Giải bài tập chương 4 toán cao cấp 1 năm 2024

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp: Chương 4 - GV. Ngô Quang Minh

1. 10/13/2012 Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số §1. Đạo hàm Nhận xét. Do x  x  x 0 nên: §2. Vi phân §3. Các định lý cơ bản về hàm khả vi – Cực trị f (x )  f (x 0 ) §4. Công thức Taylor f (x 0 )  lim . §5. Quy tắc……………………………………………………… L’Hospital x x 0 x  x0 §1. ĐẠO HÀM b) Đạo hàm một phía 1.1. Các định nghĩa Cho hàm số y  f (x ) xác định trong lân cận phải a) Định nghĩa đạo hàm f (x )  f (x 0 ) (x 0 ; b) của x 0 . Giới hạn lim (nếu có) Cho hàm số y  f (x ) xác định trong lân cận (a; b) của x x 0 x  x0 x 0  (a; b ). Giới hạn: được gọi là đạo hàm bên phải của y  f (x ) tại x 0 . y f (x 0  x )  f (x 0 ) lim  lim Ký hiệu là f (x 0 ). Tương tự, f (x 0 ). x  0 x x 0 x Nhận xét. Hàm số f (x ) có đạo hàm tại x 0 khi và chỉ khi (nếu có) được gọi là đạo hàm của y  f (x ) tại x 0 . Ký hiệu là f (x 0 ) hay y (x 0 ). f (x 0 )  f (x 0 )  f (x 0 ). Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số c) Đạo hàm vô cùng 1.2. Các quy tắc tính đạo hàm y • Nếu tỉ số   khi x  0 thì ta nói y  f (x ) có 1) Đạo hàm tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số: x (u  v )  u   v  ; (uv )  u v  uv  ; đạo hàm vô cùng tại x 0 . k    u  u v  uv  • Tương tự, ta cũng có các khái niệm đạo hàm vô cùng    kv  , k  ¡ ;     v   v  . một phía. v2 v2 VD 1. Cho f (x )  3 x  f (0)  , 2) Đạo hàm của hàm số hợp f (x )  y[u(x )]: f (x )  x  f (0 )   . f (x )  y (u ).u (x ) hay y (x )  y (u ).u (x ). Chú ý 3) Đạo hàm hàm số ngược của y  y(x ): Nếu f (x ) liên tục và có đạo hàm vô cùng tại x 0 thì tiếp 1 x (y )  . tuyến tại x 0 của đồ thị y  f (x ) song song với trục Oy .  y (x ) Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Đạo hàm của một số hàm số sơ cấp    e ; 7) e x x    a .ln a ; 8) a x x    .x 1) x  1 ; 2)  x   2 1x ;  9) ln x   x1 ;  10) loga x   x.ln1 a ; 3) sin x   cos x ; 4) cos x    sin x ; 1 1 11) arcsin x  = ; 12)arccos x  = ; 2 1 1 1x 1 x2 5) tan x   6) cot x    ; cos2 x sin2 x 1 1  1  tan2 x ; 13) arctan x   ; 14) arc cot x   . 2 1x 1  x2 1
2. 10/13/2012 Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số 1.4. Đạo hàm cấp cao VD 4. Cho hàm số f (x )  sin 2 x . Tính đạo hàm f (6)(0). A. f (6)(0)  32 ; B. f (6)(0)  32 ; • Giả sử f (x ) có đạo hàm f (x ) và f (x ) có đạo hàm thì (6) C. f (0)  16 ; D. f (6)(0)  0 .  f (x )  f (x ) là đạo hàm cấp hai của f (x ). Giải. Ta có f (x )  sin 2x  f (x )  2 cos 2x • Tương tự ta có:  f (x )  4 sin 2x  f (4)(x )  8 cos 2x    f (n )(x )  f (n1)(x ) là đạo hàm cấp n của f (x ).  f (5)(x )  16 sin 2x  f (6)(x )  32 cos 2x . Vậy f (6)(0)  32  A . Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số §2. VI PHÂN f (x 0 )  0   x    A  f (x 0 )  A . 2.1. Vi phân cấp một x Hàm số y  f (x ) được gọi là khả vi tại x 0  Df nếu  df (x 0 )  f (x 0 ).x hay df (x )  f (x ).x . • Chọn f (x )  x  df (x )  x  dx  x . f (x 0 )  f (x 0  x )  f (x 0 ) có thể biểu diễn dưới dạng: f (x 0 )  A.x  0(x ) Vậy df (x )  f (x )dx hay dy  y dx . với A là hằng số và 0(x ) là VCB khi x  0 . Khi đó, đại lượng A.x được gọi là vi phân của hàm VD 1. Tính vi phân cấp 1 của f (x )  x 2e 3x tại x 0  1 . số y  f (x ) tại x 0 . Ký hiệu df (x 0 ) hay dy(x 0 ). Giải. Ta có f (x )  (2x  3x 2 )e 3x  f (1)  e 3 Nhận xét f (x 0 ) 0(x ) Vậy df (1)  e 3dx . • f (x 0 )  A.x  0(x )  A x x Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số 2 VD 2. Tính vi phân cấp 1 của y  arctan(x  1). VD 3. Tính vi phân cấp 1 của hàm số y  2ln(arcsin x ) . Giải. Ta có y   (x 2  1)  2x . Giải. Ta có y   ln(arcsin x )  2ln(arcsin x ) ln 2 2 2 2 2 1  (x  1) 1  (x  1) 1 2x  2ln(arcsin x ) ln 2 Vậy dy  dx . 2 1  x arcsin x 1  (x 2  1)2 2ln(arcsin x ) ln 2  dy  dx . 1  x 2 arcsin x 2
3. 10/13/2012 Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số 2.2. Vi phân cấp cao VD 5. Tính vi phân cấp n của hàm số y  e 2x . Giả sử y  f (x ) có đạo hàm đến cấp n thì: Giải. Ta có y   2e 2x  y   22 e 2x d ny  d (d n 1y )  y (n )dx n  ...  y (n )  2n e 2x  d ny  2n e 2x dx n . được gọi là vi phân cấp n của hàm y  f (x ).  VD 6. Tính vi phân cấp 2 của f (x )  tan x tại x 0  . 4 VD 4. Tính vi phân cấp 2 của hàm số y  ln(sin x ). Giải. Ta có f (x )  1  tan2 x cos x 1  Giải. Ta có y    y    .  f (x )  2 tan x (1  tan2 x )  f     4 . sin x sin 2 x  4  dx 2    Vậy d 2y   Vậy d 2 f    4dx 2 . .  4  sin 2 x Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Chú ý §3. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ HÀM KHẢ VI CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Khi x là một hàm số độc lập với y thì công thức 3.1. Các định lý d ny  y (n )dx n không còn đúng nữa. 3.1.1. Bổ đề Fermat …………………………………………………………… Cho hàm số f (x ) xác định trong (a ;b ) và có đạo hàm tại x 0  (a; b). Nếu f (x ) đạt giá trị lớn nhất (hoặc bé nhất) tại x 0 trong (a ;b ) thì f (x 0 )  0 . 3.1.2. Định lý Rolle Cho hàm số f (x ) liên tục trong [a;b ] và khả vi trong (a ;b ). Nếu f (a )  f (b ) thì c  (a;b) sao cho f (c )  0 . Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số 3.1.3. Định lý Cauchy §4. CÔNG THỨC TAYLOR Cho hai hàm số f (x ), g(x ) liên tục trong [a;b ], khả vi trong (a;b) và g (x )  0, x  (a;b). 4.1. Công thức khai triển Taylor Khi đó, c  (a ;b ) sao cho: a) Khai triển Taylor với phần dư Peano f (b)  f (a ) f (c) Cho hàm f (x ) liên tục trên [a ; b ] có đạo hàm đến cấp  . g(b)  g(a ) g (c) n  1 trên (a ; b ) với x , x 0  (a; b) ta có: 3.1.4. Định lý Lagrange Cho hàm số f (x ) liên tục trong [a ;b ], khả vi trong (a ;b ). n f (k )(x 0 ) Khi đó, c  (a ;b ) sao cho: f (x )   (x  x 0 )k  O((x  x 0 )n ). k 0 k! f (b)  f (a )  f (c). b a 3
4. 10/13/2012 Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số b) Khai triển Maclaurin VD 1. Khai triển Maclaurin của f (x )  tan x đến x 3 . • Khai triển Taylor với phần dư Peano tại x 0  0 được Giải. Ta có: f (0)  0 , gọi là khai triển Maclaurin. f (x )  1  tan2 x  f (0)  1, n f (k )(0) k Vậy f (x )   x  O(x n ). f (x )  2 tan x  2 tan 3 x  f (0)  0 , k 0 k! f (x )  2(1  tan2 x )  6 tan2 x (1  tan2 x ) • Khai triển Maclaurin được viết lại:  f (0)  2 . f (0) f (0) 2 f (x )  f (0)  x x  ... f (0) f (0) 2 f (0) 3 Vậy 1! 2! tan x  f (0)+ x+ x + x +0(x 3 ) (n ) f (0) n 1! 2! 3! ...  x  O(x n ). n! 1  x  x 3  0(x 3 ). 3 Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số 4.2. Các khai triển Maclaurin cần nhớ Chú ý 1 Nếu u(x ) là VCB khi x  0 thì ta thay x trong các 1)  1  x  x 2  ...  x n  0(x n ). 1x công thức trên bởi u(x ). x x2 xn 1 2) e x  1    ...   0(x n ). VD 2. Khai triển Maclaurin hàm số y  đến x 6 . 1! 2! n! 1  3x 2 x x2 x3 x4 1 3) ln(1  x )      ...  0(x n ). Giải. y  1 2 3 4 1  (3x 2 ) x2 x4 x6 4) cos x  1     ...  0(x n ).  1  (3x 2 )  (3x 2 )2  (3x 2 )3  0(x 6 ) 2! 4 ! 6! x x3 x5 x7  1  3x 2  9x 4  27x 6  0(x 6 ). 5) sin x      ...  0(x n ). 1! 3! 5! 7 ! Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số 2 VD 3. Khai triển Maclaurin của y  ln(1  2x ) đến x . 6 VD 4. Khai triển Maclaurin của hàm số y  2x đến x 4 . Giải. Biến đổi: Giải. y  ln[1  (2x 2 )] x y  2x  e ln 2  e x ln 2 . (2x 2 )2 (2x 2 )3  (2x 2 )    0(x 6 ) Vậy 2x  e x ln 2 2 3 8 x ln 2 (x ln 2)2 (x ln 2)3 (x ln 2)4  2x 2  2x 4  x 6  0(x 6 ).  1     0(x 4 ) 3 1! 2! 3! 4! ln2 2 2 ln 3 2 3 ln 4 2 4  1  x ln 2  x  x  x  0(x 4 ). 2 6 24 4
5. 10/13/2012 Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số (7) VD 5. Cho hàm số f (x )  x cos 2x . Tính f (0). §5. QUY TẮC L’HOSPITAL Giải. Ta có: Định lý (quy tắc L’Hospital) (2x ) 2 (2x ) (2x )4 6 Cho hai hàm số f (x ), g(x ) khả vi trong lân cận của điểm cos 2x  1     0(x 6 ) x 0 và g (x )  0 trong lân cận của x 0 (có thể g (x 0 )  0 ). 2! 4! 6! f (x ) 0  4x 3 16x 5 64x 7 Nếu lim có dạng hoặc thì:  f (x )  x     0(x 7 ) x x 0 g(x ) 0  2! 4! 6! f (x ) f (x ) lim  lim . f (7)(0) 64 x x 0 g (x ) x x 0 g (x )    f (7)(0)  448 . 7! 6! Chú ý …………………………………………… § Ta có thể áp dụng quy tắc L’Hospital nhiều lần. Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số e x  e x  2 x 2  sin2 x VD 1. Tìm giới hạn L  lim VD 2. Tìm giới hạn L  lim . . x  0 x 2 .arctan2 x x 0 x2 1 1 A. L  0 ; B. L   ; C. L  ; D. L  . (e x  ex  2) e x  ex 2 3 Giải. L  lim  lim x 0 (x 2 ) x 0 2x Giải. Khi x  0 , ta có: x 2  sin2 x x 2  sin2 x : (e  e ) x x e e x x x 2 .arctan2 x x4  lim  lim  1. x 0 (2x ) x  0 2 x 2  sin 2 x  L  lim . x 0 x4 Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số L  lim x 0 2x  sin 2x 4x 3 x  0  VD 3. Tìm giới hạn L  lim x 3 ln x (dạng 0  ).  Giải. Ta có: 2  2 cos 2x ln x  lim L  lim x 0 12x 2 x  0 x 3 4 sin 2x 1  lim x 0 24x  lim x x  0 3x 4 8 cos 2x 1  lim   D. x 3 x 0 24 3  lim  0. x  0 3 5
6. 10/13/2012 Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số 1 VD 4. Tìm giới hạn L  lim x x 1 (dạng 1 ). x 1 1 Giải. Ta có: L  lim e ln x x 1 x 1 1 lim ln x ln x x 1 x 1  lim e x 1 e x 1 1 lim x 1 x e  e. …………………………………………………………………… 6