Hàm số y có bao nhiêu điểm cực trị

Cách tìm cực trị của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối cực hay, có lời giải

Cách tìm cực trị của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối cực hay, có lời giải

Bài giảng: Các dạng bài tìm cực trị của hàm số – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

a. Hàm số y = |f(x)|

Để tìm cực trị của hàm số y = |f(x)| ta sẽ lập bảng bảng thiên hoặc vẽ đồ thị hàm số y = |f(x)| từ đồ thị hay bảng biến thiên của hàm y = f(x) .

Chú ý: – Đồ thị hàm số y = |f(x)| gồm 2 phần:

+ Phần đồ thị y = f(x) nằm trên Ox

+ Phần đồ thị lấy đối xứng qua Ox của đồ thị y = f(x) nằm dưới Ox

– Số điểm cực trị của hàm số y = |f(x)| bằng tổng số điểm cực trị của hàm số y = f(x) và số nghiệm bội lẻ của phương trình f(x) = 0

b. Hàm số y = f(|x|)

Để tìm cực trị của hàm số y = f(|x|) ta sẽ lập bảng bảng thiên hoặc vẽ đồ thị hàm số y = f(|x|) từ đồ thị hay bảng biến thiên của hàm y = f(x) .

Chú ý: – Đồ thị hàm số y = f(|x|) gồm 2 phần:

+ Phần đồ thị y = f(x) nằm bên phải trục Oy (C1)

+ Phần lấy đối xứng (C1) qua Oy

– Số điểm cực trị của hàm số y = f(|x|) bằng 2 lần số điểm cực trị dương của hàm số y = f(x) và cộng thêm 1.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) như hình vẽ bên. Hàm số y = f(|x|) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 3.

B. 4.

C. 5.

D. 6.

Lời giải

Chọn C

Đồ thị(C’) của hàm số y = f(|x|) được vẽ như sau.

+ Giữ nguyên phần đồ thị của(C) nằm bên phải trục tung ta được (C1)

+ Lấy đối xứng qua trục tung phần đồ thị của (C1) ta được(C2)

+ Khi đó (C’) = (C1)∪(C2) có đồ thị như hình vẽ dưới

Từ đồ thị (C’) ta thấy hàm số y = f(|x|) có 5 điểm cực trị.

Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau. Đồ thị hàm số y = |f(x)| có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 5.

B. 6.

C. 3.

D. 7.

Lời giải

Chọn D

Đồ thị hàm y = |f(x)| gồm 2 phần.

+ Phần đồ thị y = f(x) nằm trên Ox

+ Phần đồ thị lấy đối xứng qua Ox của đồ thị y = f(x) nằm dưới Ox

Đồ thị hàm số y = f(x) giao với trục Ox tại các điểm có hoành độ x1; x2; x3; x4

Từ đó ta có bảng biến thiên của y = |f(x)|

Từ bảng biến thiên này hàm số y = |f(x)| có 7 điểm cực trị.

Ví dụ 3: Cho hàm số y = |(x – 1)(x – 2)2|. Số điểm cực trị của hàm số là:

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải

Chọn C

Mặt khác phương trình f(x) = (x – 1)(x – 2)2 = 0 có 1 nghiệm đơn x = 1

Ta có số điểm cực trị của hàm số y = |(x – 1)(x – 2)2| là tổng số điểm cực trị của hàm số f(x) = (x – 1)(x – 2)2 và số nghiệm bội lẻ của phương trình f(x) = 0.

Vậy số điểm cực trị của hàm số y = |(x – 1)(x – 2)2| là 3

C. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Cho hàm số

, số điểm cực trị của hàm số y = f(|x|) là

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Bài 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x(x + 2)4 (x2+8). Số điểm cực trị của hàm số y = f(|x|) là:

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Bài 3: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau.

Hàm số y = f(|x-3|) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 5

B. 6

C. 3

D. 1

Bài 4: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau.

Hàm số y = f(|x|) có các điểm cực tiểu là:

A. x = 3.

B. x = 0.

C. x = ±4.

D. x = 2.

Bài 5: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x3 – 2×2)(x3 – 2x). Hàm số y = |f(x)| có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?

A. 9.

B. 8.

C. 7.

D. 6.

Bài 6: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên R, có bảng xét dấu của f'(x) như sau

Số điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f(|x – 2|) + 2020 là:

A. 5.

B. 4.

C. 0.

D. 3.

Bài 7: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số như hình vẽ. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị m nguyên để hàm số y = |f(x) + 2m – 1| có 5 điểm cực trị.

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Bài 8: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x3 – 2×2)(x3 – 2x), với mọi x ∈ R. Hàm số y = |f(1 – 2018x)| có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị.

A. 9.

B. 2022.

C. 11.

D. 2018.

Bài 9: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên R, có f'(x) = x2 – 1. Hàm số f(|x2 – 2|) có bao nhiêu điểm cực tiểu ?

A. 2.

B. 5.

C. 7.

B. 4.

Bài 10: Tổng các giá trị nguyên của tham số m để hàm số

có 5 điểm cực trị là

A. 2016.

B. 1952.

C. -2016.

D. -496.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Cách tìm cực trị của hàm bậc ba cực hay, có lời giải
• Cách tìm cực trị của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối cực hay, có lời giải
• Cách tìm cực trị của hàm chứa căn thức cực hay, có lời giải
• Cách tìm cực trị của hàm hợp cực hay, có lời giải
• Tìm cực trị của hàm số dựa vào bảng biến thiên cực hay, có lời giải
• Tìm cực trị của hàm số dựa vào đồ thị cực hay, có lời giải

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại duongleteach.com

• Hơn 75.000 câu trắc nghiệm Toán có đáp án
• Hơn 50.000 câu trắc nghiệm Hóa có đáp án chi tiết
• Gần 40.000 câu trắc nghiệm Vật lý có đáp án
• Hơn 50.000 câu trắc nghiệm Tiếng Anh có đáp án
• Kho trắc nghiệm các môn khác

Ta có: $y=\left| f\left( x \right) \right|\Rightarrow y'=\frac{f'\left( x \right).f\left( x \right)}{\left| f\left( x \right) \right|}$ do đó

Số điểm cực trị của hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ là số nghiệm bội lẻ của phương trình $f'\left( x \right).f\left( x \right)=0.$

Như vậy: Nếu gọi m là số điểm cực trị của hàm số $y=f\left( x \right)$và n là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$và trục hoành thì $m+n$ là số điểm cực trị của hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ (chú ý ta cần bỏ đi các nghiệm bội chẵn).

Bài tập cực đại cực tiểu hàm trị tuyệt đối loại 1 – có đáp án

Bài tập 1: [Đề thi THPT QG năm 2017] Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau. Đồ thị của hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ có bao nhiêu điểm cực trị? A. 5. B. 3. C. 4. D. 2.

Lời giải chi tiết

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

Đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục hoành $y=0$ tại 1 điểm nên $m=1.$

Hàm số $y=f\left( x \right)$ có 2 điểm cực trị nên $n=2\Rightarrow $ Hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ có 3 điểm cực trị. Chọn B.

Bài tập 2: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới: Số điểm cực trị của hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$là: A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.

Lời giải chi tiết

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số $y=f\left( x \right)$có 3 điểm cực trị suy ra $m=3.$

Phương trình $f\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm (tuy nhiên $x=-1$ là nghiệm kép) suy ra $n=2.$

Do đó hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ có $m+n=5$ điểm cực trị. Chọn C.

Bài tập 3: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Số điểm cực trị của hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$là: A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.

Lời giải chi tiết

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số $y=f\left( x \right)$có 3 điểm cực trị suy ra $m=3.$

Đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt (tuy nhiên $x=-1$ là nghiệm kép) nên $n=2.$

Do đó hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ có 5 điểm cực trị. Chọn C.

Bài tập 4: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Số điểm cực trị của hàm số $y=\left| f\left( x \right)+2 \right|$là: A. 4. B. 6. C. 3. D. 5.

Lời giải chi tiết

Đặt $g\left( x \right)=f\left( x \right)+2\Rightarrow g'\left( x \right)=f'\left( x \right)$

Phương trình $g'\left( x \right)=f'\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm phân biệt nên $m=3.$

Phương trình $g\left( x \right)=0\Leftrightarrow f\left( x \right)=-2$ có 3 nghiệm trong đó có 1 nghiệm kép $n=2.$

Do đó hàm số $y=\left| f\left( x \right)+2 \right|$có 5 điểm cực trị. Chọn D.

Bài tập 5: Số điểm cực trị của hàm số $y=\left| {{\left( x-1 \right)}^{3}}\left( x-3 \right)\left( x+2 \right) \right|$ là: A. 4. B. 5. C. 6. D. 7.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y=f\left( x \right)$ thì $y'=\frac{f'\left( x \right)f\left( x \right)}{\left| f\left( x \right) \right|}$

Xét $f\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{3}}\left( x-3 \right)\left( x+2 \right)$

Ta có: $f\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm bội lẻ $x=1,x=3,x=-2.$

Lại có: $f\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{3}}\left( {{x}^{2}}-x-6 \right)\Rightarrow f'\left( x \right)=3{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-x-6 \right)+{{\left( x-1 \right)}^{3}}\left( 2x-1 \right)$

$={{\left( x-1 \right)}^{2}}\left[ 3{{x}^{2}}-3x-18+\left( x-1 \right)\left( 2x-1 \right) \right]={{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( 5{{x}^{2}}-6x-17 \right)=0\Rightarrow f'\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm bội lẻ. Do đó hàm số đã cho có 5 điểm cực trị. Chọn B.

Bài tập 6: Số điểm cực trị của hàm số $y=\left| {{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-2x \right|$ là: A. 4. B. 5. C. 6. D. 7.

Lời giải chi tiết

$f\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-2x=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}\left( x+2 \right)-x\left( x+2 \right)=0\Leftrightarrow x\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( x+2 \right)=0$có 4 nghiệm bội lẻ.

Phương trình $f'\left( x \right)=4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-2x-2=0\Leftrightarrow 2\left( 2{{x}^{2}}-1 \right)\left( x+1 \right)=0$ có 3 nghiệm bội lẻ.

Do đó hàm số đã cho có $4+3=7$ điểm cực trị. Chọn D.

Bài tập 7: Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số$y=\left| {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+m \right|$ có 7 điểm cực trị là: A. 0. B. 9. C. 8. D. vô số.

Lời giải chi tiết

Xét $f\left( x \right)={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+m$

Phương trình $f'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+8x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0  \\   x=1  \\   x=2  \\\end{matrix} \right.$ có 3 nghiệm bội lẻ.

Để hàm số $y=\left| {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+m \right|$ có 7 điểm cực trị thì phương trình

$f\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}=-m(*)$ phải có 4 nghiệm phân biệt.

Lập BBT cho hàm số $g\left( x \right)={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4x$ ta được:

Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt khi $0<-m<1.$

Vậy không có giá trị nguyên của m nào thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.

Bài tập 8: Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số$y=\left| {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+m \right|$ có 7 điểm cực trị là: A. 129. B. 2. C. 127. D. 3.

Lời giải chi tiết

Phương trình $f'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}-16x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{ }  \\   x=-1  \\   x=4\text{ }  \\\end{matrix} \right.$ có 3 nghiệm bội lẻ.

Để hàm số $y=\left| {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+m \right|$ có 7 điểm cực trị thì phương trình

$f\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}=-m(*)$ có 4 nghiệm phân biệt. Lập BBT cho hàm số $g\left( x \right)={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}$ ta được:

Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt khi $-3<-m<0.$

Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.

Bài tập 9: [Đề thi tham khảo Bộ GD{}ĐT năm 2018] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số$y=\left| 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m \right|$ có 7 điểm cực trị? A. 3. B. 5. C. 6. D. 4.

Lời giải chi tiết

Đặt $f\left( x \right)=3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m\xrightarrow{{}}f'\left( x \right)=12{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}-24x;\forall x\in \mathbb{R}.$

Phương trình $f'\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm phân biệt.

Để hàm số đã cho có 7 điểm cực trị $\Leftrightarrow f\left( x \right)=0\Leftrightarrow g\left( x \right)=3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}=m$ có 4 nghiệm phân biệt.

Mà $f'\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm phân biệt $\Rightarrow f\left( x \right)=-m$ có 4 nghiệm phân biệt.

Dựa vào BBT hàm số $f\left( x \right)$, để (*) có 4 nghiệm phân biệt$\Leftrightarrow -5<-m<0\Leftrightarrow m\in \left( 0;5 \right)$.

Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$ suy ra có tất cả 4 giá trị nguyên cần tìm. Chọn D.

Bài tập 10: Cho hàm số $f\left( x \right)=\left| 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-12x+m+2 \right|$. Số giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số đã cho có 5 điểm cực trị là: A. 26. B. 25. C. 8. D. 9.

Lời giải chi tiết

Dễ thấy hàm số $g\left( x \right)=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-12x+m+2$ có $y'=6{{x}^{2}}-6x-12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=-1  \\   x=2\text{ }  \\\end{matrix} \right.$

Suy ra hàm số 

 có 2 điểm cực trị.

Để hàm số $f\left( x \right)=\left| 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-12x+m+2 \right|$ có 5 điểm cực trị thì phương trình

$2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-12x+m+2\Leftrightarrow h\left( x \right)=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-12x+2=-m$ có 3 nghiệm phân biệt

Dễ thấy $\left\{ \begin{matrix}   h\left( -1 \right)=9\text{ }  \\   h\left( 2 \right)=-18  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow h\left( x \right)=-m$ có 3 nghiệm phân biệt khi $-18<-mm>-9$

Vậy có 8 giá trị nguyên cần tìm. Chọn C.

Bài tập 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $f\left( x \right)=\left| 2{{x}^{4}}-4\left( m+8 \right){{x}^{2}}+m-1 \right|$ có 5 điểm cực trị? A. 9. B. 10. C. 8. D. vô số.

Lời giải chi tiết

Xét hàm số $f\left( x \right)=\left| 2{{x}^{4}}-4\left( m+8 \right){{x}^{2}}+m-1 \right|$

TH1: Hàm số $y=f\left( x \right)$ có một điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại nhiều nhất 2 điểm nên hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ không thể có 5 điểm cực trị.

TH2: Hàm số $y=f\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị khi $ab<0\Leftrightarrow 2.\left[ -4\left( m+8 \right) \right]-8.$

Để hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ có 5 điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt. Vì hàm số $y=f\left( x \right)$ có $a=2>0$ nên có BTT như hình vẽ.

Đồ thị hàm số cắt trục hoành (đường thẳng $y=0$) tại 2 điểm phân biệt khi $0\ge m-1\Leftrightarrow m\le 1.$

(Trong trường dấu bằng xảy ra $m=1\Rightarrow $ phương trình có 2 nghiệm đơn và một nghiệm kép $x=0$ nên chỉ có điểm cực trị).

Vậy $-8Chọn A.

Bài tập 12: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -10;10 \right]$ để hàm số$y=\left| {{x}^{4}}-2\left( m+4 \right){{x}^{2}}+9 \right|$ có 7 điểm cực trị? A. 9. B. 11. C. 10. D. 4

Lời giải chi tiết

Xét hàm số $f\left( x \right)=2{{x}^{4}}-2\left( m+4 \right){{x}^{2}}+4$

TH1: Hàm số $y=f\left( x \right)$ có một điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại nhiều nhất 2 điểm nên hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ không thể có 7 điểm cực trị.

TH2: Hàm số $y=f\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị khi $ab<0\Leftrightarrow 1.\left[ -2\left( m+4 \right) \right]-4.$

Để hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ có 7 điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Ta có: $f'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-4\left( m+4 \right)x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{                }  \\   {{x}^{2}}=m+4=x_{0}^{2}  \\\end{matrix} \right..$

Hàm số có BTT như hình vẽ:

Đồ thị hàm số cắt trục hoành (đường thẳng $y=0$) tại 4 điểm phân biệt khi

$\begin{array}  {} f\left( \pm {{x}_{0}} \right)=f\left( \sqrt{m+4} \right)<0 \\  {} \Leftrightarrow {{\left( m+4 \right)}^{2}}-2{{\left( m+4 \right)}^{2}}+99\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m>-1  \\   m-1.$ Kết hợp $\left\{ \begin{matrix}   m\in \mathbb{Z}\text{          }  \\   m\in \left[ -10;10 \right]  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow m=\left\{ 0;1;...10 \right\}\Rightarrow $ có 11 giá trị của m. Chọn B.

Bài tập 13: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -20;20 \right]$ để hàm số$y=\left| {{x}^{4}}-2\left( m+1 \right){{x}^{2}}+8 \right|$ có 7 điểm cực trị? A. 9. B. 11. C. 12. D. 7.

Lời giải chi tiết

Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{4}}-2\left( m+1 \right){{x}^{2}}+8$

TH1: Hàm số $y=f\left( x \right)$ có một điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại nhiều nhất 2 điểm nên hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ không thể có 7 điểm cực trị.

TH2: Hàm số $y=f\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị khi $ab<0\Leftrightarrow 1.\left[ -2\left( m+1 \right) \right]-1.$

Để hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ có 7 điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Ta có: $f'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-4\left( m+1 \right)x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{                }  \\   {{x}^{2}}=m+1=x_{0}^{2}  \\\end{matrix} \right..$

Hàm số có BTT như hình vẽ:

Đồ thị hàm số cắt trục hoành (đường thẳng $y=0$) tại 4 điểm phân biệt khi

$\begin{array}  {} f\left( \pm {{x}_{0}} \right)=f\left( \sqrt{m+1} \right)<0 \\  {} \Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}-2{{\left( m+1 \right)}^{2}}+88\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m>-1+2\sqrt{2}  \\   m-1-2\sqrt{2}.$ Kết hợp $\left\{ \begin{matrix}   m\in \mathbb{Z}\text{          }  \\   m\in \left[ -20;20 \right]  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow m=\left\{ 2;3;...10 \right\}\Rightarrow $  có 9 giá trị của m. Chọn A.

Phương pháp giải: Loại 2: Cực trị hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right).$

Ta có: $y=f\left( \left| x \right| \right)\Rightarrow y'=\frac{x}{\left| x \right|}.f'\left( \left| x \right| \right)$ từ đó ta có nhận xét sau:

- Hàm số đạt cực trị tại điểm $x=0.$

- Số điểm cực trị dương của hàm số  $y=f\left( x \right)$là m thì số điểm cực trị của hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$ là $2m+1$.

Bài tập 1: Cho hàm số $f\left( x \right)=6{{x}^{5}}-15{{x}^{4}}-10{{x}^{3}}+30{{x}^{2}}+1,$ số điểm cực trị của hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$ là: A. 4. B. 5. C. 6. D. 7.

Lời giải chi tiết

Ta có: $f'\left( x \right)=30{{x}^{4}}-60{{x}^{3}}-30{{x}^{2}}+60x=0$

$\Leftrightarrow x\left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x-2 \right)=x\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)$

Lại có: $y=f\left( \left| x \right| \right)\Rightarrow y'=\frac{x}{\left| x \right|}.\left| x \right|\left( \left| x \right|-1 \right)\left( \left| x \right|+1 \right)\left( \left| x \right|-2 \right)$đổi dấu qua 5 điểm $x=0;x=\pm 1;x=\pm 2$ nên hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$có 5 điểm cực trị. Chọn B.

Bài tập 2: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Số điểm cực trị của hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$là: A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.

Lời giải chi tiết

Hàm số $y=f\left( x \right)$ có 2 điểm cực trị có hoành độ dương là $\left( 2;-1 \right)$ và $\left( 5;0 \right)$

Do đó hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$ có $2.2+1=5$ điểm cực trị. Chọn D.

Bài tập 3: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới Số điểm cực trị của hàm số $y=f\left( \left| x \right|+1 \right)$là A. 4. B. 6. C. 5. D. 3.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=\left( \left| x \right|+1 \right)'.f'\left( \left| x \right|+1 \right)=\frac{x}{\left| x \right|}.f'\left( \left| x \right|+1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{              }  \\   f'\left( \left| x \right|+1 \right)=0  \\\end{matrix} \right.(*)$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=-1  \\   x=0\text{   }  \\   x=2\text{   }  \\\end{matrix} \right.$

Suy ra $f'\left( \left| x \right|+1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   \left| x \right|+1=-1  \\   \left| x \right|+1=0\text{  }  \\   \left| x \right|+1=2\text{  }  \\\end{matrix} \right.$hệ có 2 nghiệm.

Do đó (*) có 3 nghiệm phân biệt nên hàm số có 3 điểm cực trị. Chọn D.

Ví dụ 4: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m>-20$ để hàm số$y=f\left( \left| x \right|+m \right)$ có 5 điểm cực trị A. 15. B. 19. C. 16. D. 18.

Lời giải

Ta có: $y'=\left( \left| x \right|+m \right)'.f'\left( \left| x \right|+m \right)=\frac{x}{\left| x \right|}.f'\left( \left| x \right|+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{              }  \\   f'\left( \left| x \right|+m \right)=0  \\\end{matrix} \right.$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=-3  \\   x=-1  \\\end{matrix} \right.$

Do đó $f'\left( \left| x \right|+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   \left| x \right|+m=-3  \\   \left| x \right|+m=-1  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   \left| x \right|=-3-m  \\   \left| x \right|=-1-m  \\\end{matrix} \right.$(*)

Hàm số có 5 điểm cực trị khi (*) có 4 nghiệm phân biệt khác 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   -3-m>0  \\   -1-m>0  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m-20  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow $  có 18 giá trị nguyên của m. Chọn D.

Ví dụ 5: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -10;10 \right]$ để hàm số$y=f\left( \left| x \right|+m \right)$ có 7 điểm cực trị A. 8. B. 9. C. 12. D. 13.

Lời giải

Ta có: $y'=\left( \left| x \right|+m \right)'.f'\left( \left| x \right|+m \right)=\frac{x}{\left| x \right|}.f'\left( \left| x \right|+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{              }  \\   f'\left( \left| x \right|+m \right)=0  \\\end{matrix} \right.$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=-2  \\   \begin{array}  {} x=-2 \\  {} x=5\text{  } \\ \end{array}  \\\end{matrix} \right.$

Do đó $f'\left( \left| x \right|+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   \left| x \right|+m=-2  \\   \begin{array}  {} \left| x \right|+m=2\text{  } \\  {} \left| x \right|+m=5 \\ \end{array}  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   \left| x \right|=-2-m  \\   \begin{array}  {} \left| x \right|=2-m\text{  } \\  {} \left| x \right|=5-m \\ \end{array}  \\\end{matrix} \right.(*)$

Hàm số có 7 điểm cực trị khi (*) có 6 nghiệm phân biệt khác 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   -2-m>0  \\   \begin{array}  {} 2-m>0\text{  } \\  {} 5-m>0 \\ \end{array}  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m<-2.$

Kết hợp $\left\{ \begin{matrix}   m\in \mathbb{Z}\text{          }  \\   m\in \left[ -10;10 \right]  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow $  có 8 giá trị nguyên của m. Chọn A.

Ví dụ 6: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3\left( m-1 \right){{x}^{2}}+6mx+2.$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[ -100;100 \right]$ để hàm số$f\left( \left| x \right| \right)$ có 5 điểm cực trị? A. 100. B. 99. C. 97. D. 96.

Lời giải

Để hàm số $f\left( \left| x \right| \right)$ có 5 điểm cực trị thì hàm số $y=f\left( x \right)$phải có 2 điểm cực trị có hoành độ dương.

Ta có: $f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6\left( m-1 \right)x+6m=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+2m\text{ }(*)$

Giả thiết bài toán $\Leftrightarrow \left( * \right)$ có 2 nghiệm dương phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   \Delta '={{\left( m-1 \right)}^{2}}-2m>0  \\   S=2\left( m-1 \right)>0\text{         }  \\   P=2m>0\text{                 }  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m>2+\sqrt{3}.$

Kết hợp $\left\{ \begin{matrix}   m\in \mathbb{Z}\text{              }  \\   m\in \left[ -100;100 \right]  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow $  có 97 giá trị nguyên của m. Chọn C.

Ví dụ 7: Cho hàm số $y=f\left( x \right)=2{{x}^{3}}-3\left( m+1 \right){{x}^{2}}+6\left( {{m}^{2}}-9 \right)x+4.$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[ -100;100 \right]$ để hàm số$f\left( \left| x \right| \right)$ có đúng 3 điểm cực trị? A. 6. B. 7. C. 8. D. 9.

Lời giải

Để hàm số $f\left( \left| x \right| \right)$ có đúng 3 điểm cực trị thì hàm số $y=f\left( x \right)$phải có đúng 1 điểm cực trị có hoành độ dương.

Ta có: $f'\left( x \right)=6{{x}^{2}}-6\left( m+1 \right)x+6\left( {{m}^{2}}-9 \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}-9=0\text{ }(*)$

Giả thiết bài toán thỏa mãn khi (*) có 2 nghiệm trái dấu hoặc (*) có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương. TH1: (*) có 2 nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow {{m}^{2}}-9<0\Leftrightarrow -3

TH2: (*) có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   {{m}^{2}}-9=0  \\   m+1>0\text{  }  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m=3.$

Kết hợp hai trường hợp này và điều kiện $\left\{ \begin{matrix}   m\in \mathbb{Z}\text{              }  \\   m\in \left[ -100;100 \right]  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow $  có 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.

Ví dụ 8: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định và có đạo hàm $f'\left( x \right)={{x}^{3}}-\left( m+3 \right){{x}^{2}}+2x+4m$ trên$\mathbb{R}$. Số giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $\left[ -100;100 \right]$ để hàm số$f\left( \left| x \right| \right)$ có 7 điểm cực trị là: A. 100. B. 101. C. 198. D. 197.

Lời giải

Để hàm số $f\left( \left| x \right| \right)$ có 7 điểm cực trị thì hàm số $y=f\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị có hoành độ dương.

$\Leftrightarrow f'\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm dương phân biệt.

Ta có: $f'\left( x \right)={{x}^{3}}-\left( m+3 \right){{x}^{2}}+2x+4m=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x+m\left( 4-{{x}^{2}} \right)=0$

$\Leftrightarrow x\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)-m\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=2\text{                                       }  \\   g\left( x \right)={{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x-2m=0  \\\end{matrix} \right.$

Giả thiết bài toán thỏa mãn $\Leftrightarrow g\left( x \right)$  có 2 nghiệm dương phân biệt khác 2

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   \Delta >0\text{                   }  \\   S=m+1>0\text{         }  \\   \begin{array}  {} P=2m>0 \\  {} g\left( 2 \right)\ne 0\text{               } \\ \end{array}  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   {{m}^{2}}+10m+1>0  \\   m>0\text{                 }  \\   2\ne 0\text{                 }  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m>0.$

Kết hợp $\left\{ \begin{matrix}   m\in \mathbb{Z}\text{          }  \\   m\in \left[ -100;100 \right]  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow $  có 100 giá trị nguyên của m. Chọn A.

Ví dụ 9: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên$\mathbb{R}$và có đồ thị hình vẽ dưới. Số điểm cực trị của hàm số  $f\left( \left| x \right|+1 \right)$ là: A. 4. B. 6. C. 5. D. 3.

Lời giải

Ta có: $y'=\left( \left| x \right|+1 \right)'.f'\left( \left| x \right|+1 \right)=\frac{x}{\left| x \right|}.f'\left( \left| x \right|+1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{              }  \\   f'\left( \left| x \right|+1 \right)=0  \\\end{matrix} \right.(*)$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x={{x}_{1}}\in \left( -1;0 \right)  \\   \begin{array}  {} x={{x}_{2}}\in \left( 0;1 \right)\text{  } \\  {} x={{x}_{3}}\in \left( 1;2 \right) \\  {} x=2\text{  } \\ \end{array}  \\\end{matrix} \right.$

Suy ra $f'\left( \left| x \right|+1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   \left| x \right|+1={{x}_{1}}\in \left( -1;0 \right)  \\   \begin{array}  {} \left| x \right|+1={{x}_{2}}\in \left( 0;1 \right)\text{  } \\  {} \left| x \right|+1={{x}_{3}}\in \left( 1;2 \right) \\  {} \left| x \right|+1=2 \\ \end{array}  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   \left| x \right|+1={{x}_{3}}\in \left( 1;2 \right)  \\   \left| x \right|+1=2\text{            }  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow $hệ có 4 nghiệm.

Do đó (*) có 5 nghiệm phân biệt nên hàm số có 5 điểm cực trị. Chọn C.