Đề bài
Tìm \[\displaystyle x\] biết \[\displaystyle {2^x} + {3^x} = {5^x}\].
A. \[\displaystyle x = 0\] B. \[\displaystyle x = 1\]
C. \[\displaystyle x = - 1\] D. \[\displaystyle x = 2\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chia cả hai vế cho \[\displaystyle {5^x} > 0\] và giải phương trình bằng phương pháp hàm số.
Lời giải chi tiết
Chia cả hai vế cho \[\displaystyle {5^x} > 0\] ta được \[\displaystyle {\left[ {\frac{2}{5}} \right]^x} + {\left[ {\frac{3}{5}} \right]^x} = 1\]
Xét hàm \[\displaystyle f\left[ x \right] = {\left[ {\frac{2}{5}} \right]^x} + {\left[ {\frac{3}{5}} \right]^x}\] có \[\displaystyle f'\left[ x \right] = {\left[ {\frac{2}{5}} \right]^x}\ln \frac{2}{5} + {\left[ {\frac{3}{5}} \right]^x}\ln \frac{3}{5} < 0\] với mọi \[\displaystyle x\] nên hàm số nghịch biến trên \[\displaystyle \mathbb{R}\].
Mà \[\displaystyle f\left[ 1 \right] = 1\] nên phương trình có nghiệm duy nhất \[\displaystyle x = 1\].
Chọn B.