Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] có cạnh \[BC\] cố định và \[\widehat A = \alpha \] không đổi. Tìm quỹ tích giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Muốn chứng minh quỹ tích [tập hợp] các điểm \[M\] thỏa mãn tính chất \[\tau\] là một hình\[{\rm H}\]nào đó, ta phải chứng minh hai phần:
Phần thuận: Mọi điểm có tính chất \[\tau\] đều thuộc hình \[\rm H.\]
Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình \[\rm H\] đều có tính chất \[\tau.\]
Kết luận: Quỹ tích [hay tập hợp] các điểm \[M\] có tính chất \[\tau\] là hình \[\rm H.\]
[Thông thường với bài toán "Tìm quỹ tích..." ta nên dự đoán hình \[\rm H\] trước khi chứng minh: Tập hợp các điểm \[M\] tạo với hai mút của đoạn thẳng \[AB\] cho trước một góc \[AMB\] bằng \[\alpha\] \[[\alpha\] không đổi \[]\] là hai cung tròn đối xứng với nhau qua \[AB\] [gọi là cung chứa góc \[\alpha\] vẽ trên đoạn \[AB\]]].
Lời giải chi tiết
Chứng minh thuận:
Gọi \[I\] là giao điểm \[3\] đường phân giác trong của \[ABC\]
\[\widehat {IBC} =\displaystyle {{\widehat B} \over 2};\] \[\widehat {ICB} = \displaystyle{{\widehat C} \over 2}\]
\[ \Rightarrow \] \[\widehat {IBC} + \widehat {ICB} = \displaystyle{{\widehat B + \widehat C} \over 2}\] mà trong \[ABC\] ta có: \[\widehat B + \widehat C = 180^\circ - \widehat A = 180^\circ - \alpha \]
Suy ra: \[\widehat {IBC} + \widehat {ICB} =\displaystyle {{180^\circ - \alpha } \over 2}\]
Trong \[BIC\] ta có: \[\widehat {BIC} = 180^\circ - [\widehat {IBC} + \widehat {ICB}]\]
Suy ra: \[\widehat {BIC} = \displaystyle 180^\circ - {{180^\circ - \alpha } \over 2}\]\[ = \displaystyle{{360^\circ - 180^\circ + \alpha } \over 2}\]\[ =\displaystyle 90^\circ + {\alpha \over 2}\]
Do \[\widehat Α=\alpha\] không đổi \[ \Rightarrow \widehat {BIC} = 90^\circ + \displaystyle{\alpha \over 2}\] không đổi.
Vì \[I\] thay đổi tạo với \[2\] đầu đoạn \[BC\] cố định một góc bằng \[90^\circ + \displaystyle{\alpha \over 2}\] không đổi
Do đó, \[I\] nằm trên cung chứa góc \[90^\circ + \displaystyle{\alpha \over 2}\] vẽ trên \[BC.\]
Chứng minh đảo:Trên cung chứa góc \[90^\circ + \displaystyle{\alpha \over 2}\] lấy điểm \[I \] bất kỳ. Vẽ trên cùng nửa mặt phẳng bờ \[BC\] chứa điểm \[I\] hai tai \[Bx\] và \[Cy\] sao cho \[BI\] là phân giác của \[\widehat {CBx},CI'\] là phân giác của \[\widehat {BCy}\].
\[Bx\] cắt \[Cy\] tại \[A'.\]
Trong \[BI'C\] ta có: \[\widehat {BI'C} =90^\circ + \displaystyle{\alpha \over 2}\]
\[ \Rightarrow \widehat {I'BC} + \widehat {I'CB} = 180^\circ - \widehat {BI'C}\]\[ =\displaystyle180^\circ - \left[ {90^\circ + {\alpha \over 2}} \right]\]\[ = \displaystyle{{180^\circ - \alpha } \over 2}\]
\[\widehat {CBA'} = 2\widehat {I'BC};\widehat {BCA'} = 2\widehat {I'CB}\]
\[ \Rightarrow \widehat {CBA'} + \widehat {BCA'} =\displaystyle 2.{{180^\circ - \alpha } \over 2} \]\[= 180^\circ - \alpha \]
Trong \[A'BC\] ta có:
\[\widehat {BA'C} = 180^\circ - [\widehat {CBA'} + \widehat {BCA'}] \]\[= 180^\circ - [180^\circ - \alpha ] = \alpha \]
Kết luận: Vậy quỹ tích giao điểm \[3\] đường phân giác trong \[ABC\] khi \[\widehat A = \alpha \] không đổi, \[BC\] cố định là \[2\] cung chứa góc \[90^\circ + \displaystyle{\alpha \over 2}\] vẽ trên \[BC.\]