Đề toán nâng cao lớp 9 có đáp án năm 2024

Nhóm thuvientoan.net xin gửi đến các bạn đọc tài liệu 268 bài toán nâng cao lớp 9 có đáp án.

Tài liệu gồm 42 trang và tập trung về chủ đề 268 bài toán nâng cao lớp 9 có đáp án. Nội dung tài liệu bao gồm:

1. Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.

13. Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

25. Có hai số vô tỉ dương nào mà tổng là số hữu tỉ không ?

40. Cho số nguyên dương a. Xét các số có dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; ... ; a + 15n. Chứng minh rằng trong các số đó, tồn tại hai số mà hai chữ số đầu tiên là 96.

260. Trong tất cả các hình chữ nhật có đường chéo bằng 8x căn bậc 2 của 2, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

231. Một miếng bìa hình vuông có cạnh 3 dm. Ở mỗi góc của hình vuông lớn, người ta cắt đi một hình vuông nhỏ rồi gấp bìa để được một cái hộp hình hộp chữ nhật không nắp. Tính cạnh hình vuông nhỏ để thể tích của hộp là lớn nhất.

268 bài tập nâng cao Toán 9 phần Đại số có đáp án, lời giải dưới đây là những bài tập hay dành cho học sinh lớp 9 bồi dưỡng Đại số 9.

Tài liệu Toán nâng cao lớp 9 này chia ra làm 2 phần Đề bài và hướng dẫn giải, đáp án. Kiến thức nâng cao so với chương trình trên lớp, chính vì vậy các em học sinh cần cố gắng ôn luyện nhiều hơn để làm quen với các dạng bài.

Một sản phẩm của công ty TNHH Giáo dục Edmicro

CÔNG TY TNHH GIÁO DỤC EDMICRO MST: 0108115077 Địa chỉ: Tầng 5 Tòa nhà Tây Hà, số 19 Đường Tố Hữu, Phường Trung Văn, Quận Nam Từ Liêm, Thành phố Hà Nội, Việt Nam

Lớp học

• Lớp 1
• Lớp 2
• Lớp 3
• Lớp 4
• Lớp 5
• Lớp 6
• Lớp 7
• Lớp 8
• Lớp 9
• Lớp 10
• Lớp 11
• Lớp 12

Tài khoản

• Gói cơ bản
• Tài khoản Ôn Luyện
• Tài khoản Tranh hạng
• Chính Sách Bảo Mật
• Điều khoản sử dụng

Thông tin liên hệ

[+84] 096.960.2660

• Chính Sách Bảo Mật
• Điều khoản sử dụng

Follow us

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

270 BÀI TẬP TOÁN NÂNG CAO LỚP 9 CÓ ĐÁP ÁN
PHẦN I: ĐỀ BÀI
1. Chứng minh 7 l{ số vô tỉ.
2. a] Chứng minh: [ac + bd]2 + [ad – bc]2 = [a2 + b2][c2 + d2]
b] Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: [ac + bd] 2 ≤ [a2 + b2][c2 + d2]
3. Cho x + y = 2. Tìm gi| trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x 2 + y2.
ab
4. a] Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy:
 ab .
2
bc ca ab
b] Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
  abc
a
b
c
c] Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm gi| trị lớn nhất của tích P = ab.
5. Cho a + b = 1. Tìm gi| trị nhỏ nhất của biểu thức: M = a3 + b3.
6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm gi| trị lớn nhất của biểu thức: N = a + b.
7. Cho a, b, c l{ c|c số dương. Chứng minh: a 3 + b3 + abc ≥ ab[a + b + c]
8. Tìm liên hệ giữa c|c số a v{ b biết rằng: a  b  a  b
9. a] Chứng minh bất đẳng thức [a + 1]2 ≥ 4a
b] Cho a, b, c > 0 v{ abc = 1. Chứng minh: [a + 1][b + 1][c + 1] ≥ 8
10. Chứng minh c|c bất đẳng thức:
a] [a + b]2 ≤ 2[a2 + b2]
b] [a + b + c]2 ≤ 3[a2 + b2 + c2]
11. Tìm c|c gi| trị của x sao cho:
a] | 2x – 3 | = | 1 – x |
2 – 4x ≤ 5
b] x
c] 2x[2x – 1] ≤ 2x – 1.
12. Tìm c|c số a, b, c, d biết rằng: a2 + b2 + c2 + d2 = a[b + c + d]
13. Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. Với gi| trị n{o của a v{ b thì M đạt
gi| trị nhỏ nhất ? Tìm gi| trị nhỏ nhất đó.
14. Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3[x + y] + 3. CMR gi| trị nhỏ nhất của P bằng 0.
15. Chứng minh rằng không có gi| trị n{o của x, y, z thỏa m~n đẳng thức sau:
x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 0
1
16. Tìm gi| trị lớn nhất của biểu thức: A  2
x  4x  9
17. So s|nh c|c số thực sau [không dùng m|y tính]:
a] 7  15 và 7
b] 17  5  1 và 45

23  2 19
và 27
d] 3 2 và 2 3
3
18. H~y viết một số hữu tỉ v{ một số vô tỉ lớn hơn 2 nhưng nhỏ hơn
c]

3

19. Giải phương trình: 3x 2  6x  7  5x 2  10x  21  5  2x  x 2 .
20. Tìm gi| trị lớn nhất của biểu thức A = x2y với c|c điều kiện x, y > 0 v{ 2x + xy = 4.

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 1

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

21. Cho S 

1
1
1
1
. Hãy so sánh S và

 .... 
 ... 
1.1998
2.1997
k[1998  k  1]
1998  1

1998
.
1999
22. Chứng minh rằng: Nếu số tự nhiên a không phải l{ số chính phương thì
tỉ.
23. Cho c|c số x v{ y cùng dấu. Chứng minh rằng:
x y
a]   2
y x
 x 2 y2   x y 
b]  2  2       0
x  y x
y
2.

a l{ số vô

 x 4 y4   x 2 y2   x y 
c]  4  4    2  2       2 .
x  y
x  y x
y
24. Chứng minh rằng c|c số sau l{ số vô tỉ:
a]

1 2

3
với m, n l{ c|c số hữu tỉ, n ≠ 0.
n
25. Có hai số vô tỉ dương n{o m{ tổng l{ số hữu tỉ không ?
x y
x 2 y2
26. Cho c|c số x v{ y kh|c 0. Chứng minh rằng: 2  2  4  3    .
y
x
y x
b] m 

x 2 y2 z 2 x y z
 
   .
y2 z 2 x 2 y z x
28. Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ l{ một số vô tỉ.
29. Chứng minh c|c bất đẳng thức:
a] [a + b]2 ≤ 2[a2 + b2]
b] [a + b + c]2 ≤ 3[a2 + b2 + c2]
c] [a1 + a2 + ….. + an]2 ≤ n[a12 + a22 + ….. + an2].
30. Cho a3 + b3 = 2. Chứng minh rằng a + b ≤ 2.
31. Chứng minh rằng:  x    y   x  y .
27. Cho c|c số x, y, z dương. Chứng minh rằng:

32. Tìm gi| trị lớn nhất của biểu thức: A 

1
.
x  6x  17
2

x y z
  với x, y, z > 0.
y z x
34. Tìm gi| trị nhỏ nhất của: A = x2 + y2 biết x + y = 4.
35. Tìm gi| trị lớn nhất của: A = xyz[x + y][y + z][z + x] với x, y, z ≥ 0 ; x + y + z = 1.
36. Xét xem c|c số a v{ b có thể l{ số vô tỉ không nếu:
a
a] ab và l{ số vô tỉ.
b
a
b] a + b và l{ số hữu tỉ [a + b ≠ 0]
b
2 và b2 l{ số hữu tỉ [a + b ≠ 0]
c] a + b, a
37. Cho a, b, c > 0. Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab[a + b + c]
33. Tìm gi| trị nhỏ nhất của: A 

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 2

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

a
b
c
d



2
bc cd da a b
39. Chứng minh rằng  2x  bằng 2  x  hoặc 2  x   1
40. Cho số nguyên dương a. Xét c|c số có dạng: a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; … ; a + 15n.
Chứng minh rằng trong c|c số đó, tồn tại hai số m{ hai chữ số đầu tiên l{ 96.
41. Tìm các gi| trị của x để c|c biểu thức sau có nghĩa:
1
1
1
2
A= x 2  3 B 
C
D
E  x   2x
x
x 2  4x  5
1 x2  3
x  2x  1
38. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh:

G  3x  1  5x  3  x 2  x  1
42. a] Chứng minh rằng: | A + B | ≤ | A | + | B | . Dấu “ = ” xảy ra khi n{o ?
b] Tìm gi| trị nhỏ nhất của biểu thức sau: M  x 2  4x  4  x 2  6x  9 .
c] Giải phương trình:

4x 2  20x  25  x 2  8x  16  x 2  18x  81

43. Giải phương trình: 2x 2  8x  3 x 2  4x  5  12 .
44. Tìm c|c gi| trị của x để c|c biểu thức sau có nghĩa:
1
1
A  x2  x  2
B
C  2  1  9x 2
D
2
1  3x
x  5x  6
1
x
E
G 2
 x2
H  x 2  2x  3  3 1  x 2
x 4
2x  1  x

x 2  3x
45. Giải phương trình:
0
x 3
46. Tìm gi| trị nhỏ nhất của biểu thức: A  x  x .
47. Tìm gi| trị lớn nhất của biểu thức: B  3  x  x
3 1
48. So sánh: a] a  2  3 và b=
b] 5  13  4 3 và
2
c] n  2  n  1 và n+1  n [n l{ số nguyên dương]
49. Với gi| trị n{o của x, biểu thức sau đạt gi| trị nhỏ nhất:

3 1

A  1  1  6x  9x 2  [3x  1]2 .
50. Tính: a]

42 3

b]

11  6 2

d] A  m2  8m  16  m2  8m  16
51. Rút gọn biểu thức: M 

c]

27  10 2

e] B  n  2 n  1  n  2 n  1 [n ≥ 1]

8 41
45  4 41  45  4 41

.

52. Tìm c|c số x, y, z thỏa m~n đẳng thức: [2x  y]2  [y  2]2  [x  y  z] 2  0
53. Tìm gi| trị nhỏ nhất của biểu thức: P  25x 2  20x  4  25x 2  30x  9 .
54. Giải c|c phương trình sau:

a] x 2  x  2  x  2  0
d] x  x 4  2x 2  1  1

b] x 2  1  1  x 2
e] x 2  4x  4  x  4  0

h] x 2  2x  1  x 2  6x  9  1
W: www.hoc247.net

c] x 2  x  x 2  x  2  0
g] x  2  x  3  5

i] x  5  2  x  x 2  25

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 3

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

k] x  3  4 x  1  x  8  6 x  1  1

l] 8x  1  3x  5  7x  4  2x  2

x 2  y2
55. Cho hai số thực x v{ y thỏa m~n c|c điều kiện: xy = 1 v{ x > y. CMR:
2 2.
xy
56. Rút gọn c|c biểu thức:
a] 13  30 2  9  4 2

b] m  2 m  1  m  2 m  1

c] 2  3. 2  2  3 . 2  2  2  3 . 2  2  2  3
57. Chứng minh rằng

2 3 

58. Rút gọn c|c biểu thức:
a] C 

62





d] 227  30 2  123  22 2

6
2
.

2
2

6  3  2  62



6 3 2

2



.

96 2  6
3
59. So sánh:
b] D 

a]

6  20 và 1+ 6

b]

17  12 2 và 2  1

c]

28  16 3 và 3  2

60. Cho biểu thức: A  x  x 2  4x  4
a] Tìm tập x|c định của biểu thức A.
b] Rút gọn biểu thức A.
61. Rút gọn c|c biểu thức sau:

a]

11  2 10

b]

9  2 14

c]

3  11  6 2  5  2 6
2  6  2 5  7  2 10

62. Cho a + b + c = 0 ; a, b, c ≠ 0. Chứng minh đẳng thức:
63. Giải bất phương trình:

1 1 1
1 1 1
 2 2   
2
a
b c
a b c

x 2  16x  60  x  6 .

64. Tìm x sao cho: x 2  3  3  x 2 .
65. Tìm gi| trị nhỏ nhất, gi| trị lớn nhất của A = x2 + y2 , biết rằng:
x2[x2 + 2y2 – 3] + [y2 – 2]2 = 1 [1]
66. Tìm x để biểu thức có nghĩa:

a] A 

1
x  2x  1

W: www.hoc247.net

b] B 

16  x 2
 x 2  8x  8 .
2x  1

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 4

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

67. Cho biểu thức: A 

x  x 2  2x



x  x 2  2x

.

x  x  2x x  x  2x
a] Tìm gi| trị của x để biểu thức A có nghĩa.
b] Rút gọn biểu thức A. c] Tìm gi| trị của x để A < 2.
68. Tìm 20 chữ số thập ph}n đầu tiên của số: 0,9999....9 [20 chữ số 9]
2

2

69. Tìm gi| trị nhỏ nhất, gi| trị lớn nhất của: A = | x - 2 | + | y – 1 | với | x | + | y | = 5
70. Tìm gi| trị nhỏ nhất của A = x 4 + y4 + z4 biết rằng xy + yz + zx = 1
71. Trong hai số: n  n  2 và 2 n+1 [n l{ số nguyên dương], số n{o lớn hơn ?
72. Cho biểu thức A  7  4 3  7  4 3 . Tính gi| trị của A theo hai c|ch.
73. Tính: [ 2  3  5][ 2  3  5][ 2  3  5][ 2  3  5]
74. Chứng minh c|c số sau l{ số vô tỉ:

3 5 ;

3  2 ; 2 2 3

75. H~y so s|nh hai số: a  3 3  3 và b=2 2  1 ;
76. So sánh

2  5 và

5 1
2

4  7  4  7  2 v{ số 0.
2 3 6 84
.
2 3 4

77. Rút gọn biểu thức: Q 

78. Cho P  14  40  56  140 . H~y biểu diễn P dưới dạng tổng của 3 căn thức bậc
hai
79. Tính gi| trị của biểu thức x2 + y2 biết rằng: x 1  y2  y 1  x 2  1 .
80. Tìm gi| trị nhỏ nhất v{ lớn nhất của: A  1  x  1  x .
81. Tìm gi| trị lớn nhất của: M 



a b



2

với a, b > 0 v{ a + b ≤ 1.

82. CMR trong c|c số 2b  c  2 ad ; 2c  d  2 ab ; 2d  a  2 bc ; 2a  b  2 cd có ít
nhất hai số dương [a, b, c, d > 0].
83. Rút gọn biểu thức: N  4 6  8 3  4 2  18 .
84. Cho x  y  z  xy  yz  zx , trong đó x, y, z > 0. Chứng minh x = y = z.
85. Cho a1, a2, …, an > 0 và a1a2…an = 1. Chứng minh: [1 + a1][1 + a2]…[1 + an] ≥ 2n.
86. Chứng minh:



a b



2

 2 2[a  b] ab [a, b ≥ 0].

87. Chứng minh rằng nếu c|c đoạn thẳng có độ d{i a, b, c lập được th{nh một tam gi|c
thì c|c đoạn thẳng có độ d{i a , b , c cũng lập được th{nh một tam gi|c.
88. Rút gọn:

ab  b2
a

a] A 
b
b

[x  2]2  8x
b] B 
.
2
x
x

89. Chứng minh rằng với mọi số thực a, ta đều có:

a2  2
a2 1

 2 . Khi n{o có đẳng thức ?

90. Tính: A  3  5  3  5 bằng hai c|ch.
91. So sánh:
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 5