Dạng toán chứng minh chia hết lớp 6 năm 2024
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập môn Toán Lớp 6 - Chuyên đề 4: Chứng minh chia hết", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên Show CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH CHIA HẾT Dạng 1: CHỨNG MINH CHIA HẾT Bài 1: Chứng minh rằng: a, b, (a > b) c, HD: a, Ta có : b, Ta có : c, Ta có : Bài 2: Chứng minh rằng: a, b, c, không 4,2,5 HD: a, Ta có:Nếu n là số lẻ thì Nếu n là số chẵn thì , Như vậy với mọi n là số tự nhiên thì : b, Ta có:Vì là 3 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ có 1 số chia hết cho 2,1 số chia hết cho 3 c, Ta có : là 1 số lẻ nên không cho 4,2 và có chữ số tận cùng khác 0 và 5 Bài 3: Chứng minh rằng: a, b, không 5 c, HD: a, Ta có:Nếu n là số chẵn thì Nếu n lẻ thì , Như vậy với mọi n là số tự nhiên thì b, Ta có :, Vì là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chỉ có chữ số tận cùng là : 0, 2, 6, Do đó : sẽ có tận cùng là 6, 8, 2 nên không 5 c, Ta có : chia hết cho 37 Bài 4: Chứng minh rằng: a, ,37 b, c, HD: a, Ta có : chia hết cho a và chia hết cho 37 b, Ta có:Vì a, b là hai số tự nhiên nên a,b có các TH sau: TH1: a, b cùng tính chẵn lẻ=> (a+b) là 1 số chẵn nhưu vậy a+b chia hết cho 2 TH2: a, b khác tính chẵn lẻ thì 1 trong 2 số phải có 1 số chẵn khi đó số đó chia hết cho 2 c, Ta có: Bài 5: CMR : HD: Ta có: Bài 6: Chứng minh rằng: Bài 7: Chứng minh rằng số có dạng : luôn chia hết cho 11 HD : Ta có : Bài 8: Tìm n là số tự nhiên để: HD: Ta có: , Để Ta có: Và Thử vào ta thấy thỏa mãn yêu cầu đầu bài Bài 9: CMR : 2x+y9 thì 5x+7y9 HD: Ta có : Bài 10: Chứng minh rằng: a, Nếu thì b, Cho cmr HD: a, Ta có: hay (a+c) – (b+d)11 Khi đó vì có (a+c) - ( b+d) 11 b, Ta có: Ta có mà nên Bài 11: Chứng minh rằng: a, CMR: b, Cho cmr HD: a, Ta có:Ta có b, Ta có :Ta có Nên Bài 12: Chứng minh rằng: a, nếu b, Cmr nếu thì HD: a, Ta có : b, Ta có : Bài 13: Chứng minh rằng: a, Cho cmr b, Nếu thì HD: a, Ta có : b, Ta có : Bài 14: Chứng minh rằng:m, Nếu thì HD : Ta có :=> Bài 15: Chứng minh rằng: a, 2a - 5b+6c 17 nếu a-11b+3c 17 (a,b,c Z) b, 3a+2b 17 10a+b 17 (a,b Z) HD: a, Ta có:a-11b+3c 17 và 17a-34b +51c 17 nên 18a-45b+54c 17 => 9(2a-5b+6c) 17 b, Ta có: 3a+2b 17 và 17a - 34b 17 nên 20a – 32b 17 10a – 16b 17 10a +17b – 16b 17 10a+b 17 Bài 16: Chứng minh rằng: a, b, HD: a, Ta có :=> 2000a+200b+20c+2d 29 => 2001a – a +203b - 3b +29c - 9c +29d - 27d 29 => (2001a+203b+29c+29d)- (a+3b+9c+27d) 29 => (a+3b+9c+27d) 29 b, Ta có:21 =>100a - 84a +10b – 42b + c +63c 21 => 16a - 32b +64c 21 => 16(a- 2b +4c) 21 Bài 17: Chứng minh rằng: a, b, (c chẵn) HD: a, Ta có:Vì b, Ta có:Vì 16 => (992a+ 96b+8c) + (8a+4b+2c+d) 16, mà c chẵn nên 8c 16 => (8a+4b+2c+d) 16 Bài 18: Chứng minh rằng: a, Cho a - b 7 cmr 4a+3b 7 (a,b Z) b, Cmr m +4n 13 10m+n 13 HD: a, Ta có:a – b 7 nên 4(a –b) 7 => 4a – 4b +7b 7 => 4a +3b 7 b, Ta có:m+4n 13 => 10(m+4n) 13 => 10m +40n – 39n13 =>10m+ n 13 Bài 19: Cho a,b là các số nguyên, CMR nếu 6a+11b 31 thì a+7b cũng 31, điều ngược lại có đúng không? HD: Ta có :6a +11b 31 => 6( a+7b) - 31b 31 => a+7b 31 Bài 20: Cho a,b là các số nguyên, CMR 5a+2b 17 khi và chỉ khi 9a+7b 17 HD: Ta có :5a +2b 17 => 5a – 68a +2b -51b 17 => - 63a – 49b 17 => -7( 9a +7b) 17 => 9a+7b 17 Bài 21: Cho a,b là các số nguyên, CMR nếu 2a+3b 7 thì 8a + 5b 7 HD: Ta có:2a+3b 7 => 4(2a+3b) 7 =>8a +12b 7=> 8a+12b -7b 7=>8a+5b 7 Bài 22: Cho a,b là các số nguyên, CMR nếu a - 2b 7 thì a-9b 7, điều ngược lại có đúng không? HD: Ta có:a – 2b 7 => a- 2b -7b 7=> a - 9b 7, Điều ngược lại vẫn đúng Bài 23: Cho a,b là các số nguyên và 5a+8b 3 cmr a, - a +2b 3 b, 10a +b (-3) c, a +16b 3 HD: a, Ta có:5a +8b 3=> 5a- 6a+8b-6b3=> -a+2b 3 b, Ta có:5a +8b 3 => 2(5a+8b) 3=>10a+16b3=>10a+16b-15b3 c, Ta có:5a +8b 3=> 5(a+16b) – 72b 3 =>a+16b 3 Bài 24: Cho biết a-b 6, CMR các biểu thức sau cũng chia hết cho 6 a, a +5b b, a +17b c, a - 13b HD: a, Ta có:a-b 6 => a-b+6b6=> a+5b6 b, Ta có:a-b 6 => a-b +18b 6=> a+17b 6 c, Ta có:a - b 6 => a-b-12b 6=> a-13b 6 Bài 25: CMR : nếu thì và ngược lại Bài 26: Cho hai số nguyên a và b không chia hết cho 3, nhưng khi chia cho 3 thì có cùng số dư: CMR: (ab-1) 3 HD: Ta có:a= 3p+r, b=3q+r (p,q,r Z, r=1,2) khi đó ab-1=(3p+r)(3q+r)-1= 3p(3q+r)+r(3q+r) -1 = 9pq+3pr+3qr+r2-1 Bài 27: Chứng minh rằng nếu viết thêm vào đằng sau 1 số tự nhiên có hai chữ số gồm chính hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại thì được 1 số chia hết cho 11. HD: Ta có :Gọi số tự nhiên có 2 chữ số là theo bài ra ta có vì Bài 28: Chứng minh rằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp thì không chia hết cho 4 HD: Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là a,a+1,a+2 xét tổng Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là a, a+1,a+2,a+3 xét tổng, ta được Bài 29: Chứng minh rằng tổng của 5 số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 10, còn tổng của 5 số lẻ liên tiếp thì không chia hết cho 10 HD: Gọi 5 số chẵn liên tiếp là a, a+2, a+4, a+6, a+8 xét tổng, ta được: Vì a là số chẵn Tương tự với 5 số lẻ liên tiếp : xét tổng ta được : Bài 30: Khi chi 135 cho 1 số tự nhiên ta được thương là 6 và còn dư, Tìm số chia và thương HD: Gọi số chia là x và số dư là r, Khi đó => Từ Từ , Vậy Bài 31: Bạn Thắng học sinh lớp 6A viết 1 số có hai chữ số mà tổng các chữ số của nó là 14 , sau đó bạn Thắng đem chia số đó cho 8 thì đươc dư là 4 , nhưng khi chia cho 12 thì được dư là 3 a, CMR bạn Thắng làm sai ít nhất 1 phép chia b, Nếu phép chia thứ nhất đúng, thì phép chia cho 12 dư bao nhiêu? HD: Gọi số cần tìm là n= a, n chia 8 dư 4 =>n chẵn và n chia 12 dư 3=> n lẻ => mâu thuẫn b, Vì a+b=14 nên 3 dư 2 khi đó 4 chia 12 dư 8 Nếu phép chia thứ nhất đúng thì chia 8 dư 4=>4 => 312 => n chia 12 dư 8 Bài 32: Chứng minh rằng nếu chia hết cho 37 thì và đều chia hết cho 37 Bài 33: Một số tự nhiên chia cho 7 dư 5, chia cho 13 dư 4. Nếu đem số đó chia cho 91 thì dư bao nhiêu? Bài 34: Tìm 1 số tự nhiên biết nếu chia cho 17 thì được số dư đúng bằng hai lần bình phương của số thương Bài 35: Chứng minh rằng không thể tồn tại 1 số tự nhiên khi chia cho 21 dư 7 và khi chia cho 84 lại dư 3 Bài 36: Cho 4 số nguyên dương khác nhau thỏa mãn : tổng của hai số bất kì chia hết cho 2 và tổng của ba số bất kì chia hết cho 3, Tính giá trị nhỏ nhất cảu tổng bốn số đó Bài 39: Cho số tự nhiên bằng ba lần tích các chữ số của nó, cmr b a HD: Ta có:=3ab=>10a+b=3ab=>10a+b a =>ba Bài 45: Cho , CMR các biểu thức sau chia hết cho 7 a/ b/ c/ HD: a, Ta có: b, Ta có: c, Ta có: Bài 46: Cho Gồm 20 chữ số 1: hỏi A có chia hết cho 111 không? HD: Ta có:, nên để và chia hết cho 37 Ta có: ( 20 số 1 ) có tổng các chữ số là 1+1+1+...+1=20 không chia hết cho 3 nên Bài 47: CMR: nếu 7x+4y 29 thì 9x+y 29 HD: Ta có: Bài 48: CMR nếu thì a+3b+9c+27d chia hết cho 29 HD: Ta có: Khi đó: Bài 49: Chứng minh rằng nếu x,y là các số nguyên sao cho thì cũng chia hết cho 13 và ngược lại HD: Ta có:. Từ đó ta đi ngược lại là ra Bài 50: Cho , CMR A không chia hết cho 15 với mọi số tự nhiên n HD: , Vì là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chỉ có chữ số tận cùng là : 0, 2, 6, Do đó : sẽ có tận cùng là 2, 4, 8 nên không 5, vậy A không chia hết cho 35 Bài 51: Cho a,b là hai số chính phương lẻ liên tiếp, CMR : HD: Ta có: Vì a, b là số lẻ nên Đặt Khi đó :, Mà Và đều chia hết cho 2 Nên , Khi a, b là số chính phương lẻ liên tiếp Bài 55: Chứng minh rằng : thì HD : Vì Với: TH1 : TH2: Bài 56: CMR: với mọi n là số nguyên dương Bài 57: Chứng minh rằng 2x+3y chia hết cho 17 khi và chỉ khi 9x+5y chia hết cho 17 HD: Ta có : Khi đó : , Chứng minh tương tự điều ngược lại Bài 58: CMR: chia hết cho 12, Với a, b, c, d là các số nguyên HD: Ta có : Trong 4 số a,b,c,d chắc chắn có hai số chia cho 3 có cùng số dư, Nên hiệu của chúng chia hết cho 3, Như vậy M đã chia hết cho 3 Lại có trong 4 số nguyên a,b,c,d hoặc có 2 số chẵn hoặc có 2 số lẻ, Giả sử a,b là số chẵn, c,d là số lẻ Khi đó Hoặc nếu không phải như trên thì trong 4 số trên tồn tại 2 số chia 4 có cùng số dư nên hiệu của chúng chia hết cho 4, Khi đó M 4 Như vậy M chia hết cho cả 3 và 4 nên M chia hết cho 12 Bài 59: Một số chia cho 7 dư 3, Chia cho 17 dư 12 chia 23 dư 7, hỏi số đó chia cho 2737 dư bao nhiêu? HD: Gọi số đã cho là A, theo bài ra ta có: A=7a+3=17b+12=23c+7 Mặt khác : a+39=7a+42=17b+51=23c+46=7(a+6)=17(b+3)=23(c+2) vậy a+39 đồng thời chia hết cho 7,17,23 Mà 7,17,23 đôi 1 nguyên tố nên A+39 chia hết cho 7.17.23=2737, vậy A chia 27737 dư 2698 Bài 60: CMR: , chia hết cho 17 HD: Ta có:A = Bài 61: Khi chia 1 số tự nhiên gồm 3 chữ số giống nhau cho 1 số tự nhiên gồm 3 chữ số giống nhau ta được thương là 2 và còn dư, Nếu xóa 1 chữ số ở số bị chia và xóa 1 chữ số ở số bị chia thì thương của phép chia vẫn bằng 2 nhưng số dư giảm hơn trước là 100, Tìm số chia và số bị chi lúc đầu? HD: Gọi số bị chia lúc đầu là và số chia lúc đầu là , số dư lúc đầu là r Ta có: và nên Do a, b là các chữ số nên ta có bảng: Bài 62: Cho D=1-2+3-4+...+99-100 a, D có chia hết cho 2 không, cho 3, cho 5 không? vì sao? b, D có bao nhiêu ước số tự nhiên, bao nhiêu ước số nguyên? HD: a, Ta tính được D= - 50, nên D có chia hết cho 2, và 5 nhưng không chia hết cho 3 b, D=-50 nên có (1+1)(1+2)=6 ước tự nhiên, và có 12 ước nguyên Bài 63: CMR : chia hết cho 72 HD: Có tổng các chữ số là 9 nên chia hết cho 9, và có chữ số tận cùng là 008 nên chia hết cho 8, Như vậy chia hết cho 8.9 = 72 Bài 64: Cho , CMR A chia hết cho 5 HD: Ta có : Bài 65: Cho 4 số tự nhiên liên tiếp cho 5, khi chia cho 5 được các số dư khác nhau, CMR: tổng của chúng 5 Bài 66: Cho , biết , cmr chia hết cho 25 HD: Ta có: mà 5 là số nguyên tố Bài 67: Chứng minh rằng nếu a không là bội của 7 thì chia hết cho 7 Bài 68: Chứng minh rằng Bài 69: CMR : , không chia hết cho 121 với mọi số tự nhiên n Bài 70: Cho a,b là hai số nguyên, CMR : Nếu thì Bài 71: CMR nếu a, b là các số tự nhiên sao cho cùng chia hết cho 2003, thì a và b cùng chia hết cho 2013 Bài 72: Chứng minh rằng: chia hết cho 405 Bài 73: Cho a, b , thỏa mãn số chia hết cho 19, Hãy giải thích vì sao M chia hết cho 361 HD: Ta có: mà 19 là số nguyên tố nên hoặc Xét
|