Đề bài - bài tập 29 trang 92 tài liệu dạy – học toán 8 tập 2
Xét EDC có: CD // AN \( \Rightarrow {{AN} \over {CD}} = {{AE} \over {CE}}\) (hệ quả của định lí Thales) \( \Rightarrow {{AI} \over {DI}} = {{AE} \over {CE}}\) Đề bài Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh rằng : \(\Delta BDA \sim \Delta BFC\) và BD.BC = BF.BA b) Chứng minh rằng \(\widehat {BDF} = \widehat {BAC}\) . c) CHứng minh rằng BH.BE = BD.BC và \(BH.BE{\rm{ }} + {\rm{ }}CH.CF{\rm{ }} = B{C^2}\) . d) Đường thẳng qua A song song với BC cắt tia DF tại M. Gọi I là giao điểm của CM và AD. Chứng minh rằng IE // BC. Lời giải chi tiết a) Xét BDA và BFC có: \(\widehat {DBA}\) (chung), \(\widehat {BDA} = \widehat {BFC}( = 90^\circ )\) Do đó \(\Delta BDA \sim \Delta BFC(g.g)\) \( \Rightarrow {{BD} \over {BF}} = {{BA} \over {BC}} \) \(\Rightarrow BD.BC = BF.BA\) b) Xét BDF và BAC có: \(\widehat {DBF}(chung),\) \({{BD} \over {BA}} = {{BF} \over {BC}}\) (vì BD.BC = BF.BA) Do đó \(\Delta BDF \sim \Delta BAC(c.g.c) \) \(\Rightarrow \widehat {BDF} = \widehat {BAC}\) c) Xét BDH và BEC có: \(\widehat {DBH}(chung),\widehat {BDH} = \widehat {BEC}( = 90^\circ )\) Do đó \(\Delta BDH \sim \Delta BEC(g.g) \) \(\Rightarrow {{BD} \over {BE}} = {{BH} \over {BC}} \) \(\Rightarrow BH.BE = BD.BC\) Tương tự có \(\Delta CDH \sim \Delta CFB \) \(\Rightarrow {{CH} \over {BC}} = {{CD} \over {CF}}\) \(\Rightarrow CH.CF = CD.BC\) Do đó \(BH.BE + CH.CF \)\(\,= BD.BC + CD.BC\)\(\, = BC.(BD + CD) = BC.BC= {BC^2}\) d) Gọi N là giao điểm của DE và AM, ta có \(\widehat {BDF} = \widehat {BAC}(\Delta BDF \sim \Delta BAC)\) Tương tự \(\widehat {CDE} = \widehat {CAB}\) Do đó \(\widehat {BDF} = \widehat {CDE}.\) Mà \(\widehat {BDF} + \widehat {ADM} = \widehat {CDE} + \widehat {ADN}( = 90^\circ ) \) \(\Rightarrow \widehat {ADM} = \widehat {ADN}\) Mặt MN // BC, \(AD \bot BC \Rightarrow MN \bot AD\) DMN có DA là đường cao, đường phân giác \( \Rightarrow \Delta DMN\) cân tại D => AM = AN Xét IDC có: AM // CD \( \Rightarrow {{AM} \over {CD}} = {{AI} \over {DI}}\) (hệ quả của định lí Thales) Xét EDC có: CD // AN \( \Rightarrow {{AN} \over {CD}} = {{AE} \over {CE}}\) (hệ quả của định lí Thales) \( \Rightarrow {{AI} \over {DI}} = {{AE} \over {CE}}\) Xét AND có: \({{AI} \over {DI}} = {{AE} \over {CE}} \Rightarrow IE//AN\) (định lí Thales đảo) Ta có IE // AN và AN // BC => IE // BC
|