Định nghỉa góc tạo giữa 2 đường thẳng là gì năm 2024

Đây là kiến thức nền tảng để xây dựng nên lí thuyết góc giữa hai mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Thầy Lê Bá Trần Phương, giáo viên môn Toán tại Hệ thống Giáo dục HOCMAI cho biết, khi gặp dạng bài này, điều quan trọng nhất là thí sinh phải xác định được góc và biết cách tính góc thật nhanh, thật chính xác. Theo đó, các em cần am hiểu định nghĩa, đồng thời phải có kĩ thuật xác định góc giữa hai đường thẳng.

Định nghĩa được thầy Phương mô tả như sau:

Cho 2 đường thẳng a và b cắt nhau tại O. Khi đó ta có 4 góc. Góc có số đo bé nhất trong 4 góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng a và b.

Lưu ý: 2 góc đối đỉnh sẽ có số đo bằng nhau.

Trong một vài trường hợp, các em cần chú ý, nếu 2 đường thẳng a và b trùng nhau thì góc giữa 2 đường thẳng này là 0⁰. Đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b thì góc giữa chúng là 90⁰.

Gọi α là góc giữa 2 đường thẳng a và b, ta có thể suy ra:

0⁰ ≤ α ≤ 90⁰

0 ≤ cos α ≤ 1

Để xác định góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b, thầy Phương đưa ra 2 cách:

Cách 1: Từ 1 điểm O tùy ý trong không gian, ta kẻ đường thẳng a'//a. Qua O, kẻ thêm đường thẳng b'//b. Khi đó, góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b chính là góc giữa 2 đường thẳng cắt nhau a' và b'.

Cách 2: Từ 1 điểm O nằm trên đường thẳng b, qua O, kẻ đường thẳng a'//a. Khi đó, góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b bằng góc giữa 2 đường thẳng cắt nhau a' và b.

Trong bài giảng dưới đây, thầy Lê Bá Trần Phương sẽ đưa ra một số ví dụ về cách xác định và cách tính góc giữa hai đường thẳng. Học sinh quan tâm có thể theo dõi:

Bài viết Cách xác định góc giữa hai đường thẳng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách xác định góc giữa hai đường thẳng.

Cách xác định góc giữa hai đường thẳng (cực hay)

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

Để xác định góc giữa hai đường thẳng d và d’ ta có hai cách sau:

+ Cách 1: Gọi n→(x; y) và n'→( x'; y') lần lượt là VTPT của hai đường thẳng d và d’. Gọi α là góc giữa hai đường thẳng. Ta có:

Cosα = |cos⁡( n→; n'→ ) | =

+ Cách 2: Gọi k1 và k2 lần lượt là hệ số góc của hai đường thẳng. Gọi α là góc giữa hai đường thẳng. Ta có:

tgα =

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính góc giữa hai đường thẳng (a): 3x + y - 2 = 0 và (b): 2x - y + 39 = 0.

1. 300 B. 600 C. 900 D. 450

Hướng dẫn giải

Đường thẳng: 3x + y - 2 = 0có VTPT n→( 3; 1).

Đường thẳng: 2x - y + 39 = 0 có VTPT n→( 2; -1)

cos(a; b) = |cos⁡( na→; nb→ ) | \=

⇒ ( a; b) = 450

Chọn D.

Ví dụ 2: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng ∆1 : 10x + 5y - 1 = 0 và ∆2 :

1. B. C. D.

Hướng dẫn:

Vectơ pháp tuyến của ∆1; ∆2 lần lượt là n1→ \= (2; 1); n2→ \= (1; 1)

cos(∆1; ∆2) = |cos⁡( n1→, n2→ ) | =

Chọn B.

Quảng cáo

Ví dụ 3. Tính góc giữa hai đường thẳng: 3x + y - 8 = 0 và 4x – 2y + 10 = 0 .

1. 300 B. 600 C. 900 D. 450

Lời giải

Đường thẳng: 3x + y – 8 = 0 có VTPT n1→(3; 1)

Đường thẳng: 4x - 2y + 10= 0 có VTPT n2→(4; -2)

cos(d1, d2) = |cos⁡( n1→, n2→ ) | = ⇒ (d1, d2) = 450

Chọn D.

Ví dụ 4: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng d1: x + 3y - 9 = 0 và d2:

1. B. C. D. tất cả sai

Lời giải

Vectơ pháp tuyến của d1; d2 lần lượt là n1→( 1; 3); n2→(1; -1).

Cos( d1; d2) = |cos⁡( n1→, n2→ ) | =

Chọn C.

Ví dụ 5 : Tính góc giữa hai đường thẳng: (a): \= 1 và (b):

1. 00 B. 450 C. 600 D. 900

Hướng dẫn giải

Đường thẳng (a) ⇔ 4x + 2y - 8 = 0 có VTPT n→( 4; 2)

Đường thẳng (b) có VTCP u→( 2; -4) nên VTPT n'→( 4; 2)

⇒ cos(a; b) = \= 1

⇒ Góc giữa hai đường thẳng đã cho là 00.

Chọn A.

Quảng cáo

Ví dụ 6: Cho đường thẳng (a): x + y - 10 = 0 và đường thẳng (b): 2x + my + 99 = 0. Tìm m để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 450.

1. m = -1 B. m = 0 C. m = 1 D. m = 2

Lời giải

Đường thẳng (a) có VTPT n→( 1; 1)

Đường thẳng (b) có VTPT n'→( 2 ;m)

Để góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 450 thì

Cos450 =

⇔ |2 + m| =

⇔ 4 + 4m + m2 = 4 + m2

⇔ 4m = 0 ⇔ m = 0

Chọn B

Ví dụ 7: Cho đường thẳng (a): y = 2x + 3 và (b): y = -x + 6. Tính tan của góc tạo bởi hai đường thẳng (a) và (b)?

1. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Lời giải

Gọi α là góc tạo bởi hai đường thẳng (a) và (b).

Đường thẳng (a) có hệ số góc k1 = 2 và đường thẳng (b) có hệ số góc k2 = -1.

⇒ Tan của góc tạo bởi hai đường thẳng trên là:

Tgα = \= 3

Chọn C.

Ví dụ 8: Cho hai đường thẳng (d1): y = - 3x + 8 và (d2) : x + y - 10 = 0. Tính tan của góc tạo bởi hai đường thẳng d1 và d2?

1. B. 1 C. 3 D.

Lời giải

Đường thẳng (d1) có hệ số góc k1 = - 3.

Đường thẳng (d2) ⇔ y = -x + 10 có hệ số góc k2 = -1.

⇒ tan của góc tạo bởi hai đường thẳng trên là:

tgα =

Chọn A.

Ví dụ 9: Cho đường thẳng (a): và đường thẳng ( b): x + my - 4 = 0. Hỏi có bao nhiêu giá trị của m để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 600.

1. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Lời giải

+ Đường thẳng (a) có VTCP u→( m, 1) nên có VTPT n→( 1; -m) .

+ Đường thẳng (b) có VTPT n'→( 1; m).

+ Để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 600 thì:

Cos600 =

⇔ 1 + m2 = 2.|1 - m2| (*)

+ Nếu -1 < m < 1 thì 1 - m2 > 0. Từ (*) suy ra: 1 + m2 = 2 (1 - m2)

⇔ 1+ m2 = 2- 2m2 ⇔ 3m2 = 1

⇔ m2 = ⇔ m= ± ( thỏa mãn điều kiện) .

+ Nếu m ≥ 1 hoặc m ≤ -1 thì 1- m2 ≤ 0. Từ (*) suy ra:

1 + m2 = 2( m2 - 1) ⇔ 1 + m2 = 2m2 - 2

⇔ m2 = 3 ⇔ m = ±√3.

Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn.

Chọn D.

Quảng cáo

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng d1: x + 2y - 7 = 0 và d2: 2x - 4y + 9 = 0.

1. - B. C. D.

Lời giải:

Đáp án: A

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d1 là n1→ \= (1; 2)

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d2 là n2→ \= (2; -4)

Gọi φ là góc giữa 2 đường thẳng ta có:

cosφ = \= -

Câu 2: Tìm góc giữa đường thẳng d: 6x - 5y + 15 = 0 và ∆2:

1. 900 B. 300 C. 450 D. 600

Lời giải:

Đáp án: A

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là n1→ \= (6; -5)

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆2 là n2→ \= (5; 6)

Ta có n1→ . n2→ ⇒ d ⊥ ∆2.

Câu 3: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng d1: và d2:

1. B. C. D. tất cả sai

Lời giải:

Đáp án: D

Vectơ chỉ phương của d1; d2 lần lượt là u1→(3; 4); u2→(1; 1).

Cos( d1; d2) = |cos⁡(u1→; u2→) | =

Câu 4: Góc giữa hai đường thẳng: (a): \= 1 và (b): gần với số đo nào nhất?

1. 630 B. 250 C. 600 D. 900

Lời giải:

Đáp án: A

Đường thẳng (a) ⇔ 4x - 3y + 12 = 0 có VTPT n→( 4; -3).

Đường thẳng (b) có VTCP u→( 6; -12) nên VTPT n'→( 2; 1)

⇒ cos(a; b) =

⇒ Góc giữa hai đường thẳng đã cho xấp xỉ 630.

Câu 5: Cho đường thẳng (a): x - y - 210 = 0 và đường thẳng (b): x + my + 47 = 0. Tìm m để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 450.

1. m = -1 B. m = 0 C. m = 1 D. m = 2

Lời giải:

Đáp án: B

Đường thẳng (a) có VTPT n→( 1; -1)

Đường thẳng (b) có VTPT n'→( 1; m)

Để góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 450 thì

Cos450 =

⇔ |1 - m| =

⇔ 1- 2m + m2 = 1 + m2

⇔ -2m = 0 ⇔ m = 0

Câu 6: Cho đường thẳng (a): y = -x + 30 và (b): y = 3x + 600. Tính tan của góc tạo bởi hai đường thẳng (a) và (b)?

1. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Lời giải:

Đáp án: B

Gọi α là góc tạo bởi hai đường thẳng (a) và (b).

Đường thẳng (a) có hệ số góc k1 = -1 và đường thẳng (b) có hệ số góc k2 = 3.

⇒ Tan của góc tạo bởi hai đường thẳng trên là:

Tgα = \= 2

Câu 7: Cho hai đường thẳng (d1): y = -2x + 80 và (d2) : x + y - 10 = 0. Tính tan của góc tạo bởi hai đường thẳng d1 và d2?

1. B. 1 C. 3 D.

Lời giải:

Đáp án: D

Đường thẳng (d1) có hệ số góc k1 = - 2.

Đường thẳng (d2) ⇔ y = -x + 10 có hệ số góc k2 = -1.

⇒ tan của góc tạo bởi hai đường thẳng trên là:

tgα =

Câu 8: Cho đường thẳng (a): và đường thẳng ( b): 2x + y - 40 = 0.Hỏi có bao nhiêu giá trị của m để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 450.

1. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Lời giải:

Đáp án: B

+ Đường thẳng (a) có VTCP u→( m; 2) nên có VTPT n→( 2; -m) .

+ Đường thẳng (b) có VTPT n'→( 2;1).

+ Để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 450 thì:

Cos450 =

⇔ .√5 = √2|4 - m|

⇔ ( 4 + m2).5 = 2(16 - 8m + m2)

⇔ 20 + 5m2 = 32 - 16m + 2m2

⇔ 3m2 + 16m - 12 = 0 ⇔ m = hoặc m = - 6

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính góc giữa hai đường thẳng (a): 5x + 2y – 3 = 0 và (b): 2x + y + 7 = 0.

Bài 2. Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng d1: 10x + 5y – 1 = 0 và d2: {x = 2t + 3; y = 3 + t}.

Bài 3. Tính góc giữa hai đường thẳng: 5x + 2y – 7 = 0 và 3x – 5y + 6 = 0.

Bài 4. Cho đường thẳng (a): 3x + 2y – 10 = 0 và đường thẳng (b): 5x + my + 9 = 0. Tìm m để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 45°?

Bài 5. Cho đường thẳng (a): y = 3x + 5 và (b): y = –2x + 4. Tính tan của góc tạo bởi hai đường thẳng (a) và (b).

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:

• Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng
• Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
• Tìm điểm thuộc đường thẳng có độ dài thỏa mãn điều kiện
• Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
• Vị trí tương đối của 2 điểm với đường thẳng: cùng phía, khác phía
• Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc
• Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng

Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• (mới) Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• (mới) Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• (mới) Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều
• Gói luyện thi online hơn 1 triệu câu hỏi đầy đủ các lớp, các môn, có đáp án chi tiết. Chỉ từ 200k!

Săn shopee siêu SALE :

• Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
• Biti's ra mẫu mới xinh lắm
• Tsubaki 199k/3 chai
• L'Oreal mua 1 tặng 3

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 10

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

Tính góc giữa 2 đường thẳng là gì?

Để tính được góc giữa hai đường thẳng, ta cần lấy điểm O nằm trên một trong hai đường thẳng. Sau đó, vẽ một đường thẳng đi qua điểm O và song song với đường thẳng còn lại. Khi đó, góc giữa hai đường thẳng chính là góc được tạo bởi đường thẳng vừa vẽ và đường thẳng còn lại.

Góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau bằng bao nhiêu đó?

Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian có thể là bao nhiêu? Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian có thể là bất kỳ giá trị nào từ 0 đến 180 độ.

Làm sao để biết 2 đường thẳng vuông góc?

Hai đường thẳng được gọi là vuông góc khi góc giữa chúng bằng 90 độ.

Góc giữa 2 đường thẳng song song bằng bao nhiêu đó?

Hai đường thẳng song song: Nếu hai đường thẳng trong mặt phẳng là song song, thì góc giữa chúng được quy ước là bằng 0 độ.