1. Phương trình dao động:
- Định nghĩa: dđđh là 1 dđ được mô tả bằng 1 định luật dạng cos [hoặc sin], trong đó A, ω, φ là những hằng số
- Chu kì: $T = \frac{1}{f} = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{t}{n}$ [trong đó n là số dao động vật thực hiện trong thời gian t]
- Chu kì T: Là khoảng thời gian để vật thực hiện được 1 dđ toàn phần. Đơn vị của chu kì là giây [s].
- Tần số f: Là số dđ toàn phần thực hiện được trong 1 giây. Đơn vị là Héc [Hz].
- Tần số góc: ω = 2πf = $\frac{{2\pi }}{T}$
- Phương trình dao động: x = Acos[ωt + φ]
- x : Li độ dđ, là khoảng cách từ VTCB đến vị trí của vật tại thời điểm t đang xét [cm]
- A: Biên độ dđ, là li độ cực đại [cm]. Đặc trưng cho độ mạnh yếu của dđđh. Biên độ càng lớn năng lượng dđ càng lớn. Năng lượng của vật dđđh tỉ lệ với bình phương của biên độ.
- ω: Tần số góc của dđ [rad/s]. Đặc trưng cho sự biến thiên nhanh chậm của các trạng thái của dđđh. Tần số góc của dđ càng lớn thì các trạng thái của dđ biến đổi càng nhanh.
- φ: Pha ban đầu của dđ [rad]. Để xác định trạng thái ban đầu của dđ, là đại lượng quan trọng khi tổng hợp dđ.
- [ωt + φ]: Pha của dđ tại thời điểm t đang xét
Lưu ý : Trong quá trình vật dđ thì li độ biến thiên điều hòa theo hàm số cos [x thay đổi theo thời gian t], nhưng các đại lượng A, ωt, φ là những hằng số. Riêng A, ω là những hằng số dương.
2. Vận tốc tức thời: v = x = -ωAsin[ωt + φ] = ωAcos[ωt + φ +π/2]
$\overrightarrow v $ luôn cùng chiều với chiều chuyển động [vật chuyển động theo chiều dương thì v>0, theo chiều âm thì v < 0]
3. Gia tốc tức thời: a = v = x = -ω$^2$Acos[ωt + φ] = ω$^2$Acos[ωt + φ + π] = -ω$^2$x ;
$\overrightarrow a $ luôn hướng về vị trí cân bằng
4. Vật ở vị trí đặc biệt
a] Vị trí cân bằng:
- li độ dao động: x = 0;
- vận tốc |v| = ωA;
- Gia tốc: a = 0
b] Vị trí Biên:
- Li độ x = ± A;
- Vận tốc v = 0;
- Gia tốc a = ω$^2$A
5. Hệ thức độc lập:
- ${A^2} = {x^2} + {[\frac{v}{\omega }]^2} = {\left[ {\frac{a}{{{\omega ^2}}}} \right]^2} + {\left[ {\frac{v}{\omega }} \right]^2}$ ;
- a = - ω$^2$x .
6. Năng lượng
- Cơ năng: ${\rm{W}} = {{\rm{W}}_{\rm{đ}}} + {{\rm{W}}_t} = \frac{1}{2}m{v^2} + \frac{1}{2}k{x^2} = \frac{1}{2}mv_{\max }^2\frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2} = \frac{1}{2}k{A^2} = {\mathop{\rm co}\nolimits} nst$
- Động năng ${{\rm{W}}_{\rm{đ}}} = \frac{1}{2}m{v^2} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2}{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}[\omega t + \varphi ] = {\rm{Wsi}}{{\rm{n}}^2}[\omega t + \varphi ]$|
- Thế năng ${{\rm{W}}_t} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{x^2} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2}co{s^2}[\omega t + \varphi ] = {\rm{W}}co{{\mathop{\rm s}\nolimits} ^2}[\omega t + \varphi ]$
7. Chú ý: Khi vật dao động điều hoà có tần số góc là ω, tần số f, chu kỳ T. Thì:
- Vận tốc biến thiên điều hòa cùng ω, f và T nhưng sớm [nhanh] pha hơn li độ 1 góc π/2.
- Gia tốc biến thiên điều hòa cùng ω, f và T nhưng ngược pha với li độ, sớm pha hơn vận tốc góc π/2.
- Động năng và thế năng biến thiên với tần số góc 2ω, tần số 2f, chu kỳ T/2.
- Công thức đổi sin thành cos và ngược lại:
+ Đổi thành cos: -cosα = cos[α + π]; ± sinα = cos[α π/2]
+ Đổi thành sin: ± cosα = sin[α ± π/2]; -sinα = sin[α + π]
v = -ωAsin[ωt + φ] = ωAcos[ωt + φ + π/2]
a = -ω2Acos[ωt + φ] = ω2Acos[ωt + φ + π]
8. Chiều dài quỹ đạo: s = 2A
9. Quãng đường trong trường hợp đặc biệt
- Quãng đường đi trong 1 chu kỳ luôn là 4A; trong 1/2 chu kỳ luôn là 2A
- Quãng đường đi trong l/4 chu kỳ khi vật đi từ VTCB đến vị trí biên hoặc ngược lại là A.
10. Các bước lập phương trình dao động dao động điều hoà: x = Acos[ωt + φ]
- Tìm A :
- Từ vị trí cân bằng kéo vật 1 đoạn x0 rồi buông tay cho dao động thì A = x$_0$
- Từ phương trình: ${A^2} = {x^2} + {\left[ {\frac{v}{\omega }} \right]^2} = {x^2} + \frac{{m{v^2}}}{k}$
- A = s/2 với s là chiều dài quĩ đạo chuyển động của vật
- Từ công thức: ${v_{\max }} = \omega A \to A = \frac{{{v_{\max }}}}{\omega }$ hoặc $A = \frac{{{s_{\max }} - {s_{\min }}}}{2}$
- Tìm ω: $\omega = 2\pi f = \frac{{2\pi }}{T} = \sqrt {\frac{k}{m}} = \sqrt {\frac{g}{{\Delta \ell }}} $
- Tìm φ: Tùy theo đầu bài. Chọn t = 0 là lúc vật có li độ x = [ ] , vận tốc v = [ ]
$\left\{ \begin{array}{l}x = A\cos \varphi \\v = - A\omega \sin \varphi\end{array} \right. \to \varphi = {\rm{[]}}$
Lưu ý: + Vật chuyển động theo chiều dương thì v > 0, ngược lại v < 0
+ Có thể xác định φ bằng cách vẽ đường tròn lượng giác và đk ban đầu.
11. Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x$_1$ đến x$_2$
- Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển đường tròn đều.
- Dựa vào công thức của cđ tròn đều: $\Delta \varphi = \omega .\Delta t \to \Delta t = \frac{{\Delta \varphi }}{\omega } = \frac{{\Delta \varphi }}{{2\pi }}.T$
Chú ý: Δφ là góc quét được của bk nối vật cđ trong khoảng tgian Δt và do đó ta phải xác định tọa độ đầu x$_1$ tương ứng góc φ1 và tọaa độ cuối x$_2$ tương ứng góc φ$_2$.
12. Quãng đường vật đi được từ thời điểm t$_1$ đến t$_2$.
- Số lần vật dao động được trong khoảng thời gian t: ${n_0} = \frac{t}{T} = ...$ t = t$_2$ t$_1$ = nT + Δt [n N; 0 Δt < T]
- Quãng đường đi được trong thời gian nT là S$_1$ = 4nA, trong thời gian Δt là S$_2$.
- Quãng đường tổng cộng là S = S$_1$ + S$_2$
- Lưu ý:
- Nếu Δt = T/2 thì S$_2$ = 2A
- Tính S$_2$ bằng cách định vị trí x$_1$, x$_2$ và chiều chuyển động của vật trên trục Ox
- Trong một số trường hợp có thể giải bài toán bằng cách sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều sẽ đơn giản hơn.
- Tốc độ trung bình của vật đi từ thời điểm t$_1$ đến t$_2$: ${v_{tb}} = \frac{S}{{{t_2} - {t_1}}}$ với S là quãng đường tính như trên.
13. Bài toán tính quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất vật đi được trong khoảng thời gian 0 < Δt < T/2.
- Vật có vận tốc lớn nhất khi qua vị trí cân bằng, nhỏ nhất khi qua vị trí biên nên trong cùng một khoảng thời gian quãng đường đi được càng lớn khi vật ở càng gần vị trí cân bằng và càng nhỏ khi càng gần vị trí biên.
- Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều. Góc quét Δφ = ωΔt.
- Quãng đường lớn nhất khi vật đi từ M$_1$ đến M$_2$ đối xứng qua trục sin [hình 1] ${S_{{\rm{max}}}} = 2{\rm{A}}\sin \frac{{\Delta \varphi }}{2}$
- Quãng đường nhỏ nhất khi vật đi từ M$_1$ đến M$_2$ đối xứng qua trục cos [hình 2] ${S_{min}} = 2A[1 - c{\rm{os}}\frac{{\Delta \varphi }}{2}]$
- Lưu ý: Trong trường hợp Δt > T/2
Tách $\Delta t = n\frac{T}{2} + \Delta t'$ trong đó $n \in {N^*};0 < \Delta t' < \frac{T}{2}$
- Trong thời gian $n\frac{T}{2}$ quãng đường luôn là 2nA
- Trong thời gian Δt thì quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất tính như trên.
- Tốc độ trung bình lớn nhất và nhỏ nhất của trong khoảng thời gian Δt: ${v_{tb\,m{\rm{ax}}}} = \frac{{{S_{{\rm{max}}}}}}{{\Delta t}}$ và ${v_{tb\,min}} = \frac{{{S_{min}}}}{{\Delta t}}$ với S$_{max}$; S$_{min}$ tính như trên.
14. Bài toán xđ li độ, vận tốc dao động sau [trước] thời điểm t một khoảng Δt
- Xác định góc quét $\Delta \phi$ trong khoảng thời gian Δt: $\Delta \phi = \omega .\Delta t$
- Từ vị trí ban đầu [OM$_1$] quét bán kính một góc lùi [tiến] một góc $\Delta \phi$, từ đó xác định M$_2$ rồi chiếu lên Ox xác định x.
- Cách khác: áp dụng công thức lượng giác: cos[α + π] = - cosα; cos[α + π/2] = -sinα; $\sin \alpha = \pm \sqrt {1 - co{s^2}\alpha } ;\,\,$ ; cos[a + b] = Cosa.Cosb Sina.Sinb để giải.
15. Bài toán xđ thời điểm vật đi qua vị trí x đã biết [hoặc v, a, W$_t$, W$_đ$, F] lần thứ n
- Xác định M0 dựa vào pha ban đầu
- Xác định M dựa vào x [hoặc v, a, W$_t$, W$_đ$, F]
- Áp dụng công thức $t = \frac{{\Delta \phi }}{\omega }$ [với $\phi = \,{M_0}OM$]
Lưu ý: Đề ra thường cho giá trị n nhỏ, còn nếu n lớn thì tìm quy luật để suy ra nghiệm thứ n.
16. Dao động có phương trình đặc biệt:
Phương trình: x = a ± Acos[ωt + φ] với a = const
- Biên độ là A, tần số góc là ω, pha ban đầu φ
- x là toạ độ, x$_0$ = Acos[ωt + φ] là li độ.
- Tọa độ vị trí cân bằng x = a, tọa độ vị trí biên x = a ± A
- Vận tốc v = x = x$_0$, gia tốc a = v = x = x0
- Hệ thức độc lập: a = -ω2x0; ${A^2} = x_0^2 + {[\frac{v}{\omega }]^2}$
Phương trình: x = a ± Acos$^2$[ωt + φ] [ta hạ bậc]
- Biên độ A/2; tần số góc 2ω, pha ban đầu 2φ.
Video liên quan