1. Khái niệm dạng toàn phương:
1.1 Định nghĩa: Dạng toàn phương n biến là một hàm bậc hai dạng:
[1]
với các hệ số là các số thực và các biến là các biến thực.
Nếu ta ký hiệu:
, chú ý A là ma trận đối xứng.
Khi đó, ta có thể viết dạng toàn phương ở dạng ma trận sau: [các bạn có thể kiểm tra bằng cách nhân trực tiếp]
Ma trận A được gọi là ma trận của dạng toàn phương. Vậy ma trận của dạng toàn phương có dạng ma trận đối xứng.
Ví dụ 1: Cho hàm bậc hai . Rõ ràng, f[x] là dạng toàn phương. Ma trận A có dạng:
Ví dụ 2: Cho hàm bậc hai . Rõ ràng, g[x] là dạng toàn phương 3 biến. Ma trận A ccủa dạng toàn phương có dạng:
1.2 Dạng toàn phương chính tắc:
Một dạng toàn phương chính tắc là dạng toàn phương mà trong biểu thức xác định không chứa các tích mà chỉ chứa các số hạng bình phương
Nghĩa là: ma trận của dạng toàn phương là 1 ma trận chéo.
Ví dụ: là 1 dạng toàn phương chính tắc.
2. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc:
2.1 Phương pháp ma trận trực giao:
Từ định nghĩa của dạng toàn phương chính tắc, ta thấy nếu chuyển ma trận của dạng toàn phương về dạng ma trận chéo thì có nghĩa là ta sẽ chuyển được dạng toàn phương về dạng toàn phương chính tắc.
Mặt khác, A là ma trận đối xứng nên ta có A luôn có n giá trị riêng thực, và các VTR ứng với các giá trị riêng khác nhau đều trực giao với nhau. Khi đó, nếu P là ma trận trực giao chéo hóa ma trận A và D là dạng chéo của A thì ta có: [trong đó ]. Vậy có thể chuyển A về dạng chéo , nghĩa là chuyển dạng toàn phương về dạng chính tắc
Định lý:
Cho dạng toàn phương , với A là ma trận vuông đối xứng cấp n với các giá trị riêng và P là ma trận trực giao làm chéo hóa A:
Khi đó, bằng cách đổi biến ta đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc sau:
Chứng minh:
Thật vậy ta đặt :
Ta có:
Rõ ràng
Vậy ta chỉ cần chéo hóa trực giao ma trận A của dạng toàn phương và thực hiện phép đổi biến, ta sẽ đưa về dạng toàn phương chính tắc.
Ví dụ: Cho dạng toàn phương
Ma trận của dạng toàn phương là:
Giải phương trình đặc trưng của ma trận A, ta có ma trận A có 2 giá trị riêng là nghiệm kép.
Với Vectơ riêng ứng với GTR là nghiệm cũa hệ phương trình:
Hay ta có hệ phương trình:
Từ đó : VTR có dạng: và ta có 2 VTR độc lập tuyến tính là:
Trực chuẩn hóa Gram Schmidt hệ này ta được hệ trực chuẩn:
Với Vectơ riêng ứng với GTR là nghiệm cũa hệ phương trình:
Hay ta có hệ phương trình:
Giải hệ này ta được VTR có dạng: và ta có 1 VTR độc lập tuyến tính là: . Rõ ràng,
Chuẩn hóa vectơ ta có:
Vậy dạng toàn phương chính tắc là:
Và ma trận P có dạng:
Và công thức đổi biến là:
Hay:
Nhận xét: phương pháp trực giao hóa đòi hỏi phải tìm các giá trị riêng. Đây là việc khá khó khăn đối với phương trình bậc cao không có nghiệm đặc biệt. Do vậy, phương pháp này thường chỉ áp dụng cho dạng toàn phương 2 biến, 3 biến hoặc 4 biến. Tuy nhiên, phương pháp này sẽ đặc biệt hữu dụng khi chúng ta nghiên cứu các đường và mặt bậc 2 trong không gian 3 chiều [sẽ đề cập chi tiết ở phần sau]