Bản quyền thuộc TRƯỜNG THCS TRUNG KIÊN Địa chỉ: Xã Trung Kiên-huyện Yên Lạc-tỉnh Vĩnh Phúc Email: c2trungkien.yenlac@vinhphuc.edu.vn
ĐT: 02113 837 060 Website //pgdyenlac.edu.vn/thcstrungkien Sử dụng tốt nhất trên trình duyệt Firefox
Trả lời
Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *
Bình luận *
Tên *
Email *
Trang web
Lưu tên của tôi, email, và trang web trong trình duyệt này cho lần bình luận kế tiếp của tôi.
Δ
Captoc.vn giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 9 cấp huyện năm học 2023 – 2024 phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Lập Thạch, tỉnh Vĩnh Phúc.
Trích dẫn Đề HSG Toán 9 cấp huyện năm 2023 – 2024 phòng GD&ĐT Lập Thạch – Vĩnh Phúc: + Cửa hàng bác Tuấn ở thị trấn Xuân Hòa huyện Lập Thạch chuyên bán cá thính [đặc sản của huyện Lập Thạch, tỉnh Vĩnh Phúc]. Cửa hàng có hai hình thức đóng thùng, loại I mỗi thùng gồm 10 hộp cá thính và loại II mỗi thùng gồm 5 hộp cá thính. Trong tháng 9 vừa qua cửa hàng bán buôn được 60 thùng cá thính [gồm cả loại I và loại II] thu về tổng cộng 55 triệu đồng. Biết rằng giá bán mỗi thùng cá thính loại I tính theo triệu đồng là một số nguyên dương và gấp đôi giá bán mỗi thùng cá thính loại II. Hỏi giá bán mỗi thùng cá thính loại I là bao nhiêu triệu đồng? + Lần lượt lấy trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC các điểm P, M, N. Gọi S, S1, S2, S3 lần lượt là diện tích các tam giác ABC, APN, BMP, CMN. Chứng minh rằng: S1.S2.S3. + Cho một đa giác đều có 2023 đỉnh. Người ta ghi lên mỗi đỉnh của đa giác số 1 hoặc số 2. Biết rằng có 1013 số 1 và 1010 số 2 và các số trên 3 đỉnh liên tiếp bất kỳ không đồng thời bằng nhau. Hãy tính S là tổng của tất cả các tích ba số trên 3 đỉnh liên tiếp của đã giác trên.
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2022-2023 ĐỀ THI MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút [không kể thời gian giao đề] 2 2 2 2 Câu 1. Cho biểu thức x y x y P = [ − − . x + y][1− y] [x + y][1+ x] [1+ x][1− y] a. Rút gọn biểu thức . P
- Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn P = 2. Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng [d ] 2 : y = 2x − m +1, [d : y = x − m − m 2 ] 2 1 và [d ] 2 : y = 3x − m − m + 2. Biết [d cắt [d và [d lần lượt tại [ A x ; y ] và B[x ; y .] 3 ] 2 ] 1 ] 3 1 1 2 2 Tìm m để 2 2 [x − x ] + [y − y ] = 320. 1 2 1 2 Câu 3. Cho đa thức P[x] 3 2 \= x + ax + bx + . c Biết P[x] chia hết cho [x − 2] và P[x] chia cho [ 2 x − ] 1 thì dư là 2 .x Tính P[3]. Câu 4. Giải phương trình 2 2x −3 + 5 − 2x = 3x −12x +14 . 3 x + 7y = [x + y]2 2 + x y + 7x + 4 Câu 5. Giải hệ phương trình [x, y ∈] . 2 2 3 x + y + 8y + 4 = 8x Câu 6. Cho tam giác ABC vuông tại , A có đường cao là AH. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC. Tính chu vi tam giác IHK biết BH =18c , m CH = 32c . m Câu 7. Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM , CN cắt nhau tại điểm . G Gọi K là một điểm trên cạnh BC, đường thẳng [d ] 1 đi qua K và song song với CN cắt AB tại D, đường thẳng [d ] 2 đi qua K và song song với BM cắt AC tại E. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng KG và DE. Chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn thẳng DE. Câu 8. Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ là AB và BC = B . D Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng . CD Đường thẳng [d] đi qua điểm H cắt các đường thẳng AC, AD lần lượt tại E, F sao cho D nằm giữa A và F. Chứng minh rằng = DBF EBC. Câu 9. Một cửa hàng bán bưởi Đoan Hùng với giá bán mỗi quả là 50000 đồng. Với giá bán này thì mỗi ngày cửa hàng chỉ bán được 40 quả. Cửa hàng dự định giảm giá bán, ước tính nếu cửa hàng cứ giảm mỗi quả 1000 đồng thì số bưởi bán tăng thêm được là 10 quả mỗi ngày. Xác định giá bán để cửa hàng thu được lợi nhuận cao nhất, biết rằng giá nhập về ban đầu cho mỗi quả bưởi là 30000 đồng. Câu 10. Cho ba số thực dương a, , b c thỏa mãn 2 2 2 a + b + c =1. Chứng minh 3 3 3 a b + c + > 2. 2 2 2 b −bc + c a -- Hết -- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:………………………………………….…............. Số báo danh:…….………. 1 SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2022 – 2023 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN [ Hướng dẫn chấm gồm 05 trang]
- Hướng dẫn chung:
- Hướng dẫn chấm chỉ nêu một cách giải với những ý cơ bản, nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm nhưng vẫn đúng thì cho đủ số điểm từng phần như thang điểm quy định.
- Việc chi tiết hoá thang điểm [nếu có] trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện với tất cả giám khảo.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 điểm. Sau khi cộng điểm toàn bài, giữ nguyên kết quả.
- Với bài hình học nếu học sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm phần đó. II] Đáp án và thang điểm: Câu Nội dung trình bày Điểm 1 2 2 2 2 Cho biểu thức x y x y P = − − . [x + y][1− y] [x + y][1+ x] [1+ x][1− y] 1,5
- Rút gọn biểu thức . P x ≠ −y ≠ − ĐK: x 1 0,25 y ≠ 1 2 x [ + x] 2 − y [ − y] 2 2 1 1 − x y [x + y] [ 3 3 x + y ] + [ 2 2 x − y ] 2 2 − x y [x + y] P = [ = 0,5 x + y][1+ x][1− y] [x + y][1+ x][1− y] 2 2 2 2 [x + y][x − y + x − xy + y − x y ] = 0,25 [x + y][1+ x][1− y] [x + y][1+ x][1− y][x + xy − y] = [ x + y][1+ x][1− y] 0,25 \= x + xy − y 0,25
- Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình P = 2. 1,0 P = 2 ⇔ x[ y + ] 1 = y + 2 0,25 y ≠ 1 − ⇔ 0,25 1 x =1+ y +1 Vì x, y ∈ nên [ y + ] 1 là ước của 1⇒ y +1 =1 hoặc y +1 = 1 − 0,25 x = 2 x = 0 Vậy hoặc 0,25 y = 0 y = 2 − 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng [d ] 2 : y = 2x − m +1, 1 [d ] 2 : y = x − m − , m và [d : y = 3x − m − m + 2. Biết [d cắt [d và [d lần lượt tại 2,0 3 ] 2 ] 1 ] 3 ] 2 2 [ A x ; y ] B[x ; y .] [x − x ] + [y − y ] = 320. 1 1 và 2 2 Tìm m để 2 2 1 2 1 2 + Ta có [d : y = 2x − m +1 cắt [d : y = x − m − , m tại điểm A[ 2 1 − − ; m −m − 2m − ] 0,5 2 ] 2 1 ] 2 1 . [d ] 2 : y = 2x − m +1 cắt [d : y = 3x − m − m + 2. tại điểm B[ 2 1 − + ; m −m + 2m − ] 3 ] 2 1 1 . 0,5 2 Ta có [x − x ]2 + [ y − y ]2 = 320 ⇒ [ 2 − m]2 + [ 4 − m]2 = 320. 1 2 1 2 0,5 2 2 2 ⇔ 4m +16m = 320 ⇔ m =16 ⇔ m = 4 ± . Vậy m = 4 ± . 0,5 Cho đa thức P[x] 3 2 \= x + ax + bx + . c Biết P[x] chia hết cho [x − 2] và P[x] chia cho 3 2,0 [ 2x − ]1 thì dư là 2x. Tính P[3]. Vì P[x] chia hết cho [x − 2] nên P[2] = 8 + 4a + 2b + c = 0 ⇔ c = 8 − − 4a − 2b 0,5 Do P[x] chia cho [ 2 x − ] thì dư P x − x chia hết cho [ 2 x − ], suy ra 1 2x nên [ ] 2 1 P[ ] 1 − 2 = 0 a + b + c =1 0,5 ⇔ P [− ] 1 + 2 = 0 a − b + c = 1 − 10 3a + b = 9 − a − = 10 + Thay c = 8 − − 4a − 2b ta có hệ ⇔ 3 ⇒ c = . 3 0,5 a + 3b = 7 − 3 b =1 ⇒ P[x] 3 10 2 10 10 = x − x + x + ⇒ P[3] = . Vậy P[ ] 10 3 = . 3 3 3 3 0,5 x − + − x = x − x + 4 Giải phương trình 2 2 3 5 2 3 12 14 . 2,0 Điều kiện: 3 5 ≤ x ≤ 0,5 2 2 Áp dụng Bunnhiacopski, ta có: 2 2 VT =1. 2x − 3 +1. 5 − 2x ≤ [1 +1 ][2x − 3+ 5 − 2x] = 2 [1] 0,5 2 2 VP = 3x −12x +14 = 3[x − 2] + 2 ≥ 2, x ∀ [2] 0,5 Phương trình 2 2x −3 + 5 − 2x = 3x −12x +14 có nghiệm ⇔ Dấu “=” ở [1] và [2] đồng thời xảy ra. x − = − x 0,5 ⇔ 2 3 5 2 ⇔ x = 2 . x − 2 = 0 Vậy phương trình có nghiệm x = 2 . 3 x + 7y = [x + y]2 2 + x y + 7x + 4 Giải hệ phương trình [x, y ∈] . 2 2 3 2,0 x + y + 8y + 4 = 8x 3 x + 7y = [x + y]2 2 + x y + 7x + 4 [1] HPT ⇔ 2 2 4 = 3 − x − y −8y + 8x [2] 0,5 Thay [2] vào [1] ta được 3 x + y = [x + y]2 2 2 2 7 + x y + 7x − 3x − y −8y + 8x 5 x = y [x y][ 2x 2x 15] 0 ⇔ − + − = ⇔ x = 3 0,5 x = 5 − y = 1 − Với x = 3 thay vào [2] ta được 2 y + 8y + 7 = 0 ⇔ y = 7 − 0,5 Với x = 5 − thay vào [2] ta được 2 y + 8y +119 = 0 [VN] 3 Với y = x thay vào [2] ta được 2 x = 1[ − VN] 0,5 Vậy hệ phương trình có nghiệm [ ; x y]∈ [ { 3;− ]1;[3; 7 − ]}. Cho tam giác ABC vuông tại , A có đường cao AH. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của 6 các cạnh AB, AC. Tính chu vi tam giác IHK biết BH =18c , m CH = 32c . m 2,0 B 18cm H I 32cm 0,5 A K C Ta có: BC = BH + CH = 50cm Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC, ta có: 2 AB = BH.BC = 900 ⇒ AB = 30cm 0,5 2 AC = CH.BC =1600 ⇒ AC = 40cm Tam giác AHB vuông tại H có đường trung tuyến 1 HI ⇒ HI = AB =15cm 2 0,5 Tam giác AHC vuông tại H có đường trung tuyến 1 HK ⇒ HK = AC = 20cm 2 Tam giác ABC có đường trung bình 1 IK ⇒ IK = BC = 25cm 2 0,5 Vậy chu vi tam giác IHK bằng 60cm. Cho A ∆ BC có hai đường trung tuyến BM , CN cắt nhau tại điểm . G Gọi K là một điểm trên cạnh BC , đường thẳng [d ]1 đi qua K và song song với CN cắt AB tại D , đường 2,0 thẳng [d ] 2 đi qua K và song song với BM cắt AC tại E . Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng KG và DE . Chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn thẳng DE . A N M 7 G E I D J O H B C K Gọi DK cắt BM tại H , KE cắt CN tại O và GK cắt HO tại J . HK / /GO Tứ giác HGOK có: \=> Tứ giác HGOK là hình bình hành. 0,5 HG / /KO \=> J là trung điểm của HO ⇒ HJ = OJ . B ∆ NG có / / DH BH DH NG => = [1] NG BG 0,5 B ∆ GC có / / HK BH HK GC => = [2] GC BG 4