Cách xác định hàm số bậc nhất: tập xác định, đồng biến, nghịch biến
+ Hàm số có dạng y = ax + b là hàm số bậc nhất ⇔ a ≠ 0.
+ Hàm số bậc nhất có tập xác định là tập R.
+ Hàm số bậc nhất y = ax + b đồng biến khi a > 0, nghịch biến khi a < 0.
Ví dụ 1: Với điều kiện nào của m thì các hàm số dưới đây là hàm số bậc nhất?
a] y = [m-1]x + m
b] y = [m2-2x -3]x2 + [m+1]x + m
c] y = √[m2-1].x + 2 .
Hướng dẫn giải:
a] y = [m-1]x + m là hàm số bậc nhất
⇔ m – 1 ≠ 0
⇔ m ≠ 1.
Vậy với mọi m ≠ 1 thì hàm số y = [m – 1]x + m là hàm số bậc nhất.
b] y = [m2-2x -3]x2 + [m+1]x + m là hàm số bậc nhất
⇔ m - 3 = 0 ⇔ m = 3
Vậy với m = 3 thì hàm số y = [m2-2x -3]x2 + [m+1]x + m là hàm số bậc nhất là hàm số bậc nhất.
c] y = √[m2-1].x + 2 là hàm số bậc nhất
⇔ √[m2-1] ≠ 0
⇔ m2 – 1 > 0
⇔ m > 1 hoặc m < -1.
Vậy với m > 1 hoặc m < -1 thì hàm số y = √[m2-1].x + 2 là hàm số bậc nhất.
Ví dụ 2: Tìm a để các hàm số dưới đây :
a] y = [a + 2]x + 3 đồng biến trên R.
b] y = [m2 – m].x + m nghịch biến trên R.
Hướng dẫn giải:
a] y = [a + 2]x + 3 đồng biến trên R
⇔ a + 2 > 0
⇔ a > -2.
Vậy với mọi a > -2 thì hàm số y = [a + 2]x + 3 đồng biến trên R.
b] y = [m2 – m]x + m nghịch biến trên r
⇔ m2 – m < 0
⇔ m[m – 1] < 0
⇔ 0 < m < 1.
Vậy với 0 < m < 1 thì hàm số y = [m2 – m]x + m nghịch biến trên R.
Ví dụ 3: Cho hàm số y = f[x] = [m – 3]x + m2 – 4m [1].
a] Tìm điều kiện của m để hàm số trên là hàm số bậc nhất.
b] Tìm điều kiện của m để hàm số đồng biến.
c] Tìm m để hàm số bậc nhất trên thỏa mãn f[-2] = 0.
d] Với m ở trên, tìm giá trị của x để y = 2.
Hướng dẫn giải:
a] y = f[x] = [m – 3]x + m2 – 4m là hàm số bậc nhất
⇔ m – 3 ≠ 0
⇔ m ≠ 3.
Vậy m ≠ 3 thì hàm số [1] là hàm số bậc nhất.
b] y = f[x] là hàm đồng biến
⇔ m – 3 > 0
⇔ m > 3.
Vậy với m > 3 thì hàm số y = f[x] là hàm đồng biến.
c] Ta có : f[-2] = 0
⇔ [m – 3].[-2] + m2 – 4m = 0
⇔ m2 – 5m + 6 = 0
⇔ [m – 2][m – 3] = 0
Vậy m = 2.
d] Với m = 2, hàm số trở thành y = f[x] = -x – 4.
y = 2 ⇔ - x – 4 = 2 ⇔ x = -6.
Vậy x = -6
Bài 1: Hàm số nào dưới đây là hàm số bậc nhất?
Đáp án: B
Bài 2: Với giá trị nào của m dưới đây làm cho hàm số y = [m2 – 1]x + 3 là hàm số bậc nhất?
A. m = 1 B. m = -1 C. m = 0 D. mọi m.
Đáp án: C
Bài 3: Hàm số nào dưới đây là hàm số đồng biến ?
A. y = [√5 - √3]x +1 B. y = -√3x -3
C. y = -√3x D. y = -3x+1 .
Đáp án: A
Bài 4: Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên tập số thực với mọi m?
A. y = m2x + 2 B. y = mx - 2
C. y = [1-m2]x + m D. y = -m2x + 2m + 1
Đáp án: D
Bài 5: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = [9-m2]x nghịch biến trên R.
A. 3 B. 5 C. 7 D. Vô số.
Đáp án: D
Bài 6: Tìm điều kiện của m để các hàm số sau là hàm số bậc nhất:
a] y = [m2-m-2]x + m
b] y = √[m2-m]x -x +1 .
Hướng dẫn giải:
a] y = [m2-m-2]x + m là hàm số bậc nhất
⇔ m2 – m – 2 ≠ 0
⇔ [m+1][m-2] ≠ 0
Vậy với m ≠ -1 và m ≠ 2 thì hàm số trên là hàm số bậc nhất.
b] y = √[m2-m]x -x +1 = x + √[m2-m] +1 là hàm số bậc nhất với mọi m.
Bài 7: Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số dưới đây:
a] y = x+3
b] y = [1-√2]x+ √5 .
Hướng dẫn giải:
a] y = x+3 có hệ số a = 1 > 0 nên đồng biến trên R.
b] y = [1-√2]x+ √5 có hệ số a = 1-√2 < 0 nên nghịch biến trên R.
Bài 8: Cho hàm số bậc nhất y = f[x] = ax + b.
Tìm a, b biết f[0] = 1; f[-1] = 0.
Hướng dẫn giải:
Ta có: f[0] = 1 ⇒ a. 0 + b = 1 hay b = 1
f[-1] = 0 ⇒ a.[-1] + b = 0 hay –a + 1 = 0 ⇒ a = 1.
Vậy a = 1; b = 1.
Bài 9: Tìm các giá trị của m, n để hàm số: y = [m2 – 5m + 6]x2 + [m2 + mn – 6n]x + 3 là hàm số bậc nhất.
Hướng dẫn giải:
Hàm số y = [m2 – 5m + 6]x2 + [m2 + mn – 6n]x + 3 là hàm số bậc nhất
Từ [1] ⇔ [m – 2][m – 3] = 0 ⇔
+ Với m = 2, thay vào [2] ta có: 22 + 2n - 6n ≠ 0 hay n ≠ 1 .
+ Với m = 3, thay vào [2] ta có: 32 + 3n – 6n ≠ 0 hay n ≠ 3.
Vậy với
Bài 10: Chứng minh rằng hàm số y = [-m2 + m - 1]x + m luôn là hàm số bậc nhất. Hàm số này đồng biến hay nghịch biến?
Hướng dẫn giải:
Ta có: -m2 + m – 1 = -[m2 – m + 1/4] - 3/4 = -[m-1/2]2 - 3/4 .
Với mọi m ta có : [m-1/2]2 ≥0 ⇒ -[m-1/2]2 ≤ 0 ⇒ -[m-1/2]2 - 3 < 0
Do đó hàm số y = [-m2 + m - 1]x + m luôn là hàm số bậc nhất và hệ số a = -m2 + m - 1 < 0 với mọi m nên luôn nghịch biến trên R.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 có đáp án và lời giải chi tiết khác:
Mục lục các Chuyên đề Toán lớp 9:
Giới thiệu kênh Youtube Tôi
1. Định lí về tính đồng biến nghịch biến
Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm trên khoảng [a;b]. Khi đó hàm số sẽ đồng biến và nghịch biến với:
- Hàm số y = f[x] đồng biến trên khoảng [a;b] khi và chỉ khi f’[x] ≥ 0 với mọi giá trị x thuộc khoảng [a;b]. Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.
- Hàm số y = f[x] nghịch biến trên khoảng [a;b] khi và chỉ khi f’[x] ≤ 0 với mọi giá trị x thuộc khoảng [a;b]. Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.
Một số trường hợp cụ thể chúng ta cần phải nhớ về điều kiện đơn điệu trên R:
Đối với hàm số đa thức bậc 1:
– Hàm số y = ax + b [a ≠ 0] đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi a > 0
– Hàm số y = ax + b [a ≠ 0] nghịch biến trên ℝ khi và chỉ khi a < 0
Đối với hàm số đa thức bậc 3:
Đây là dạng bài toán thường gặp đối với hàm số đa thức bậc 3, hơn 90% các bài viết đều áp dụng cho hàm số bậc 3. Nên ta sẽ áp dụng như sau:
Xét hàm số y = ax3+ bx2+ cx + d⇒ y’ = 3ax2+ 2bx + c
– TH1: a = 0 [nếu có tham số]
– TH2: a ≠ 0
Hàm số đa thức bậc chẵn không thể đơn điệu trên R được.
Ví dụ 1:
Cho hàm số y = x³ + 2[m-1]x² + 3x -2. Tìm m để hàm đã cho đồng biến trên R.
Lời giải:
Để y = x³ + 2[m-1]x² + 3x - 2 đồng biến trên R thì [m-1]² - 3.3 ≤ 0⇔ -3 ≤ m - 1 ≤3 ⇔ -2 ≤ m ≤ 4.
Các bạn cầnlưu ývới hàm đa thức bậc 3 có chứa tham số ở hệ số bậc cao nhất thì chúng ta cần xét trường hợphàm số suy biến.
Ví dụ 2:
Cho hàm số y = mx³ -mx² - [m + 4 ]x + 2. Xác định m để hàm số đã cho nghịch biến trên R.
Lời giải:
Ta xét trường hợp hàm số suy biến. Khi m = 0, hàm số trở thành y = -x + 2. Đây là hàm bậc nhất nghịch biến trên R. Vậy m = 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với m ≠ 0, hàm số là hàm đa thức bậc 3. Do đó hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi m < 0 đồng thời m² + 3m[m+4] ≤ 0. Giải các điều kiện ra ta được -3 ≤ m