Đề bài - câu 18 trang 103 sgk hình học 11 nâng cao

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có SA mp(ABC), các tam giác ABC và SBC không vuông. Gọi H và K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC.

Chứng minh rằng :

a. AH, SK, BC đồng quy ;

b. SC mp(BHK)

c. HK mp(SBC).

Lời giải chi tiết

a. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AH và BC

Ta có : BC AH (do H là trực tâm ΔABC)

BC SA (do SA mp(ABC))

Suy ra BC (SAI) mà SI (SAI) nên BC SI

K là trực tâm ΔSBC nên SI qua K

Vậy AH, SK, BC đồng quy tại I.

b. Ta có : BH AC và BH SA nên BH mp(SAC)

Suy ra BH SC

Mặt khác SC BK nên SC mp(BHK)

c. Ta có: SC HK (do HK mp(BHK)) mà HK BC (do BC mp(ASI))

Vậy HK mp(SBC)