Đề bài
Chứng minh rằng nếu tứ diệnABCDcó tính chất
AB+CD = AC+BD = AD+BC
Thì có mặt cầu tiếp xác với các cạnh của tứ diệnABCD.
Lời giải chi tiết
GọiO1là tâm đường tròn nội tiếp tam giácABCvà các điểm tiếp xúc của đường tròn đó với các cạnhM, N, P.
Gọi \[{\Delta _1}\] là trục của đường tròn này thì \[{\Delta _1}\] chứa tâm của các mặt cầu tiếp xúc với ba cạnhAB, BC, CA.
Tương tự, nếu gọi \[{\Delta _2}\] là trục của đường tròn nội tiếp tam giácABDthì \[{\Delta _2}\] chứa tâm của các mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của tam giácABD.
Kí hiệu điểm tiếp xúc của ba cạnh ấy với đường tròn nội tiếp \[\Delta ABD\] làN1, Q, R[N1thuộcAB].
Khi ấy, vì
\[AN = {{AB + AC - BC} \over 2},A{N_1} = {{AB + AD - BD} \over 2}\]
MàAC+BD = AD+BCnênAN = AN1, từ đó \[N \equiv {N_1}.\]
Suy ra \[AB \bot mp[{O_1}N{O_2}].\]
Mặt khác, \[{\Delta _1} \bot AB\] và cắt mp[ABC] tại \[{O_1},{\Delta _2}\] vuông góc với AB và cắtmp[ABD]tạiO2nên \[{\Delta _1},{\Delta _2}\] cùng nằm trongmp[\[{O_1}N{O_2}\]].
Từ đó \[{\Delta _1}\] cắt \[{\Delta _2}\] tạiO, đó là điểm cách đều năm cạnhAB, AC, BC, AD, BDcủa tứ diệnABCDhay
OM = ON = OP = OQ = OR. [1]
Hoàn toàn tương tự như trên ta cũng có \[{\Delta _2}\] cắt \[{\Delta _3}\] [\[{\Delta _3}\] là trục của đường tròn nội tiếp tam giácACD] tạiOvà
OM = ON = OQ = OR = OS [2]
[Slà điểm tiếp xúc của cạnhCDvà đường tròn nội tiếp \[\Delta ACD\]].
Từ [1] và [2] ta cóO, Ocùng là tâm của mặt cầu đi qua bốn điểmM, N, Q, RmàM, N, Q, Rkhông đồng phẳng, vậy \[O \equiv O'.\]
Đó là tâm mặt cầu tiếp xúc với sáu cạnh của tứ diện, bán kính mặt cầu đó làON.