[HNM] - Trong một số báo, chúng tôi đã nêu lịch sử ra đời của phân số. Phân số Ai Cập dạng 1/a ra đời cách đây khoảng 3650 năm, còn phân số tổng quát dạng a/b mà chúng ta biểu diễn như ngày nay đã được người Ấn Độ sử dụng từ khoảng 500 năm trước Công nguyên.
Phân số có tính chất khi nhân cả tử số và mẫu số với cùng một số tự nhiên khác 0 thì ta được phân số mới bằng phân số đã cho. Dựa vào tính chất này, ta thấy có vô số phân số bằng nhau. Những phân số này cùng bằng một phân số tối giản [là phân số không thể rút gọn được nữa]. Ta gọi những phân số bằng nhau này là một lớp tương đương. Chẳng hạn các phân số 6/8, 15/20, 75/100 cùng một lớp tương đương với phân số 3/4. Người ta gọi những phân số là những số hữu tỉ. Khi mẫu số của phân số là tích của các thừa số 2 và 5 thì ta gọi đó là phân số thập phân. Chẳng hạn các phân số 11/8, 3/5, 7/25 là những phân số thập phân. Các phân số thập phân đều được viết dưới dạng số thập phân [như 11/8 = 1,375]. Phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số gọi là phân số thực sự. Phân số có tử số lớn hơn mẫu số gọi là phân số không thực sự. Những phân số không thực sự có thể viết dưới dạng hỗn số [như 11/8 = 1 3/8].
Bài viết này sẽ nêu một số bài toán tiêu biểu về phân số, giúp các em có cái nhìn tổng quan về phân số.
Bài toán 1. Tìm a biết 6 /[a - 1] là số tự nhiên.
Bài làm. Muốn 6 /[a - 1] là số tự nhiên thì 6 phải chia hết cho a - 1. Vậy a - 1 = 1, a - 1 = 2, a - 1 = 3, a - 1 = 6. Suy ra a = 2, a = 3, a = 4, a = 7.
Bài toán 2. Tổng của tử số và mẫu số của một phân số bằng 140. Sau khi rút gọn phân số đó, ta được phân số 29/6. Hãy tìm phân số ban đầu.
Bài làm. Tổng của tử số và mẫu số của một phân số sau khi rút gọn là 29 + 6 = 35. Tử số và mẫu số đã được chia cho số [cũng là rút gọn phân số cho số] 140 : 35 = 4. Vậy phân số ban đầu là 29 x 4/6 x 4 = 116/24.
Bài toán 3. Cho phân số 11/21. Cần phải bớt cả tử và mẫu của phân số này một số bằng bao nhiêu để được phân số 3/8 ?
Bài làm. Khi bớt cả tử và mẫu cho cùng một số thì hiệu giữa mẫu số và tử số không đổi và bằng 21 - 11 = 10. Phân số mới có hiệu bằng 8 - 3 = 5. Như vậy ta đã giản ước phân số cho số 10 : 5 = 2 nên 3/8 = 3 x 2/8 x 2 = 6/16. Vậy ta đã bớt cả tử và mẫu số đi một số bằng 11 - 6 = 5.
Bài toán 4. So sánh các phân số sau:
a] a = 2010/ 2011 với b = 2011/2012.
b] c = 2012/2011 với d = 2013/2012.
c] m = 2002/2011 với n = 2001/2012.
Bài làm. a] Xét 1 - a = 1/2011; 1 - b = 1/2012. Vì 2011 < 2012 nên 1/2011 > 1/2012. Từ đó 1 - a > 1 - b nên a < b.
b] Xét c - 1 = 1/2011; d - 1 = 1/2012. Tương tự như trên ta được c > d.
c] Ta có m + 1 = 4013/2011; n + 1 = 4013/2012. Từ đó m > n.
Chú ý. So sánh như ở ý a] gọi là so sánh phần bù.
Bài toán 5. So sánh hai phân số x = 2012/1234 + 2011/4321 với y = 2011/1234 + 2012/4321.
Bài làm. Xét x - y = [2012/1234 - 2011/1234] - [2012/4321 - 2011/4321] = 1/1234 - 1/4321.
Từ đó x > y.
Bài toán 6. Cho a Є{1, 2, 3, 4}, b Є{2, 4, 8}. Tìm phân số a/b nhỏ nhất, lớn nhất.
Bài làm. Phân số nhỏ nhất là 1/8. Phân số lớn nhất là 4/2 = 2.
Bài toán 7. Tìm phân số có mẫu số bằng 20 lớn hơn 6/13 nhưng bé hơn 7/13.
Bài làm. Gọi phân số cần tìm là a/20. Ta có a/20 = a x 13/20 x 13 = 13a/260; 6/13 = 6 x 20/13 x 20 = 120/260; 7/13 = 7 x 20/13 x 20 = 140/260. Vậy 120 < 13a và 13a < 140. Tức là a > 120/13 và a < 140/13. Vì a là số tự nhiên nên a = 10. Vậy phân số cần tìm là 10/20.
Dành cho các bạn học sinh. Sắp xếp các phân số theo thứ tự từ nhỏ đến lớn [có giải thích]: 2010/2011, 2011/2012, 2012/2013. Bài giải gửi về Hoàng Trọng Hảo, Tạp chí Toán Tuổi thơ, 361 Trường Chinh, Thanh Xuân, Hà Nội. Ngoài phong bì ghi dự thi "Học mà chơi - chơi mà học" của Báo Hànộimới.
Buổi tối [từ 19 giờ đến 21 giờ 30 phút], Bình định dành 1/4 giờ để rửa bát, 1/6 giờ để quét nhà và 1 giờ để làm bài. Thời gian còn lại Bình định dành để xem chương trình phim truyền hình kéo dài trong 45 phút. Hỏi Bình có đủ thời gian để xem hết phim không?