Đề bài
Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BD, CE \[[D \in AC,E \in AB]\] .
a] Chứng minh rằng ED // BC.
b] Chứng minh rằng BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.
Lời giải chi tiết
a] Ta có \[\widehat {ABD} = \widehat {DBC} = {{\widehat B} \over 2}\] [BD là tia phân giác của \[\widehat B\]]
\[\widehat {ACE} = \widehat {ECB} = {{\widehat C} \over 2}\] [CE là tia phân giác của \[\widehat C\]], \[\widehat B = \widehat C\] [\[\Delta ABC\] cân tại A]
Suy ra \[\widehat {ABD} = \widehat {DBC} = \widehat {ACE} = \widehat {ECB}\]
Xét \[\Delta ACE\] và \[\Delta ABD\] ta có:
\[AC = AB\] [\[\Delta ABC\] cân tại A];
\[\widehat A\] chung;
\[\widehat {ACE} = \widehat {ABD}\] [chứng minh trên]
Xét \[\Delta ACE = \Delta ABD\,\,\left[ {g.c.g} \right] \Rightarrow AE = AD\] [hai cạnh tương ứng]
\[ \Rightarrow \Delta AED\] cân tại A \[ \Rightarrow \widehat {AED} = {{{{180}^0} - \widehat A} \over 2}\]
Mà \[\widehat {ABC} = {{{{180}^0} - \widehat A} \over 2}\] [\[\Delta ABC\] cân tại A]. Nên \[\widehat {AED} = \widehat {ABC}\]
Mà \[\widehat {AED}\] và \[\widehat {ABC}\] là hai góc đồng vị.
Do đó ED // BC.
b] Vì ED // BC nên tứ giác BEDC là hình thang.
Mà \[\widehat {EBC} = \widehat {DCB}\] [\[\Delta ABC\] cân tại A]. Do đó tứ giác BEDC là hình thang cân]
Ta có: \[\widehat {EBD} = \widehat {DBC}\] [hai góc so le trong và ED // BC]
\[ \Rightarrow \widehat {EBD} = \widehat {EDB} \Rightarrow \Delta EBD\] cân tại E \[ \Rightarrow BE = ED\].
Vậy tứ giác BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.