Đề bài - bài 1.2 phần bài tập bổ sung trang 123 sbt toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(2a\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(BC, CD\). Tính \(cos\;\widehat {MAN}\)

Lời giải chi tiết

Vì \(M,N\) lần lượt là trung điểm của BC và DC nên \(BM=MC=DN=NC\)\(=2a:2=a\)

Xét tam giác vuông ADN, theo định lý Pytago ta có:

\(A{N^2} = A{D^2} + D{N^2} \)\(= {\left( {2a} \right)^2} + {a^2} = 5{a^2}\)

\( \Rightarrow AN = a\sqrt 5 \)

Xét tam giác vuông ABM, theo định lý Pytago ta có:

\(A{M^2} = A{B^2} + B{M^2} \)\(= {\left( {2a} \right)^2} + {a^2} = 5{a^2}\)

\( \Rightarrow AM = a\sqrt 5 \)

Kẻ đường cao \(MH\) của tam giác \(AMN\). Ta có \(\sin \widehat {NAM} = \displaystyle {{HM} \over {AM}}\) \( \Rightarrow HM = AM.\sin \widehat {NAM}\) và diện tích tam giác \(AMN\) là:

\({S_{AMN}} = \displaystyle {1 \over 2}AN.MH\)\( = \displaystyle {1 \over 2}AN.AM\sin \widehat {NAM} \)
\(= \displaystyle {1 \over 2}.a\sqrt 5.a\sqrt 5.\sin \widehat {NAM} \)\( = \displaystyle {{5{a^2}} \over 2}\sin \widehat {NAM}.\)

Mặt khác:

\({S_{AMN}} = {S_{ABCD}} - {S_{ABM}} - {S_{ADN}}\)\( - {S_{MNC}} \)

\( = {\left( {AB} \right)^2} - \dfrac{1}{2}.AB.BM - \dfrac{1}{2}AD.DN - \dfrac{1}{2}MC.NC\)

\( = {\left( {2a} \right)^2} - \dfrac{1}{2}.2a.a - \dfrac{1}{2}.2a.a - \dfrac{1}{2}a.a\)
\(= 4{a^2} - {a^2}-a^2 - \displaystyle {{{a^2}} \over 2}\)\( =\displaystyle { {3{a^2}} \over 2}. \)

Từ đó:

\(\begin{array}{l}
{S_{AMN}} = \dfrac{{5{a^2}}}{2}\sin \widehat {NAM} = \dfrac{{3{a^2}}}{2}\\
\Rightarrow \sin \widehat {NAM} = \dfrac{{\dfrac{{3{a^2}}}{2}}}{{\dfrac{{5{a^2}}}{2}}} = \dfrac{3}{5}
\end{array}\)

Vì\({\sin ^2}\widehat {NAM} + {\cos ^2}\widehat {NAM} = 1\) nên:

\(\cos \widehat {NAM} = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\widehat {NAM}}\)\( = \sqrt {1 - \displaystyle {9 \over {25}}} = \displaystyle {4 \over 5}.\)