Đề bài - câu 84 trang 130 sách bài tập hình học 11 nâng cao

Đề bài

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a, AD = b. Gọi S là điểm sao cho SA vuông góc với mp(ABC) và SA = h (h > 0). Trên cạnh CD lấy điểm M bất kì, đặt CM = x (0 x a).

a) Tính diện tích tam giác SBM theo a, b, h, x.

b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBM) khi M là trung điểm của CD.

c) Gọi hình chiếu của điểm A và điểm D trên mp(SBM) lần lượt là A1và D1. Chứng minh rằng khi M thay đổi trên CD thì các điểm A1và D1thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính của mỗi đường tròn đó.

Lời giải chi tiết

a) Kẻ \(AK \bot MB\), do \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(SK \bot MB\) (định lí ba đường vuông góc).

Vậy \({S_{SBM}} = {1 \over 2}BM.SK\)

Mặt khác \(BM = \sqrt {{b^2} + {x^2}} \) và \(AK.MB = 2{{\rm{S}}_{AMB}} = ab\)

tức là \(AK = {{ab} \over {\sqrt {{b^2} + {x^2}} }}\)

Từ đó

\(\eqalign{ & S{K^2} = S{A^2} + A{K^2} = {h^2} + {{{a^2}{b^2}} \over {{b^2} + {x^2}}} \cr & = {{{a^2}{b^2} + {b^2}{h^2} + {h^2}{x^2}} \over {{b^2} + {x^2}}} \cr} \)

Vậy \({S_{SBM}} = {1 \over 2}\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{h^2} + {h^2}{x^2}} \)

b) Với A1là hình chiếu A trên SK, dễ thấy \(A{A_1} \bot \left( {SBM} \right)\).

Từ đó \(A{A_1}.SK = SA.AK\)

suy ra \(A{A_1} = {{SA.AK} \over {SK}}\)

hay

\(\eqalign{ & A{A_1} = {{h.{{ab} \over {\sqrt {{b^2} + {x^2}} }}} \over {{{\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{h^2} + {h^2}{x^2}} } \over {\sqrt {{b^2} + {x^2}} }}}} \cr & = {{abh} \over {\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{h^2} + {h^2}{x^2}} }} \cr} \)

Khi trung điểm DC thì \(x = {a \over 2}\) nên

\(A{A_1} = {{2abh} \over {\sqrt {4{a^2}{b^2} + 4{b^2}{h^2} + {a^2}{h^2}} }}\)

c) Vì \(A{A_1} \bot \left( {SMB} \right)\) nên \(A{A_1} \bot SB\) mặt khác \(A{\rm{D}} \bot SB\), từ đó \(mp\left( {A{\rm{D}}{A_1}} \right) \bot SB.\)

Gọi giao điểm của SB với mp(ADA1) là I thì \(AI \bot SB\), từ đó I là điểm cố định và mp(ADA1) cố định.

Như vậy, điểm A1nhìn AI cố định dưới góc vuông và A­1thuộc mặt phẳng cố định (ADI), tức là A1thuộc đường tròn đường kính AI trong mp(ADI).

Bán kính của đường tròn đó bằng \({{AI} \over 2}\) mà

\(AI.SB = SA.AB\)

hay \(AI = {{ah} \over {\sqrt {{a^2} + {h^2}} }}\)

Vậy bán kính của đường tròn trên bằng \({{ah} \over {2\sqrt {{a^2} + {h^2}} }}\).

Vì D1là hình chiếu của D trên mp(SBM) nên DD1// AA1và dễ thất D1thuộc đường thẳng A1I.

Như vậy, D1thuộc mp(ADI) và D1nhìn DI dưới góc vuông, tức là điểm D1thuộc đường tròn đường kính DI trong mp(ADI). Bán kính của đường tròn đó \({{DI} \over 2}\).

Mặt khác

\(\eqalign{ & D{I^2} = D{A^2} + A{I^2} \cr & = {b^2} + {{{a^2}{h^2}} \over {{a^2} + {h^2}}} \cr & = {{{a^2}{b^2} + {b^2}{h^2} + {a^2}{h^2}} \over {{a^2} + {h^2}}} \cr} \)

Từ đó, bán kính của đường tròn đó là

\({1 \over 2}\sqrt {{{{a^2}{b^2} + {a^2}{h^2} + {b^2}{h^2}} \over {{a^2} + {h^2}}}} \)