Nếu Phương pháp chứng minh mặt phẳng song song với mặt phẳng

Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song:♦Phương pháp 1:Muốn chứng minh hai mặt phẳng song song, ta chứng minh mặt phẳngnày chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia.Nếu a // [Q]b// [Q]a,b [P]a cắt bThì [P] // [Q]Ví dụ: Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành ABCD,AC cắt BD tạiO.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SC,CD.Chứng minh [MNO] // [SAD].Chứng minh:Ta có MN là đường trung bình của tam giác SCDNên MN // SDMà SD  [SAD]Và MN  [SAD]Vậy MN // [SAD]Ta có OM là đường trung bình của tam giác SACNên OM // SAMà SA  [SAD]Và OM  [SAD]Vậy OM // [SAD]Ta cóMN //[SAD]OM //[SAD] nên [MNO] // [SAD]MN, OM  [OMN] MN  OM  M♦Phương pháp 2:Nếu hai mặt phẳng [P] và [Q] không có điểm chung cùng vuông góc mộtđường thẳng a thì chúng song song với nhau.♦Phương pháp 3:Nếu hai mặt phẳng [P] và [Q] không có điểm chung cùng vuông góc mộtmặt phẳng[R] thì chúng song song với nhau.♦Phương pháp 4:Nếu hai mặt phẳng [P] và [Q] không có điểm chung cùng song song mộtmặt phẳng[R] thì chúng song song với nhau.PQR

■ Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung.

■ Định lý: Nếu mặt phẳng $\left[ \alpha  \right]$ chứa hai đường thẳng a và b cắt nhau và cùng song song với $\left[ \beta  \right]$ thì $\left[ \alpha  \right]$song song với $\left[ \beta  \right]$.

■ Tính chất 1: Qua một điểm A nằm ngoài mặt phẳng $\left[ \beta  \right]$ cho trước, có duy nhất một mặt phẳng $\left[ \alpha  \right]$ song song với $\left[ \beta  \right]$.

$\Rightarrow $ Hệ quả: Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng $\left[ \alpha  \right]$. Khi đó các đường thẳng đi qua A và song song với $\left[ \alpha  \right]$ cùng nằm trên mặt phẳng $\left[ \beta  \right]$ đi qua A và song song với $\left[ \alpha  \right]$.

■ Tính chất 2: Cho hai mặt phắng $\left[ \alpha  \right]$ và $\left[ \beta  \right]$ song song với nhau. Khi đó một mặt phẳng nếu cắt $\left[ \alpha  \right]$ và $\left[ \beta  \right]$ lần lượt theo các giao tuyến a, b thì a song song với b.

Phương pháp giải toán:

Để chứng minh hai mặt phẳng [P] và [Q] song song với nhau ta chứng minh hai đường thẳng a và b cắt nhau nằm trong mặt phẳng [P] song song với lần lượt hai đường thẳng ${a}'$ và ${b}'$ cắt nhau nằm trong mặt phẳng [Q].

Bài tập chứng minh hai mặt phẳng song song có đáp án chi tiết

Lời giải chi tiết

a] Ta có MO là đường trung bình trong tam giác $SAC\Rightarrow MO//AC.$

Mặt khác N và O lần lượt là trung điểm của SD và BD nên NO là đường trung bình trong $\Delta SBD\Rightarrow NO//SB.$

Ta có: $\left\{ \begin{array}  {} MO//SC \\  {} NO//SB \\  {} MO\cap NO=O \\  {} SC\cap SB=S\text{ } \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left[ OMN \right]//\left[ SBC \right].$

b] Do P và O lần lượt là trung điểm của AB và AC nên $OP//AD//BC\Rightarrow OP//\left[ SBC \right].$

Lại có $ON//SB\Rightarrow OQ//\left[ SBC \right].$

Do vậy $\left[ OPQ \right]//\left[ SBC \right]\Rightarrow PQ//\left[ SBC \right].$

Lời giải chi tiết

a] Ta có N và O lần lượt là trung điểm của CD và AC nên NO là đường trung bình trong $\Delta BCD\Rightarrow NO//BC$.

Tương tự MO là đường trung bình trong tam giác SAC nên $MO//SC$.

Lại có: $\left\{ \begin{array}  {} NO//BC \\  {} MO//SC \\  {} OM\cap ON=O \\  {} BC\cap SC=S\text{ } \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left[ OMN \right]//\left[ SBC \right]$

b] Ta có P và Q lần lượt là trung điểm của BC và AD thì PQ là đường thẳng cách đều AB và CD do vậy điểm $J\in PQ$. Do IQ là đường trung bình của $\Delta SAD$ nên $IQ//SA$.

Ta có: $PQ//\left[ SAB \right];IQ//\left[ SAB \right]\Rightarrow \left[ IPQ \right]//\left[ SAB \right]$

Mặt khác $IJ\subset \left[ IPQ \right]\Rightarrow IJ//\left[ SAB \right].$

Lời giải chi tiết

a] Ta có PN là đường trung bình trong $\Delta SAB$

Suy ra $PN//SA.$

Tương tự ta có: $MP//SC\Rightarrow \left[ MNP \right]//\left[ SAC \right].$

[hai mặt phẳng có cặp cạnh song song cắt nhau].

b] Ta có: $\left\{ \begin{array}  {} MQ//CD \\  {} MP//SC \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left[ MPQ \right]//\left[ SCD \right]$

Lại có $PQ\subset \left[ MNQ \right]\Rightarrow PQ//\left[ SCD \right].$

c] Do $\left\{ \begin{array}  {} I=AM\cap BD \\  {} BM//AD \\ \end{array} \right.$

Theo định lý Talet ta có: $\frac{MI}{IA}=\frac{BM}{AD}=\frac{1}{2}$

Mặt khác: $\frac{SJ}{JA}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{MI}{IA}=\frac{SJ}{JA}\Rightarrow \text{IJ}//SM.$

Do $SM\subset \left[ SBC \right]$ suy ra $\text{IJ}//\left[ SBC \right].$

Lời giải chi tiết

a] Ta có: OM là đường trung bình trong tam giác SAC suy ra $OM//SC.$

Lại có: ON là đường trung bình trong tam giác BCD nên $ON//BC.$

Do vậy $\left[ OMN \right]//\left[ SBC \right].$

b] Trong mặt phẳng [ABCD], gọi $I=ON\cap AB$ khi đó I chính là giao điểm của ON và [SAB].

c] Dễ thấy G, H lần lượt là trọng tâm tam giác SAB và SCD do đó $\frac{SG}{SI}=\frac{SH}{SN}=\frac{2}{3}$

$\Rightarrow GH//IN//AD\Rightarrow GH//\left[ SAD \right].$

d] Do O và J lần lượt là trung điểm của AC và AD nên $OJ//CD$ [tính chất đường trung bình].

Mặt khác O và M lần lượt là trung điểm của AC và SA nên $OM//SC.$

Do vậy $\left[ OMJ \right]//\left[ SCD \right]\Rightarrow OE//\left[ SCD \right].$

Lời giải chi tiết

a] Do AB song song với CD nên giao tuyến của [SAB] và [SCD] là đường thẳng d đi qua S và song song với AB và CD.

b] Trong mặt phẳng [SAB], kéo dài PM cắt AB tại Q, trong mặt phẳng [PMQR], kéo dài QN cắt SD tại R, giao điểm của SD và [MNP] là R.

c] Thiết diện hình chóp và mặt phẳng [MNP] là tứ giác MPRN.

Do 3 mặt phẳng [MNP]; [ABC]; [SAD] cắt nhau theo 3 giao tuyến là PR; MN;AD nên chúng song song hoặc đồng quy.

Mặt khác $MN//AD\Rightarrow MN//AD//PR\Rightarrow $ MPRN là hình thang.

d] Ta có: OM là đường trung bình trong tam giác $SBD\Rightarrow OM//SD.$

Tương tự ta có: $ON//SA\Rightarrow \left[ OMN \right]//\left[ SAD \right].$

Mặt khác $OJ\subset \left[ OMN \right]\Rightarrow OJ//\left[ SAD \right]$ [điều phải chứng minh].

Lời giải chi tiết

a] Ta có IJ là đường trung bình của hình bình hành ABCD nên $IJ//AD\left[ l \right].$

Lại có JG là đường trung bình tam giác $SAB\Rightarrow JG//SA\left[ 2 \right].$

Từ [l] và [2] suy ra $\left[ IJG \right]//\left[ SAD \right].$

b] Gọi E là trung điểm của JB thì $\frac{BE}{BA}=\frac{BP}{BS}=\frac{1}{4}\Rightarrow \text{EP}//AS.$

Mặt khác EQ là đường trung bình cùa tam giác BIJ nên $EQ//IJ\Rightarrow EQ//AD.$

Ta có: $\left\{ \begin{array}  {} EP//SA \\  {} EQ//AD \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left[ EPQ \right]//\left[ SAD \right].$

c] Trong mặt phẳng [ABC] gọi $O=IJ\cap AC.$

Ta có: $SA//JG$ nên giao tuyến của hai mặt phẳng [SAC] và [IJG] song song với SA

Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng [SAC] và [IJG] là đường thẳng đi qua O và song song với SA.

d] Gọi K là trung điểm của SA thì $GK//AB$ [tính chất đường trung bình]

Suy ra $GK//CD\Rightarrow G,K,C,D$ đồng phẳng.

Trong mặt phẳng [GKCD] gọi $M=DK\cap CG\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} M\in \left[ ACG \right] \\  {} M\in \left[ SAD \right] \\ \end{array} \right..$

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng [ACG] và [SAD] là AM.

Lời giải chi tiết

a] Ta có MN là đường trung bình trong tam giác BCD nên $MN//BD.$

Tương tự NP là đường trung bình trong tam giác SCD nên $NP//SD.$

Do vậy $\left[ MNP \right]//\left[ SBD \right].$

b] Do $AB//CD$ nên giao tuyến của [SAB] và [SCD] đi qua S và song song với AB và CD.

c] Gọi $E=MN\cap AD.$

Do $NP//SD$ nên giao tuyến $\Delta $ của [MNP] và [SAD] đi qua E và song song với SD.

Trong mặt phẳng [SAD] gọi $F=\Delta \cap SA\Rightarrow F=SA\cap \left[ MNP \right].$

d] Ta có: $J=AM\cap BO;J=SO\cap AP$ do đó I, J lần lượt là trọng tâm tam giác SAC và ABC

Khi đó $\frac{AI}{AP}=\frac{\text{AJ}}{AM}=\frac{2}{3}\Rightarrow \text{IJ}//MP\Rightarrow IJ//\left[ MNP \right].$