Đề bài
Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu ?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng cách giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.
Một số lưu ý khi giải bài toán làm chung công việc
- Có ba đại lượng tham gia là: Toàn bộ công việc , phần công việc làm được trong một đơn vị thời gian [năng suất] và thời gian.
- Nếu một đội làm xong công việc trong \[x\] ngày thì một ngày đội dó làm được \[\dfrac{1}{x}\] công việc.
- Xem toàn bộ công việc là \[1\] [công việc].
Lời giải chi tiết
Bước 1: Giả sử nếu làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong \[x\] [giờ]; người thứ hai trong \[y\] [giờ] [điều kiện là: \[x;y > 16\]]
Khi đó, trong 1 giờ người thứ nhất làm được \[\dfrac{1}{x}\] công việc; người thứ hai làm được \[\dfrac{1}{y}\] công việc nên cả hai người làm được \[\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\] công việc.
Hai người cùng làm trong 16 giờ thì xong nên ta có phương trình \[\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{16}}\]
Người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì chỉ hoàn thành được \[25\% = \dfrac{1}{4}\] công việc. Điều đó dẫn đến phương trình \[3.\dfrac{1}{x} + 6.\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{4}\]
Ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{16}}\\3.\dfrac{1}{x} + 6.\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\]
Bước 2: Đặt \[\dfrac{1}{x} = u;\dfrac{1}{y} = v\,\], ta được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \[u\] và \[v\].
\[\left\{ \begin{array}{l}u + v = \dfrac{1}{{16}}\\3u + 6v = \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\]
Ta giải hệ phương trình này bằng phương pháp cộng đại số:
\[\left\{ \begin{array}{l}u + v = \dfrac{1}{{16}}\\3u + 6v = \dfrac{1}{4}\end{array} \right. \]\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3u + 3v = \dfrac{3}{{16}}\\3u + 6v = \dfrac{1}{4}\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u + v = \dfrac{1}{{16}}\\3v = \dfrac{1}{{16}}\end{array} \right. \]\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \dfrac{1}{{48}}\\u = \dfrac{1}{{24}}\end{array} \right.\,\left[ {\,thỏa\, mãn} \right]\]
Trở về phương trình đầu, ta được \[x = \dfrac{1}{u} = 24\left[ {\,thỏa\, mãn} \right]\] và \[y = \dfrac{1}{v} = 48\left[ {\,thỏa\, mãn} \right]\]
Bước 3: Vậy người thứ nhất làm riêng trong \[24\] giờ thì xong công việc, người thứ hai làm riêng trong \[48\] giờ thì xong công việc.