \right|\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\left| {a.A + b.B + c.C’} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }} \end{array}$
Với [ 00 ≤ φ ≤ 900 ]
Bài tập có lời giải
Bài tập 1. Trong không gian tọa độ Oxyz, có hai mặt phẳng với phương trình lần lượt là [P]: 2x – 5y – 3z + 1 = 0 và [Q]: – 3x + y – 2z – 7 =0. Hãy xác định góc giữa mặt phẳng [P] với mặt phẳng [Q].
Hướng dẫn giải
Mặt phẳng [P]: 2x – 5y – 3z + 1 = 0 => Vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}} $ = [ 2; -5; -3 ]
Mặt phẳng [Q]: – 3x + y – 2z – 7 = 0 => Vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}} $ = [ – 3; 1; – 2 ]
Gọi φ là góc giữa 2 mặt phẳng này, nó được xác định theo công thức
$\begin{array}{l} \cos \varphi = \frac{{\left| {a.A + b.B + c.C’} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\left| {2.\left[ { – 3} \right] + \left[ { – 5} \right].1 + \left[ { – 3} \right].\left[ { – 2} \right]} \right|}}{{\sqrt {{{\left[ 2 \right]}^2} + {{\left[ { – 5} \right]}^2} + {{\left[ { – 3} \right]}^2}} .\sqrt {{{\left[ { – 3} \right]}^2} + {1^2} + {{\left[ { – 2} \right]}^2}} }} = \frac{{\sqrt {133} }}{{38}} \end{array}$
=> φ = 72,330
Bài tập 2. Cho hai mặt phẳng [P]: – 2x + y – 3z – 10 = 0 và [Q]: x + y – z = 7 nằm trong không gian tọa độ Oxyz. Gọi φ là góc tạo bởi giữa hai mặt phẳng này. Tìm cosφ
Hướng dẫn giải
Mặt phẳng [P]: – 2x + y – 3z – 10 = 0 => Vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}} $ = [ -2; 1; – 3 ]
Mặt phẳng [Q]: x + y – z = 7 => Vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}} $ = [ 1; 1; – 1 ]
$\begin{array}{*{20}{l}} {\cos \varphi = \frac{{\left| {a.A + b.B + c.C’} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}}\\ {{\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} = \frac{{\left| {\left[ { – 2} \right].1 + 1.1 + \left[ { – 3} \right].\left[ { – 1} \right]} \right|}}{{\sqrt {{{\left[ { – 2} \right]}^2} + {1^2} + {{\left[ { – 3} \right]}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left[ { – 1} \right]}^2}} }} = \frac{{\sqrt {42} }}{{21}}} \end{array}$
Với hướng dẫn chi tiết ở trên, toanhoc.org hy vọng giúp bạn biết cách tính góc giữa hai mặt phẳng trong hình học không gian Oxyz.