Đề bài
Câu 1: Cho số phức \[z = 5 - 2i\]. Phần ảo của số phức z bằng:
A. 3. B. 4.
C. 11. D. \[ - 2\].
Câu 2: Cho hàm số \[f\left[ x \right]\] liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]. Khi quay hình phẳng như hình vẽ bên quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là:
A. \[\pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left[ x \right]} \right]}^2}dx} .\]
B. \[\int\limits_a^b {{{\left[ {f\left[ x \right]} \right]}^2}dx} .\]
C. \[ - \pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left[ x \right]} \right]}^2}dx} .\]
D. \[ - \int\limits_a^b {f\left[ x \right]dx} .\]
Câu 3: \[\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} \] bằng
A. \[ - \cot x + C.\]
B. \[\cot x + C.\]
C. \[ - \frac{1}{{\sin x}} + C.\]
D. \[\tan x + C.\]
Câu 4: \[\int\limits_1^2 {\left[ {2x + 1 + \frac{1}{x}} \right]dx} \] bằng
A. \[4 - \ln 2.\] B. \[4\ln 2.\]
C. \[4 + \ln 2.\] D. 4.
Câu 5: Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm là \[I\left[ {2; - 2;1} \right]\] và đi qua gốc tọa độ O thì có bán kính bằng
A. 9. B. \[\sqrt 3 \]
C. 3. D. 1.
Câu 6: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \[A\left[ {1;2; - 3} \right];\,\,B\left[ {5; - 4;1} \right]\]. Trung điểm đoạn AB có tọa độ là
A. \[\left[ {3; - 1; - 1} \right].\] B. \[\left[ {3; - 1;1} \right].\]
C. \[\left[ {2; - 3;2} \right]\] D. \[\left[ {3;1; - 1} \right]\]
Câu 7: \[\int {{x^\pi }dx} \] bằng
A. \[{x^\pi } + C.\]
B. \[\pi {x^{\pi - 1}} + C.\]
C. \[\frac{{{x^\pi }}}{{\ln \pi }} + C.\]
D. \[\frac{{{x^{\pi + 1}}}}{{\pi + 1}} + C.\]
Câu 8: Cho số phức z có điểm biểu diễn hình học trong mặt phẳng tọa độ Oxy là điểm \[M\left[ {3; - 4} \right]\]. Môđun của z bằng
A. 25. B. 5.
C. 1. D. \[\sqrt 5 \]
Câu 9: Trong không gian Oxyz, đường thẳng \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 1 + 3t\\z = 3\end{array} \right.\] có một vecto chỉ phương là
A. \[\overrightarrow {{u_3}} = \left[ {1;3;3} \right].\] B. \[\overrightarrow {{u_4}} = \left[ {2; - 1;0} \right].\]
C. \[\overrightarrow {{u_2}} = \left[ {1;3;0} \right].\] D. \[\overrightarrow {{u_1}} = \left[ {2; - 1;3} \right].\]
Câu 10: Cho số phức \[z = 3 + 2i\]. Giá trị của \[z.\overline z \] bằng
A. 5. B. 9.
C. 13. D. \[\sqrt {13} \].
Câu 11: Trong không gian Oxyz, cho hai vecto \[\overrightarrow a = \left[ {2; - 3;1} \right]\] và \[\overrightarrow b = \left[ { - 1;4; - 2} \right]\]. Giá trị của biểu thức \[\overrightarrow a .\overrightarrow b \] bằng
A. \[ - 16.\] B. \[ - 4.\]
C. 4. D. 16.
Câu 12: Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm \[A\left[ {3;2; - 4} \right]\] lên mặt phẳng \[\left[ {Oxy} \right]\] có tọa độ là
A. \[\left[ {0;2; - 4} \right].\] B. \[\left[ {0;0; - 4} \right].\]
C. \[\left[ {3;0; - 4} \right].\] D. \[\left[ {3;2;0} \right].\]
Câu 13: Cho hàm số \[f\left[ x \right]\]liên tục và không âm trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\], diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[f\left[ x \right]\], các đường thẳng \[x = a,\,\,x = b\] và trục Ox là
A. \[ - \int\limits_a^b {f\left[ x \right]dx} .\]
B. \[\int\limits_a^b {f\left[ x \right]dx} .\]
C. \[\pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left[ x \right]} \right]}^2}dx} .\]
D. \[\pi \int\limits_a^b {f\left[ x \right]dx} .\]
Câu 14: Họ nguyên hàm của hàm số \[y = {e^{2x}}\] là
A. \[2{e^{2x}} + C.\]
B. \[\frac{1}{2}{e^{2x}} + C.\]
C. \[{e^{2x}} + C.\]
D. \[4{e^{2x - 1}} + C.\]
Câu 15: Trong không gian Oxyz, cho điểm \[M\left[ {1; - 2;5} \right]\]. Khoảng cách từ M đến trục Oz bằng
A. \[\sqrt 5 .\] B. 5.
C. 1. D. 2.
Câu 16: Họ nguyên hàm của hàm số \[f\left[ x \right] = \frac{1}{{2x - 3}}\] là
A. \[\frac{1}{2}\ln \left| {2x - 3} \right| + C.\]
B. \[2\ln \left| {2x - 3} \right| + C.\]
C. \[\frac{1}{3}\ln \left| {2x - 3} \right| + C.\]
D. \[\ln \left| {2x - 3} \right| + C.\]
Câu 17: \[\int\limits_0^1 {\left| {x - 2} \right|dx} \] bằng
A. 2. B. \[\frac{3}{2}.\]
C. \[ - \frac{3}{2}.\] D. \[\frac{1}{2}.\]
Câu 18: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]:x - 2y + z - 4 = 0\] đi qua điểm nào sau đây?
A. \[N\left[ {0;2;0} \right]\]
B. \[M\left[ {1;0;0} \right]\]
C. \[P\left[ {0;0; - 4} \right]\]
D. \[Q\left[ {1; - 1;1} \right]\]
Câu 19: Gọi các số phức \[{z_1};\,\,{z_2}\] là các nghiệm của phương trình \[3{z^2} - 2z + 12 = 0\]. Giá trị biểu thức \[M = 2\left| {{z_1}} \right| - 3\left| {{z_2}} \right|\] bằng
A. 2. B. \[ - 4.\]
C. \[ - 2.\] D. \[ - 12.\]
Câu 20: Trong không gian Oxyz. Cho mặt phẳng \[\left[ P \right]:2x - y + 2z - 4 = 0\]. Khoảng cách từ điểm \[M\left[ {3;1; - 2} \right]\] đến mặt phẳng \[\left[ P \right]\] bằng:
A. \[\frac{1}{3}.\] B. 2.
C. 3. D. 1.
Câu 21: Cho biết \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {4 - \sin x} \right]dx} = a\pi + b\], với \[a,\,\,b\] là các số nguyên. Giá trị biểu thức \[a + b\] bằng
A. \[ - 4.\] B. 6.
C. 1. D. 3.
Câu 22: Trong không gian Oxyz, mặt cầu \[\left[ S \right]:{x^2} + {y^2} + {\left[ {z + 2} \right]^2} = 17\] cắt trục Oz tại hai điểm A, B. Độ dài đoạn AB bằng
A. \[4\sqrt {13} \] B. \[2\sqrt {17} \]
C. \[2\sqrt 3 \] D. \[\sqrt {17} \]
Câu 23: Trong không gian Oxyz, mặt cầu \[\left[ S \right]:{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z - 11 = 0\] có bán kính bằng
A. 11. B. \[\sqrt 3 \]
C. 25. D. 5.
Câu 24: Cho hàm số \[f\left[ x \right]\] có đạo hàm liên tục trên đoạn \[\left[ {0;1} \right]\] và thỏa mãn \[\int\limits_0^1 {f'\left[ x \right]dx = - 3} \]. Giá trị biểu thức \[f\left[ 0 \right] - f\left[ 1 \right]\] bằng
A. \[ - 2.\] B. 1.
C. 3. D. \[ - 3.\]
Câu 25: Họ nguyên hàm của hàm số \[f\left[ x \right] = 2\sin x.\cos 2x\] là
A. \[ - \frac{1}{3}{\rm{cos}}3x + \cos x + C.\]
B. \[\frac{1}{3}{\rm{cos}}3x + \cos x + C.\]
C. \[\frac{1}{3}{\rm{cos}}3x - \cos x + C.\]
D. \[ - {\rm{cos}}3x + \cos x + C.\]
Câu 26: Cho hàm số \[f\left[ x \right]\] liên tục trên tập \[\mathbb{R}\] và thỏa mãn \[\int\limits_1^2 {f\left[ x \right]dx = 3} ,\] \[\int\limits_0^2 {f\left[ x \right]dx = - 5} \]. Giá trị \[\int\limits_0^1 {f\left[ x \right]dx} \] bằng
A. 8. B. \[ - 15\].
C. \[ - 8\]. D. \[ - 2.\]
Câu 27: Cho số phức \[z = 2 - i + \frac{{ - 1 + i}}{{1 - 3i}}\]. Giá trị của \[\left| z \right|\] bằng
A. \[\sqrt 2 \] B. \[2\sqrt 3 \]
C. 2 D. \[\sqrt {10} \]
Câu 28: Trong không gian Oxyz, cho các vecto \[\overrightarrow a = \left[ {5;3; - 2} \right]\] và \[\overrightarrow b = \left[ {m; - 1;m + 3} \right]\]. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để góc giữa hai vecto \[\overrightarrow a ;\,\,\overrightarrow b \] là góc tù?
A. 2. B. 3.
C. 1. D. 5.
Câu 29: Cho hàm số \[f\left[ x \right]\] liên tục trên \[\mathbb{R}\], một nguyên hàm của \[f\left[ x \right]\] là \[F\left[ x \right]\] thỏa mãn \[F\left[ 1 \right] = - 3\] và \[F\left[ 0 \right] = 1\]. Giá trị \[\int\limits_0^1 {f\left[ x \right]dx} \] bằng
A. \[ - 4.\] B. \[ - 3.\]
C. \[ - 2.\] D. 4.
Câu 30: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng \[\left[ P \right]:3x + y - 4z - 12 = 0\] cắt trục Ox tại A, cắt trục Oz tại B. Chu vi tam giác OAB bằng:
A. 6. B. 12.
C. 36. D. 5.
Câu 31: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 2t\\y = - 3 + t\\z = 1 - t\end{array} \right.\], giao điểm của d với mặt phẳng \[\left[ {Oxy} \right]\] có tọa độ là:
A. \[\left[ {4; - 3;0} \right]\].
B. \[\left[ {2; - 2;0} \right]\]
C. \[\left[ {0; - 1; - 1} \right]\]
D. \[\left[ { - 2;0; - 2} \right]\]
Câu 32: Cho hai số phức \[z = 3 - 4i\] và \[z' = \left[ {2 + m} \right] + mi\,\,\,\left[ {m \in \mathbb{R}} \right]\] thỏa mãn \[\left| {z'} \right| = \left| {iz} \right|\]. Tổng tất cả các giá trị của m bằng
A. \[ - 1.\] B. \[\frac{{\sqrt {46} }}{2}.\]
C. 0. D. \[ - 2.\]
Câu 33: Hàm số \[f\left[ x \right] = {e^{ - x}} + 2x - 5\] là nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
A. \[y = - {e^{ - x}} + \frac{1}{2}{x^2} - 5x + 1.\]
B. \[y = {e^{ - x}} + {x^2} - 5x.\]
C. \[y = - {e^{ - x}} + 2.\]
D. \[y = - {e^{ - x}} + {x^2} - 5x + 3.\]
Câu 34: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \[\left[ S \right]:{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} + {\left[ {z + 1} \right]^2} = 45\] và mặt phẳng \[\left[ P \right]:x + y - z - 13 = 0\]. Mặt cầu \[\left[ S \right]\] cắt mặt phẳng \[\left[ P \right]\] theo giao tuyến là đường tròn có tâm \[I\left[ {a;b;c} \right]\] thì giá trị của \[a + b + c\] bằng:
A. 5. B. 2.
C. \[ - 11.\] D. 1.
Câu 35: Trong không gian Oxyz, cho điểm \[A\left[ {3;0;0} \right],\] \[B\left[ {0; - 2;0} \right]\] và \[C\left[ {0;0; - 4} \right]\]. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có diện tích bằng
A. \[116\pi .\] B. \[29\pi .\]
C. \[16\pi \] D. \[\frac{{29\pi }}{4}\]
Câu 36: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của a để \[\int\limits_0^a {\left[ {2x - 3} \right] \le 4} \]?
A. 6. B. 5.
C. 3. D. 4.
Câu 37: Cho số phức z thỏa mãn \[\frac{{\left[ { - 1 + i} \right]z + 2}}{{1 - 2i}} = 2 + 3i\]. Số phức liên hợp của z là \[\overline z = a + bi\] với \[a,\,\,b \in \mathbb{R}\]. Giá trị của \[a + b\] bằng:
A. \[ - 1\]. B. \[ - 12.\]
C. \[ - 6\] D. 1.
Câu 38: Cho hàm số \[f\left[ x \right]\] liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\] và thỏa mãn \[\int\limits_a^0 {f\left[ x \right]dx = m} \], \[\int\limits_0^b {f\left[ x \right]dx = n} \]. Diện tích hình phẳng trong hình vẽ bằng
A. \[m.n\] B. \[m - n\]
C. \[m + n\] D. \[n - m\]
Câu 39: Cho các số phức \[{z_1} = 3 - 2i,\] \[{z_2} = 1 + 4i\] và \[{z_3} = - 1 + i\] có biểu diễn hình học trong mặt phẳng tọa độ Oxy lần lượt là các điểm \[A,B,C\]. Diện tích tam giác ABC bằng:
A. \[2\sqrt {17.} \] B. 12.
C. \[4\sqrt {13} \] D. 9.
Câu 40: Cho biết \[\int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {\ln x + 3} }}{x}dx = \frac{a}{3} + b\sqrt 3 } \] với \[a,\,\,b\] là các số nguyên. Giá trị của biểu thức \[\frac{1}{{{2^b}}} + {\log _2}a\] bằng
A. \[ - 1.\] B. \[\frac{7}{2}.\]
C. 8. D. 6.
Câu 41: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \[\left[ P \right]\] chứa điểm \[A\left[ {3; - 1;2} \right]\] và đường thẳng \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 + t\\z = 3 - 2t\end{array} \right.\]. Mặt phẳng \[\left[ P \right]\] có phương trình là:
A. \[3x - 5y - z + 8 = 0\]
B. \[2x + y - 2z - 6 = 0\]
C. \[x + y + z - 4 = 0.\]
D. \[x - 2y + z - 7 = 0\]
Câu 42: Cho biết \[\int\limits_0^1 {\frac{{x - 1}}{{x + 2}}dx = a + b\ln \frac{3}{2}} \] với \[a,\,\,b\] là các số nguyên. Giá trị của biểu thức \[a - 2b\] bằng
A. 6. B. 3.
C. \[ - 5.\] D. 7.
Câu 43: Cho số phức z thỏa mãn \[\frac{{3 - 4i}}{z} = \frac{{\left[ {2 + 3i} \right]\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}} + 2 + i\], giá trị của \[\left| z \right|\] bằng
A. \[\sqrt 5 \] B. \[\sqrt {10} \]
C. 1 D. \[\sqrt 2 \]
Câu 44: Cho biết \[\int\limits_0^1 {x\sqrt {{x^2} + 1} dx = \frac{{a\sqrt 2 - 1}}{b}} \] với \[a,\,\,b\] là các số tự nhiên. Giá trị của \[{a^2} - {b^2}\] bằng
A. \[ - 5.\] B. 5.
C. 2. D. 1.
Câu 45: Cho hàm số \[f\left[ x \right]\] có đạo hàm liên tục trên tập hợp \[\mathbb{R}\] thỏa mãn \[\int\limits_1^2 {f\left[ {3x - 6} \right]dx = 3} \] và \[f\left[ { - 3} \right] = 2\]. Giá trị của \[\int\limits_{ - 3}^0 {xf'\left[ x \right]dx} \] bằng:
A. \[ - 3\] B. 11
C. 6 D. 9
Câu 46: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \[A\left[ {1; - 2;3} \right],\] \[B\left[ {3;2; - 2} \right]\] và mặt phẳng \[\left[ P \right]:x + 2y - 4z - 7 = 0\]. Đường thẳng AB cắt mặt phẳng \[\left[ P \right]\] tại M. Giá trị của biểu thức \[\frac{{MA}}{{MB}}\] bằng
A. \[\frac{5}{{21}}.\] B. 1.
C. \[\frac{1}{3}.\] D. \[\frac{{11}}{4}.\]
Câu 47: Gọi z là một nghiệm của phương trình \[{z^2} - z + 1 = 0\]. Giá trị của biểu thức \[M = {z^{2019}} + {z^{2018}} + \frac{1}{{{z^{2019}}}} + \frac{1}{{{z^{2018}}}} + 5\] bằng
A. 5. B. 2.
C. 7. D. \[ - 1\]
Câu 48: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \[\left| {z - 2 + 3i} \right| = \left| {z + 1 - i} \right|\] và \[{\left| z \right|^2} + 2\left[ {z + \overline z } \right] = 5\]?
A. 1. B. 0.
C. 2. D. 4.
Câu 49: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \[\left[ S \right]:{\left[ {x - 1} \right]^2} + {y^2} + {\left[ {z + 2} \right]^2} = 4\] và điểm \[M\left[ {3;1;2} \right]\]. Điểm A di chuyển trên mặt cầu \[\left[ S \right]\] thỏa mãn \[\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {MA} = - 3\] thì A thuộc mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau?
A. \[x + y + 6z - 2 = 0.\]
B. \[3x + y + 2z - 3 = 0.\]
C. \[5x + y - 2z - 4 = 0.\]
D. \[2x - 4z - 1 = 0\]
Câu 50: Cho hàm số \[f\left[ x \right]\] liên tục trên \[\mathbb{R}\] thỏa mãn \[f\left[ {3x} \right] = f\left[ x \right] - 2x,\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\] và \[\int\limits_0^1 {f\left[ x \right]dx = 5} \]. Giá trị \[\int\limits_1^3 {f\left[ x \right]dx} \] bằng
A. 4. B. 10.
C. 7. D. 12.
Lời giải chi tiết
|
1. D |
2.A |
3.A |
4.C |
5.C |
|
6.A |
7.D |
8.B |
9.C |
10.C |
|
11.A |
12.D |
13.B |
14.B |
15.A |
|
16.A |
17.B |
18.D |
19.C |
20.D |
|
21.C |
22.B |
23.D |
24.C |
25.A |
|
26.C |
27.C |
28.A |
29.A |
30.B |
|
31.B |
32.D |
33.C |
34.A |
35.B |
|
36.A |
37.A |
38.B |
39.D |
40.C |
|
41.C |
42.D |
43.B |
44.A |
45.A |
|
46.D |
47.A |
48.C |
49.A |
50.C |
Câu 1 [NB]
Phương pháp:
Số phức \[z = a + bi\] có phần ảo là b.
Cách giải:
Số phức \[z = 5 - 2i\] có phần ảo là \[ - 2\].
Chọn D.
Câu 2 [NB]
Phương pháp:
Cho hàm số \[f\left[ x \right]\] liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]. Khi quay hình phẳng như hình vẽ bên quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là: \[V = \pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left[ x \right]} \right]}^2}dx} \]
Cách giải:
Cho hàm số \[f\left[ x \right]\] liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]. Khi quay hình phẳng như hình vẽ bên quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là: \[V = \pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left[ x \right]} \right]}^2}dx} \]
Chọn A.
Câu 3 [NB]
Phương pháp:
Tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác: \[\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = - \cot x + C} \].
Cách giải:
\[\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = - \cot x + C} \]
Chọn A.
Câu 4 [NB]
Phương pháp:
Áp dụng các công thức tính nguyên hàm cơ bản: \[\int {{x^n}dx} = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\] \[\left[ {n \ne - 1} \right]\], \[\int {\frac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right| + C\].
Cách giải:
\[\begin{array}{l}\int\limits_1^2 {\left[ {2x + 1 + \frac{1}{x}} \right]} dx\\ = \left. {\left[ {{x^2} + x + \ln \left| x \right|} \right]} \right|_1^2\\ = 4 + 2 + \ln 2 - \left[ {1 + 1 + \ln 1} \right]\\ = 4 + \ln 2\end{array}\]
Chọn C.
Câu 5 [NB]
Phương pháp:
- Mặt cầu có tâm là \[I\left[ {2; - 2;1} \right]\] và đi qua gốc tọa độ O thì có bán kính bằng \[R = OI\].
- Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng \[OI = \sqrt {{{\left[ {{x_I} - {x_O}} \right]}^2} + {{\left[ {{y_I} - {y_O}} \right]}^2} + {{\left[ {{z_I} - {z_O}} \right]}^2}} \].
Cách giải:
Vì mặt cầu tâm I đi qua gốc tọa độ O nên có bán kính \[R = IO = \sqrt {{2^2} + {{\left[ { - 2} \right]}^2} + {1^2}} = 3.\]
Chọn C.
Câu 6 [NB]
Phương pháp:
Trung điểm đoạn AB có tọa độ là \[\left[ {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right]\].
Cách giải:
Gọi I là trung điểm đoạn AB ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{1 + 5}}{2} = 3\\{y_I} = \frac{{2 - 4}}{2} = - 1\\{z_I} = \frac{{ - 3 + 1}}{2} = - 1\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow I\left[ {3; - 1; - 1} \right].\]
Chọn A.
Câu 7 [NB]
Phương pháp:
Áp dụng các công thức tính nguyên hàm cơ bản: \[\int {{x^n}dx} = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\] \[\left[ {n \ne - 1} \right]\].
Cách giải:
\[\int {{x^\pi }dx = \frac{{{x^{\pi + 1}}}}{{\pi + 1}} + C} .\]
Chọn D.
Câu 8 [TH]
Phương pháp:
- Điểm \[M\left[ {a;b} \right]\] biểu diễn cho số phức \[z = a + bi\].
- Số phức \[z = a + bi\] có môđun \[\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \].
Cách giải:
Ta có \[M\left[ {3; - 4} \right]\] là điểm biểu diễn của số phức z nên \[z = 3 - 4i.\]
Vậy \[\left| z \right| = \sqrt {{3^2} + {{\left[ { - 4} \right]}^2}} = 5.\]
Chọn B.
Câu 9 [NB]
Phương pháp:
- Đường thẳng \[\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + bt\end{array} \right.\] có 1 VTCP là \[\overrightarrow u \left[ {a;b;c} \right]\].
- Mọi vectơ cùng phương với \[\overrightarrow u \] đều là 1 VTCP của đường thẳng trên.
Cách giải:
Đường thẳng \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 1 + 3t\\z = 3\end{array} \right.\] có vecto chỉ phương là \[\overrightarrow {{u_2}} = \left[ {1;3;0} \right].\]
Chọn C.
Câu 10 [NB]
Phương pháp:
Sử dụng công thức \[z.\overline z = {\left| z \right|^2}\].
Cách giải:
\[z.\overline z = {\left| z \right|^2} = {3^2} + {2^2} = 13.\]
Chọn C.
Câu 11 [NB]
Phương pháp:
Cho hai vecto \[\overrightarrow a = \left[ {{x_1};{y_1};{z_1}} \right]\] và \[\overrightarrow b = \left[ {{x_2};{y_2};{z_2}} \right]\]. Khi đó \[\overrightarrow a .\overrightarrow b = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}\].
Cách giải:
Ta có \[\overrightarrow a = \left[ {2; - 3;1} \right];\] \[\overrightarrow b = \left[ { - 1;4; - 2} \right].\]
\[ \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = 2.\left[ { - 1} \right] + \left[ { - 3} \right].4 + 1.\left[ { - 2} \right] = - 16.\]
Chọn A.
Câu 12 [NB]
Phương pháp:
Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm \[A\left[ {x;y;z} \right]\] lên mặt phẳng \[\left[ {Oxy} \right]\] có tọa độ là \[\left[ {x;y;0} \right]\].
Cách giải:
Hình chiếu vuông góc của điểm \[A\left[ {3;2; - 4} \right]\] lên mặt phẳng \[\left[ {Oxy} \right]\] có tọa độ là \[\left[ {3;2;0} \right].\]
Chọn D.
Câu 13 [NB]
Phương pháp:
Cho hàm số \[f\left[ x \right]\]liên tục \[\left[ {a;b} \right]\], diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[f\left[ x \right]\], các đường thẳng \[x = a,\,\,x = b\] và trục Ox là \[S = \int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right]} \right|dx} .\]
Cách giải:
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[f\left[ x \right]\], các đường thẳng\[x = a,\,\,x = b\] và trục Ox có diện tích là \[S = \int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right]} \right|dx} \].
Mà \[f\left[ x \right] \ge 0\] \[\forall x \in \left[ {a;b} \right]\], do đó \[S = \int\limits_a^b {f\left[ x \right]dx} \].
Chọn B.
Câu 14 [NB]
Phương pháp:
Áp dụng công thức tính nguyên hàm mở rộng \[\int {{e^{ax + b}}dx = \frac{{{e^{ax + b}}}}{a} + C} .\]
Cách giải:
\[\int {{e^{2x}}dx = } \frac{1}{2}{e^{2x}} + C.\]
Chọn B.
Câu 15 [NB]
Phương pháp:
Khoảng cách từ điểm \[M\left[ {a;b;c} \right]\] đến trục \[Oz\] là \[d\left[ {M;Oz} \right] = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \].
Cách giải:
Khoảng cách từ điểm \[M\left[ {1; - 2;5} \right]\] đến trục \[Oz\] là \[d\left[ {M;Oz} \right] = \sqrt {{1^2} + {{\left[ { - 2} \right]}^2}} = \sqrt 5 \].
Chọn A.
Câu 16 [NB]
Phương pháp:
Áp dụng công thức tính nguyên hàm mở rộng: \[\int {\frac{1}{{ax + b}}dx = \frac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right|} + C.\]
Cách giải:
\[\int {\frac{1}{{2x - 3}}dx = \frac{1}{2}\ln \left| {2x - 3} \right|} + C.\]
Chọn A.
Câu 17 [TH]
Phương pháp:
- Phá dấu của trị tuyệt đối.
- Áp dụng các công thức tính nguyên hàm cơ bản: \[\int {{x^n}dx} = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\] \[\left[ {n \ne - 1} \right]\].
Cách giải:
Ta có \[x - 2 < 0\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\]
\[ \Rightarrow \int\limits_0^1 {\left| {x - 2} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left[ {2 - x} \right]dx} \]
\[ = \left. {\left[ {2x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right]} \right|_0^1 = \frac{3}{2}.\]
Chọn B.
Câu 18 [NB]
Phương pháp:
Thay lần lượt tọa độ các điểm vào phương trình mặt phẳng.
Cách giải:
Ta thấy \[Q\left[ {1; - 1;1} \right] \in \left[ \alpha \right]:x - 2y + z - 4 = 0\] vì \[1 - 2.\left[ { - 1} \right] + 1 - 4 = 0\].
Chọn D.
Câu 19 [NB]
Phương pháp:
- Giải phương trình bậc hai tìm hai nghiệm \[{z_1},\,\,{z_2}\].
- Số phức \[z = a + bi\] có môđun \[\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \]. Tính \[\left| {{z_1}} \right|,\,\,\left| {{z_2}} \right|\].
- Thay vào tính giá trị biểu thức \[M\].
Cách giải:
Phương trình \[3{z^2} - 2z + 12 = 0\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = \frac{1}{3} + \frac{{\sqrt {35} }}{3}i\\{z_2} = \frac{1}{3} - \frac{{\sqrt {35} }}{3}i\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 2\].
Vậy \[M = 2\left| {{z_1}} \right| - 3\left| {{z_2}} \right| = 2.2 - 3.2 = - 2.\]
Chọn C.
Câu 20 [NB]
Phương pháp:
Khoảng cách từ \[M\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\] đến mặt phẳng \[\left[ P \right]:\,\,Ax + By + Cz + D = 0\] là
\[d\left[ {M;\left[ P \right]} \right] = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\].
Cách giải:
Khoảng cách từ \[M\left[ {3;1; - 2} \right]\] đến mặt phẳng \[\left[ P \right]:2x - y + 2z - 4 = 0\] là \[d = \frac{{\left| {2.3 - 1 + 2\left[ { - 2} \right] - 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = 1.\]
Chọn D.
Câu 21 [TH]
Phương pháp:
- Áp dụng các công thức tính nguyên hàm cơ bản: \[\int {{x^n}dx} = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\] \[\left[ {n \ne - 1} \right]\], \[\int {\sin xdx} = - \cos x + C\].
- Đồng nhất hệ số tìm \[a,\,\,b\] và tính tổng \[a + b\].
Cách giải:
Ta có
\[\begin{array}{l}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {4 - \sin x} \right]dx} \\ = \left. {\left[ {4x + \cos x} \right]} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\\ = 2\pi + \cos \frac{\pi }{2} - \left[ {0 + \cos 0} \right]\\ = 2\pi - 1\end{array}\]
\[ \Rightarrow a = 2,\,\,b = - 1.\]
Vậy \[a + b = 2 + \left[ { - 1} \right] = 1.\]
Chọn C.
Câu 22 [TH]
Phương pháp:
- Tìm giao điểm của mặt cầu với trục Oz bằng cách cho \[x = y = 0\].
- Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng:
\[AB\]\[ = \sqrt {{{\left[ {{x_B} - {x_A}} \right]}^2} + {{\left[ {{y_B} - {y_A}} \right]}^2} + {{\left[ {{z_B} - {z_A}} \right]}^2}} \]
Cách giải:
Cao độ của mặt cầu \[\left[ S \right]:{x^2} + {y^2} + {\left[ {z + 2} \right]^2} = 17\] và trục Oz là nghiệm của phương trình: \[{\left[ {z + 2} \right]^2} = 17 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \sqrt {17} - 2\\z = - \sqrt {17} - 2\end{array} \right.\].
Suy ra giao điểm của mặt cầu \[\left[ S \right]\] và trục \[Oz\] là: \[A\left[ {0;0;\sqrt {17} - 2} \right]\] và \[B\left[ {0;0; - \sqrt {17} - 2} \right]\].
Vậy \[AB = \sqrt {{{\left[ { - 2\sqrt {17} } \right]}^2}} = 2\sqrt {17} .\]
Chọn B.
Câu 23 [NB]
Phương pháp:
Mặt cầu \[\left[ S \right]:\]\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\] có tâm \[I\left[ {a;b;c} \right]\] và bán kính \[R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \] với \[{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\].
Cách giải:
Mặt cầu \[\left[ S \right]:{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z - 11 = 0\] có bán kính \[R = \sqrt {1 + {{\left[ { - 2} \right]}^2} + {3^2} + 11} = \sqrt {25} = 5.\]
Chọn D.
Câu 24 [TH]
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính phân Newton Leibniz: \[\int\limits_a^b {f'\left[ x \right]dx} = f\left[ b \right] - f\left[ a \right]\].
Cách giải:
Ta có \[\int\limits_0^1 {f'\left[ x \right]dx} = f\left[ 1 \right] - f\left[ 0 \right] = - 3.\]
Vậy \[f\left[ 0 \right] - f\left[ 1 \right] = 3.\]
Chọn C.
Câu 25 [TH]
Phương pháp:
- Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng: \[\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left[ {a + b} \right] + \sin \left[ {a - b} \right]} \right]\].
- Áp dụng các công thức tính nguyên hàm: \[\int {\sin \left[ {ax + b} \right]dx} = - \frac{1}{a}\cos \left[ {ax + b} \right] + C\].
Cách giải:
Ta có \[f\left[ x \right] = 2\sin x\cos 2x \]
\[= \sin 3x + \sin \left[ { - x} \right] = \sin 3x - \sin x\].
Khi đó ta có \[\int {f\left[ x \right]dx} = \int {\left[ {\sin 3x - \sin x} \right]dx} \]\[ = - \frac{1}{3}\cos 3x + \cos x + C\].
Chọn A.
Câu 26 [NB]
Phương pháp:
Áp dụng tính chất của tích phân: \[\int\limits_a^b {f\left[ x \right]dx} = \int\limits_a^c {f\left[ x \right]dx} + \int\limits_c^b {f\left[ x \right]dx} ,\] \[\int\limits_a^b {f\left[ x \right]dx} = - \int\limits_b^a {f\left[ x \right]dx} .\]
Cách giải:
Ta có \[\int\limits_1^2 {f\left[ x \right]dx} = - \int\limits_2^1 {f\left[ x \right]dx} \].
Vậy \[\int\limits_0^1 {f\left[ x \right]dx} = \int\limits_0^2 {f\left[ x \right]dx} + \int\limits_2^1 {f\left[ x \right]dx} \]\[ = - 5 - 3 = - 8\]
Chọn C.
Câu 27 [TH]
Phương pháp:
- Tính số phức z bằng MTCT.
- Số phức \[z = a + bi\] có môđun \[\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \].
Cách giải:
Sử dụng MTCT ta có \[z = 2 - i + \frac{{ - 1 + i}}{{1 - 3i}} = \frac{8}{5} - \frac{6}{5}i.\]
Vậy \[\left| z \right| = \sqrt {{{\left[ {\frac{8}{5}} \right]}^2} + {{\left[ { - \frac{6}{5}} \right]}^2}} = 2.\]
Chọn C.
Câu 28 [TH]
Phương pháp:
- Áp dụng công thức tính góc giữa hai vecto: \[\cos \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right] = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\].
- Để góc giữa hai vectơ \[\overrightarrow a ;\,\,\overrightarrow b \] là góc tù thì \[\cos \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right] > 0\].
Cách giải:
Ta có \[\overrightarrow a = \left[ {5;3; - 2} \right]\] và \[\overrightarrow b = \left[ {m; - 1;m + 3} \right]\].
\[\begin{array}{l}\cos \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right]\\ = \frac{{5m - 3 - 2m - 6}}{{\sqrt {38\left[ {{m^2} + 1 + {{\left[ {m + 3} \right]}^2}} \right]} }}\\ = \frac{{3m - 9}}{{\sqrt {38\left[ {{m^2} + 1 + {{\left[ {m + 3} \right]}^2}} \right]} }}\end{array}\]
Mà góc giữa hai vecto \[\overrightarrow a ;\overrightarrow b \] là góc tù nên \[\cos \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right] < 0\].
\[ \Rightarrow 3m - 9 < 0 \Leftrightarrow m < 3.\]
Mà \[m \in {\mathbb{Z}^ + }\]\[ \Rightarrow m \in \left\{ {1;2} \right\}\].
Vậy có hai giá trị của \[m\] thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn A.
Câu 29 [TH]
Phương pháp:
Sử dụng công thức tích phân Newton Leibniz: Cho hàm số \[f\left[ x \right]\] liên tục trên \[\mathbb{R}\], một nguyên hàm của \[f\left[ x \right]\] là \[F\left[ x \right]\]. Khi đó ta có: \[\int\limits_a^b {f\left[ x \right]dx} = F\left[ b \right] - F\left[ a \right]\].
Cách giải:
Ta có: \[\int\limits_0^1 {f\left[ x \right]dx} = F\left[ 1 \right] - F\left[ 0 \right]\] \[ = - 3 - 1 = - 4\]
Chọn A.
Câu 30 [VD]
Phương pháp:
- Tìm tọa độ điểm A, B.
- Tính độ dài các cạnh \[OA,\,\,OB,\,\,OC\]. Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng
\[AB \]\[= \sqrt {{{\left[ {{x_B} - {x_A}} \right]}^2} + {{\left[ {{y_B} - {y_A}} \right]}^2} + {{\left[ {{z_B} - {z_A}} \right]}^2}} \].
- Tính chu vi tam giác OAB bằng \[{P_{\Delta OAB}} = A + OB + AB\].
Cách giải:
Cho \[y = z = 0\] ta có \[3x - 12 = 0 \Leftrightarrow x = 4\]. Suy ra mặt phẳng \[\left[ P \right]\] cắt trục \[Ox\] tại \[A\left[ {4;0;0} \right]\].
Cho \[x = y = 0\] ta có \[ - 4z - 12 = 0 \Leftrightarrow z = - 3\]. Suy ra mặt phẳng \[\left[ P \right]\] cắt trục \[Oz\] tại \[B\left[ {0;0; - 3} \right]\].
Ta có: \[OA = 4,\,\,OB = 3\] và \[AB = \sqrt {{{\left[ { - 4} \right]}^2} + {0^2} + {{\left[ { - 3} \right]}^2}} = 5\].
Vậy chu vi tam giác OAB là \[4 + 3 + 5 = 12.\]
Chọn B.
Câu 31 [TH]
Phương pháp:
- Tìm giao điểm của d với mặt phẳng \[\left[ {Oxy} \right]\] tức \[z = 0\].
- Cho \[z = 0\] tìm \[t\], từ đó tìm được \[x,\,\,y\] và suy ra tọa độ giao điểm.
Cách giải:
Cho \[z = 0\]\[ \Rightarrow 1 - t = 0 \Leftrightarrow t = 1\]
Khi đó ta có \[\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 2t = 4 - 2.1 = 2\\y = - 3 + t = - 3 + 1 = - 2\end{array} \right.\]
Vậy giao điểm của d với mặt phẳng \[\left[ {Oxy} \right]\] có tọa độ là \[\left[ {2; - 2;0} \right]\].
Chọn B.
Câu 32 [VD]
Phương pháp:
- Số phức \[z = a + bi\] có môđun \[\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \].
- Lập phương trình bậc hai ẩn \[m\], áp dụng định lí Vi-ét: \[{m_1} + {m_2} = \frac{{ - b}}{a}\].
Cách giải:
Ta có \[z = 3 - 4i\]\[ \Rightarrow iz = i\left[ {3 - 4i} \right] = 4 + 3i.\]
Theo bài ra ta có:
\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left| {z'} \right| = \left| {iz} \right|\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left[ {m + 2} \right]}^2} + {m^2}} = \sqrt {{4^2} + {3^2}} \\ \Leftrightarrow {\left[ {m + 2} \right]^2} + {m^2} = 25\\ \Leftrightarrow 2{m^2} + 4m - 21 = 0\end{array}\]
Áp dụng định lý viet ta có tổng các giá trị của m là \[\frac{{ - 4}}{2} = - 2.\]
Chọn D.
Câu 33 [TH]
Phương pháp:
Hàm số \[F\left[ x \right]\] là 1 nguyên hàm của hàm số \[f\left[ x \right]\] thì \[F'\left[ x \right] = f\left[ x \right]\].
Cách giải:
Ta có \[f\left[ x \right] = {e^{ - x}} + 2x - 5\]\[ \Rightarrow f'\left[ x \right] = - {e^{ - x}} + 2\]
Vậy \[f\left[ x \right] = {e^{ - x}} + 2x - 5\] là một nguyên hàm của hàm số \[ - {e^{ - x}} + 2\].
Chọn C.
Chú ý: Phân biệt với câu hỏi tìm nguyên hàm của hàm số \[f\left[ x \right] = {e^{ - x}} + 2x - 5\].
Câu 34 [VD]
Phương pháp:
- Mặt cầu \[\left[ S \right]\] cắt mặt phẳng \[\left[ P \right]\] theo giao tuyến là đường tròn có tâm \[I\] thì \[I\] chính là hình chiếu của tâm mặt cầu \[\left[ S \right]\] lên mặt phẳng \[\left[ P \right]\].
- Xác định tâm \[A\] của mặt cầu \[\left[ S \right]\].
- Viết phương trình đường thẳng \[AI\] đi qua \[A\] và vuông góc với \[mp\left[ P \right]\].
- Tìm \[I\] là giao điểm của \[AI\] và \[\left[ P \right]\].
Cách giải:
Ta có mặt cầu \[\left[ S \right]:{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} + {\left[ {z + 1} \right]^2} = 45\] có tâm là \[A\left[ {1;2; - 1} \right].\]
Vì mặt cầu \[\left[ S \right]\] cắt mặt phẳng \[\left[ P \right]\] theo giao tuyến là đường tròn có tâm \[I\] thì \[I\] chính là hình chiếu của tâm mặt cầu \[\left[ S \right]\] lên mặt phẳng \[\left[ P \right]\]. Do đó \[AI\] là đường thẳng đi qua \[A\] và vuông góc với \[mp\left[ P \right]\].
Ta có \[{\overrightarrow u _{IA}} = \overrightarrow {{n_P}} = \left[ {1;1; - 1} \right]\]. Suy ra phương trinh đường thẳng \[AI:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\\z = - 1 - t\end{array} \right.\].
Vì \[I \in AI\] nên gọi \[I\left[ {1 + t;2 + t; - 1 - t} \right].\]
Mặt khác \[I \in \left[ P \right]\], nên ta có: \[1 + t + 2 + t + 1 + t - 13 = 0\]
\[ \Leftrightarrow 3t - 9 = 0 \Leftrightarrow t = 3.\]
\[ \Rightarrow I\left[ {4;5; - 4} \right] \Rightarrow a = 4,\,\,b = 5,\,\,c = - 4.\]
Vậy \[a + b + c = 4 + 5 + \left[ { - 4} \right] = 5.\]
Chọn A.
Câu 35 [VD]
Phương pháp:
- Gọi \[I\left[ {a;b;c} \right]\] là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \[OABC\] \[ \Rightarrow IO = IA = IB = IC\].
- Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}I{O^2} = I{A^2}\\I{O^2} = I{B^2}\\I{O^2} = I{C^2}\end{array} \right.\] tìm tọa độ điểm \[I\].
- Tính bán kính mặt cầu \[R = OI\].
- Diện tích mặt cầu bán kính \[R\] là \[S = 4\pi {R^2}\].
Cách giải:
Gọi \[I\left[ {a;b;c} \right]\] là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \[OABC\] \[ \Rightarrow IO = IA = IB = IC\]\[ \Rightarrow I{O^2} = I{A^2} = I{B^2} = I{C^2}\].
Khi đó ta có hệ phương trình:
\[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} = {\left[ {x - 3} \right]^2} + {y^2} + {z^2}\\{x^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {\left[ {y + 2} \right]^2} + {z^2}\\{x^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {y^2} + {\left[ {z + 4} \right]^2}\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = {\left[ {x - 3} \right]^2}\\{y^2} = {\left[ {y + 2} \right]^2}\\{z^2} = {\left[ {z + 4} \right]^2}\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6x + 9 = 0\\4y + 4 = 0\\8z + 16 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{2}\\y = - 1\\z = - 2\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow I\left[ {\frac{3}{2}; - 1;2} \right]\]. Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \[OABC\] là \[R = IO = \sqrt {\frac{9}{4} + 1 + 4} = \sqrt {\frac{{29}}{4}} \].
Váy diện tích cầu ngoại tiếp tứ diện \[OABC\] là \[S = 4\pi {R^2} = 4\pi .\frac{{29}}{4} = 29\pi .\]
Chọn B.
Câu 36 [VD]
Phương pháp:
- Áp dụng các công thức tính nguyên hàm cơ bản: \[\int {{x^n}dx} = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\] \[\left[ {n \ne - 1} \right]\].
- Giải bất phương trình tìm \[a\] và suy ra các giá trị của \[a\] thỏa mãn.
Cách giải:
Ta có \[\int\limits_0^a {\left[ {2x - 3} \right]dx} = \left. {\left[ {{x^2} - 3x} \right]} \right|_0^a = {a^2} - 3a.\]
Theo bài ra ta có: \[\int\limits_0^a {\left[ {2x - 3} \right]dx} \le 4\]\[ \Rightarrow {a^2} - 3a \le 4 \Leftrightarrow - 1 \le a \le 4.\]
Mà \[a \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow a \in \left\{ { - 1;0;1;2;3;4} \right\}.\]
Vậy có 6 giá trị của \[a\] thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn A.
Câu 37 [VD]
Phương pháp:
- Tìm số phức z bằng MTCT rồi suy ra \[\overline z \]: Số phức \[z = a + bi\] có số phức liên hợp \[\overline z = a - bi\].
- Xác định các hệ số \[a,\,\,b\] và tính tổng \[a + b\].
Cách giải:
Ta có \[\frac{{\left[ { - 1 + i} \right]z + 2}}{{1 - 2i}} = 2 + 3i\]
\[ \Rightarrow z = \frac{{\left[ {2 + 3i} \right]\left[ {1 - 2i} \right] - 2}}{{ - 1 + i}}\] \[ = - \frac{7}{2} - \frac{5}{2}i\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \overline z = - \frac{7}{2} + \frac{5}{2}i\\ \Rightarrow a = - \frac{7}{2};\,\,b = \frac{5}{2}\end{array}\]
Vậy \[a + b = - \frac{7}{2} + \frac{5}{2} = - 1.\]
Chọn A.
Câu 38 [VD]
Phương pháp:
Cho hàm số \[f\left[ x \right]\]liên tục \[\left[ {a;b} \right]\], diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[f\left[ x \right]\], các đường thẳng \[x = a,\,\,x = b\] và trục Ox là \[S = \int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right]} \right|dx} .\]
Cách giải:
Gọi \[{S_1}\] là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\], trục hoành, đường thẳng \[x = a,\,\,x = 0\,\,\left[ {a < 0} \right]\], ta có \[{S_1} = \int\limits_a^0 {\left| {f\left[ x \right]} \right|dx} = \int\limits_a^0 {f\left[ x \right]dx} = m\].
Gọi \[{S_2}\] là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\], trục hoành, đường thẳng \[x = 0,\,\,x = b\,\,\left[ {b > 0} \right]\], ta có \[{S_2} = \int\limits_0^b {\left| {f\left[ x \right]} \right|dx} = - \int\limits_0^b {f\left[ x \right]dx} = - n\].
Vậy diện tích cần tính là \[S = {S_1} + {S_2} = m - n.\]
Chọn B.
Câu 39 [VD]
Phương pháp:
- Suy ra tọa độ của A,B,C : Số phức \[z = a + bi\] được biểu diễn bởi điểm \[M\left[ {a;b} \right]\].
- Tính độ dài các đoạn thẳng \[AB,\,\,AC,\,\,BC\]. Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng
\[AB\]\[ = \sqrt {{{\left[ {{x_B} - {x_A}} \right]}^2} + {{\left[ {{y_B} - {y_A}} \right]}^2} + {{\left[ {{z_B} - {z_A}} \right]}^2}} \].
- Sử dụng công thức Herong để tính diện tích tam giác: \[{S_{\Delta ABC}} = \sqrt {p\left[ {p - AB} \right]\left[ {p - AC} \right]\left[ {p - BC} \right]} \] với \[p\] là nửa chu vi tam giác \[ABC\].
Cách giải:
Ta có \[{z_1} = 3 - 2i,\] \[{z_2} = 1 + 4i\] và \[{z_3} = - 1 + i\] có biểu diễn hình học trong mặt phẳng tọa độ Oxy lần lượt là các điểm \[A,B,C\] nên \[A\left[ {3; - 2} \right];\,\,B\left[ {1;4} \right];\,\,C\left[ { - 1;1} \right].\]
Khi đó ta có: \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = \sqrt {{{\left[ { - 2} \right]}^2} + {6^2}} = 2\sqrt {10} \\AC = \sqrt {{{\left[ { - 4} \right]}^2} + {3^2}} = 5\\BC = \sqrt {{{\left[ { - 2} \right]}^2} + {{\left[ { - 3} \right]}^2}} = \sqrt {13} \end{array} \right..\]
Gọi \[p\] là nửa chu vi tam giác \[ABC\] ta có: \[p = \frac{{2\sqrt {10} + 5 + \sqrt {13} }}{2}.\]
Diện tích tam giác \[ABC\] là:
\[{S_{\Delta ABC}} \]\[= \sqrt {p\left[ {p - AB} \right]\left[ {p - AC} \right]\left[ {p - BC} \right]} \]
\[= 9.\]
Chọn D.
Câu 40 [VD]
Phương pháp:
- Sử dụng phương pháp đổi biến số, đặt \[t = \sqrt {\ln x + 3} \].
- Tính tích phân sau khi đổi biến, đồng nhất hệ số tìm \[a,\,\,b\].
Cách giải:
Gọi \[I = \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {\ln x + 3} }}{x}dx} \].
Đặt \[t = \sqrt {\ln x + 3} \]\[ \Rightarrow {t^2} = \ln x + 3\] \[ \Rightarrow 2tdt = \frac{{dx}}{x}\] .
Đổi cận: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = \sqrt 3 \\x = e \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\].
Khi đó ta có: \[I = 2\int\limits_{\sqrt 3 }^2 {{t^2}dt} = \left. {\frac{{2{t^3}}}{3}} \right|_{\sqrt 3 }^2 = \frac{{16}}{3} - 2\sqrt 3 \].
\[ \Rightarrow a = 16,\,\,b = - 2.\]
Vậy \[\frac{1}{{{2^b}}} + {\log _2}a = \frac{1}{{{2^{ - 2}}}} + {\log _2}16\]\[ = 4 + 4 = 8\]
Chọn C.
Câu 41 [VD]
Phương pháp:
- Lấy điểm \[B\] bất kì thuộc đường thẳng \[d\].
- \[\left\{ \begin{array}{l}AB \subset \left[ P \right]\\d \subset \left[ P \right]\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{n_P}} = 0\\\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}} = 0\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right]\] với \[\overrightarrow {{u_d}} \] là 1 VTCP của đường thẳng \[d\], \[\overrightarrow {{n_P}} \] là 1 VTPT của mặt phẳng \[\left[ P \right]\].
- Viết phương trình mặt phẳng đi qua \[A\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\] và có 1 VTPT là \[\overrightarrow n \left[ {A;B;C} \right]\] là:
\[A\left[ {x - {x_0}} \right] + \left[ {y - {y_0}} \right] + C\left[ {z - {z_0}} \right] = 0\].
Cách giải:
Ta có \[B\left[ {0;1;3} \right] \in d\]. Mà \[d \subset \left[ P \right]\]\[ \Rightarrow B\left[ {0;1;3} \right] \in \left[ P \right].\]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left[ { - 3;2;1} \right]\]
Đường thẳng d có 1 vecto chỉ phương là \[\overrightarrow u = \left[ {1;1; - 2} \right]\]
Ta có: \[\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left[ { - 5; - 5; - 5} \right]\parallel \left[ {1;1;1} \right]\].
Gọi \[\overrightarrow {{n_P}} \] là 1 VTPT của mặt phẳng \[\left[ P \right]\].
Vì \[\left\{ \begin{array}{l}AB \subset \left[ P \right]\\d \subset \left[ P \right]\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{n_P}} = 0\\\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}} = 0\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} \] cùng phương với \[\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right]\]. Do đó \[\left[ P \right]\] có 1 VTPT là \[\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {1;1;1} \right]\].
Vậy phương trình mặt phẳng \[\left[ P \right]\] là: \[x - 3 + y + 1 + z - 2 = 0\]\[ \Leftrightarrow x + y + z - 4 = 0\]
Chọn C.
Câu 42 [VD]
Phương pháp:
- Bậc tử = bậc mẫu => Chia tử cho mẫu.
- Áp dụng các công thức tính nguyên hàm cơ bản: \[\int {{x^n}dx} = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\] \[\left[ {n \ne - 1} \right]\], \[\int {\frac{1}{{ax + b}}dx = \frac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right|} + C.\]
- Đồng nhất hệ số tìm \[a,\,\,b\] và tính \[a - 2b\].
Cách giải:
Ta có \[\frac{{x - 1}}{{x + 2}} = \frac{{x + 2 - 3}}{{x + 2}}\]\[ = 1 - \frac{3}{{x + 2}}\] .
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^1 {\frac{{x - 1}}{{x + 2}}dx} \\ = \int\limits_0^1 {\left[ {1 - \frac{3}{{x + 2}}} \right]dx} \\ = \left. {\left[ {x - 3\ln \left| {x + 2} \right|} \right]} \right|_0^1\\ = 1 - 3\ln 3 - \left[ {0 - 3\ln 2} \right]\\ = 1 - 3\ln \frac{3}{2}\end{array}\]
\[ \Rightarrow a = 1;\,\,b = - 3.\]
Vậy \[a - 2b = 1 - 2.\left[ { - 3} \right] = 7.\]
Chọn D.
Câu 43 [VD]
Phương pháp:
- Áp dụng công thức \[z.\overline z = {\left| z \right|^2}\].
- Quy đồng mẫu tìm số phức \[z\].
- Số phức \[z = a + bi\] có môđun \[\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \].
Cách giải:
Ta có
\[\begin{array}{l}\frac{{3 - 4i}}{z} = \frac{{\left[ {2 + 3i} \right]\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}} + 2 + i\\ \Leftrightarrow \frac{{3 - 4i}}{z} = \frac{{\left[ {2 + 3i} \right]\overline z }}{{z.\overline z }} + 2 + i\\ \Leftrightarrow \frac{{3 - 4i}}{z} = \frac{{2 + 3i}}{z} + 2 + i\\ \Leftrightarrow 3 - 4i = 2 + 3i + \left[ {2 + i} \right].z\\ \Leftrightarrow \left[ {2 + i} \right].z = 1 - 7i\\ \Leftrightarrow z = \frac{{1 - 7i}}{{2 + i}} = - 1 - 3i\end{array}\]
Vậy \[\left| z \right| = \sqrt {{{\left[ { - 1} \right]}^2} + {{\left[ { - 3} \right]}^2}} = \sqrt {10} .\]
Chọn B.
Câu 44 [VD]
Phương pháp:
- Sử dụng phương pháp đổi biến số, đặt \[t = \sqrt {{x^2} + 1} \].
- Tích tích phân sau khi đổi biến.
- Đồng nhất hệ số tìm \[a,\,\,b\] và tính \[{a^2} - {b^2}\].
Cách giải:
Đặt \[t = \sqrt {{x^2} + 1} \Rightarrow {t^2} = {x^2} + 1 \Rightarrow tdt = xdx\].
Đổi cận: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = 1 \Rightarrow t = \sqrt 2 \end{array} \right.\].
Khi đó ta có:
\[\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {x\sqrt {{x^2} + 1} dx} = \int\limits_1^{\sqrt 2 } {{t^2}dt} \\ = \left. {\frac{{{t^3}}}{3}} \right|_1^{\sqrt 2 } = \frac{{2\sqrt 2 }}{3} - \frac{1}{3}\\ = \frac{{2\sqrt 2 - 1}}{3}\end{array}\].
\[ \Rightarrow a = 2,\,\,b = 3\].
Vậy \[{a^2} - {b^2} = {2^2} - {3^2} = - 5.\]
Chọn A.
Câu 45 [VD]
Phương pháp:
- Áp dụng tích phân từng phần: \[\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \].
- Sử dụng phương pháp đổi biến để tính \[\int\limits_{ - 3}^0 {f\left[ x \right]dx} .\]
Cách giải:
Ta gọi \[I = \int\limits_{ - 3}^0 {xf'\left[ x \right]dx} \].
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = f'\left[ x \right]dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = f\left[ x \right]\end{array} \right.\], khi đó ta có:
\[\begin{array}{l}I = \left. {xf\left[ x \right]} \right|_{ - 3}^0 - \int\limits_{ - 3}^0 {f\left[ x \right]dx} \\I = 3f\left[ { - 3} \right] - \int\limits_{ - 3}^0 {f\left[ x \right]dx} \\I = 6 - \int\limits_{ - 3}^0 {f\left[ x \right]dx} \end{array}\]
Xét tích phân \[\int\limits_1^2 {f\left[ {3x - 6} \right]dx = 3} \].
Đặt \[t = 3x - 6 \Rightarrow dt = 3dx\].
Đổi cận: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = - 3\\x = 2 \Rightarrow t = 0\end{array} \right.\].
Khi đó ta có: \[\int\limits_1^2 {f\left[ {3x - 6} \right]dx} = \frac{1}{3}\int\limits_{ - 3}^0 {f\left[ t \right]dt} \]\[ = \frac{1}{3}\int\limits_{ - 3}^0 {f\left[ x \right]dx} = 3\]
\[ \Leftrightarrow \int\limits_{ - 3}^0 {f\left[ x \right]dx} = 9.\]
Vậy \[I = 6 - 9 = - 3.\]
Chọn A.
Câu 46 [VD]
Phương pháp:
- Xác định vị trí của A,B so với mặt phẳng \[\left[ P \right]\].
- Gọi \[H,\,\,K\] lần lượt là hình chiếu của \[A,\,\,B\] lên \[\left[ P \right]\], sử dụng định lí Ta-lét chứng minh \[\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{AH}}{{BK}} = \frac{{d\left[ {A;\left[ P \right]} \right]}}{{d\left[ {B;\left[ P \right]} \right]}}\].
- Khoảng cách từ \[M\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\] đến mặt phẳng \[\left[ P \right]:\,\,Ax + By + Cz + D = 0\] là
\[d\left[ {M;\left[ P \right]} \right] = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\].
Cách giải:
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{P_A} = 1 + 2.\left[ { - 2} \right] - 4.3 - 7 = - 22\\{P_B} = 3 + 2.2 - 4.\left[ { - 2} \right] - 7 = 8\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow {P_A}.{P_B} < 0 \Rightarrow A,\,\,B\] nằm khác phía so với mặt phẳng \[\left[ P \right]\].
Gọi \[H,\,\,K\] lần lượt là hình chiếu của \[A,\,\,B\] lên \[\left[ P \right]\], ta có \[\left\{ \begin{array}{l}AH \bot \left[ P \right]\\BK \bot \left[ P \right]\end{array} \right. \Rightarrow AH\parallel BK\]. Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \[\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{AH}}{{BK}} = \frac{{d\left[ {A;\left[ P \right]} \right]}}{{d\left[ {B;\left[ P \right]} \right]}}\].
Mà
\[\begin{array}{l}d\left[ {A;\left[ P \right]} \right] = \frac{{\left| {1 + 2.\left[ { - 2} \right] - 4.3 - 7} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left[ { - 4} \right]}^2}} }} = \frac{{22}}{{\sqrt {21} }}\\d\left[ {B;\left[ P \right]} \right] = \frac{{\left| {3 + 2.2 - 4.\left[ { - 2} \right] - 7} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left[ { - 4} \right]}^2}} }} = \frac{8}{{\sqrt {21} }}\end{array}\]
Vậy \[\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{d\left[ {A;\left[ P \right]} \right]}}{{d\left[ {B;\left[ P \right]} \right]}} = \frac{{22}}{8} = \frac{{11}}{4}.\]
Chọn D.
Câu 47 [VD]
Phương pháp:
- Giải phương trình bậc hai tìm một nghiệm \[z\].
- Tính \[{z^3}\], từ đó phân tích \[{z^{2019}},\,\,{z^{2018}}\] theo \[{z^3}\] và tính giá trị biểu thức \[M\].
Cách giải:
Ta có \[{z^2} - z + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\\z = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\end{array} \right.\].
Chọn 1 nghiệm của phương trình trên là \[z = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\], ta có \[{z^3} = - 1\].
Ta có:
\[\begin{array}{l}{z^{2019}} = {\left[ {{z^3}} \right]^{673}} = {\left[ { - 1} \right]^{673}} = - 1\\{z^{2018}} = {\left[ {{z^3}} \right]^{672}}.{z^2}\\ = {\left[ { - 1} \right]^{672}}.{\left[ {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right]^2}\\ = - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\end{array}\]
Vậy
\[\begin{array}{l}M = - 1 - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i + \frac{1}{{ - 1}} + \frac{1}{{ - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i}} + 5\\M = - 1 - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i + \frac{1}{{ - 1}} - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i + 5\\M = 2.\end{array}\]
Chọn B.
Câu 48 [VD]
Phương pháp:
- Đặt \[z = a + bi\] rồi thay vào biểu thức \[\left| {z - 2 + 3i} \right| = \left| {z + 1 - i} \right|\], từ đó rút \[b\] theo \[b\].
- Thay vào biểu thức \[{\left| z \right|^2} + 2\left[ {z + \overline z } \right] = 5\] tìm \[a,\,\,b\].
Cách giải:
Đặt \[z = a + bi.\]
Theo bài ra ta có:
\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left| {z - 2 + 3i} \right| = \left| {z + 1 - i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {a + bi - 2 + 3i} \right| = \left| {a + bi + 1 - i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\left[ {a - 2} \right] + \left[ {b + 3} \right]i} \right| = \left| {\left[ {a + 1} \right] + \left[ {b - 1} \right]i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left[ {a - 2} \right]^2} + {\left[ {b + 3} \right]^2} = {\left[ {a + 1} \right]^2} + {\left[ {b - 1} \right]^2}\\ \Leftrightarrow - 4a + 4 + 6b + 9 = 2a + 1 - 2b + 1\\ \Leftrightarrow 6a - 8b = 11 \Rightarrow b = \frac{{6a - 11}}{8}\end{array}\]
Mặt khác ta có:
\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\left| z \right|^2} + 2\left[ {z + \overline z } \right] = 5\\ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + 4a = 5\\ \Rightarrow {a^2} + {\left[ {\frac{{6a - 11}}{8}} \right]^2} + 4a - 5 = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{25}}{{16}}{a^2} + \frac{{31}}{{16}}a - \frac{{199}}{{64}} = 0\end{array}\]
Phương trình trên có 2 nghiệm \[a\] phân biệt. Do đó có 2 số phức \[z\] thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn C.
Câu 49 [VDC]
Phương pháp:
- Gọi \[A\left[ {a;b;c} \right],\] tính tích vô hướng của \[\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {MA} .\]
- Từ đó suy ra tập hợp các điểm \[A\].
Cách giải:
Gọi \[A\left[ {a;b;c} \right]\]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {OA} = \left[ {a;b;c} \right];\]\[\overrightarrow {MA} = \left[ {a - 3;b - 1;c - 2} \right]\]
Khi đó ta có:
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {MA} = a\left[ {a - 3} \right] + b\left[ {b - 1} \right] + c\left[ {c - 2} \right]\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 3a - b - 2c = - 3\,\,\,\left[ 1 \right]\end{array}\]
Mà \[A \in \left[ S \right]\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow {\left[ {a - 1} \right]^2} + {b^2} + {\left[ {c + 2} \right]^2} = 4\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 2a + 4c = - 1\,\,\,\left[ 2 \right]\end{array}\]
Trừ vế theo vế của [2] cho [1] ta có: \[a + b + 6c = 2\]\[ \Leftrightarrow a + b + 6c - 2 = 0\]
Vậy điểm A thuộc mặt phẳng \[x + y + 6z - 2 = 0.\]
Chọn A.
Câu 50 [VDC]
Phương pháp:
- Áp dụng phương pháp tích phân từ 0 đến 1 hai vế của \[f\left[ {3x} \right] = f\left[ x \right] - 2x,\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\].
- Sử dụng phương pháp đổi biến số.
- Sử dụng tính chất tích phân: \[\int\limits_a^b {f\left[ x \right]dx} + \int\limits_b^c {f\left[ x \right]dx} = \int\limits_a^c {f\left[ x \right]dx} \].
Cách giải:
Ta có \[f\left[ {3x} \right] = f\left[ x \right] - 2x\].
Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế ta có:
\[ \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left[ {3x} \right]dx} = \int\limits_0^1 {f\left[ x \right]dx - } \int\limits_0^1 {2xdx} \]\[= 5 - 1 = 4\]
Đặt \[t = 3x \Rightarrow dt = 3dx\].
Đổi cận: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = 1 \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left[ {3x} \right]dx} \\ = \frac{1}{3}\int\limits_0^3 {f\left[ t \right]dt} = 4\\ \Leftrightarrow \int\limits_0^3 {f\left[ t \right]dt} = 12\end{array}\]
\[ \Rightarrow \int\limits_0^3 {f\left[ x \right]dx} = 12\].
Vậy \[\int\limits_1^3 {f\left[ x \right]dx} = \int\limits_1^0 {f\left[ x \right]dx} + \int\limits_0^3 {f\left[ x \right]dx} \]\[ = - 5 + 12 = 7\]
Chọn C.