Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và cách C một khoảng lớn nhất

toán A[2;0;1] B[-2;7;2] C[1;5;-3] Viết pt mặt phẳng [Q] đi qua AB sao cho khoảng cách từ C đến [Q] lớn nhất kí hiệu P là mp P nhá gọi pt [p] có dạng a[x-2] + by+c[z-1]=0 B thuộc P ---> -4a+7b+c=0 d[C,P] =|-a+5b-4c|/căn [a^2+b^2+c^2] chọn b=1 --->c-4a=7 d=|a+4c-5|/ căn[a^2+c^2+1]

rút c theo a rồi dùng BDT nha bạn

qua C dụng mp[P] vuông góc với AB,cắt AB tại M gọi C' là hình chiếu của C lên [Q] =>tam giác CMC' vuông tại C' khoảng cách từ C đến [Q] lớn nhất CC' max CC' là cạnh góc vuông,CM là cạnh huyền của tam giác vuông CC'M [TEX]=> CC' \leq CM[/TEX] dấu bằng xảy ra khi C' trùng M =>CC' max C trùng M

=>CM là vecto pháp tuyến của [Q]

Hình học giải tích là một kiến thức khá mới và thú vị trong chương trình toán THPT. Chính vì vậy, hôm nay Kiến Guru muốn chia sẻ đến các bạn hướng dẫn giải toán nâng cao 12 cho một số dạng bài tập hay bắt gặp trong các đề thi, mà tập trung chính sẽ là chủ đề phương trình mặt phẳng. Đây là những bài tập đòi hỏi tính vận dụng cao, ngoài kiến thức cơ bản, cũng yêu cầu sự kết hợp nhuần nhuyễn và linh hoạt các công thức mới có thể giải được. Cùng nhau khám phá bài viết nhé:

I. Giải toán nâng cao 12 – Kiến thức cần nắm.

Vecto pháp tuyến [VTPT] của mặt phẳng:

được gọi là VTPT của [α] nếu giá của nó vuông góc với mặt phẳng [α].

Chú ý:

+ Nếu

là VTPT thì [k≠0] cũng là một VTPT của [α]

+ Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu ta biết VTPT của nó và một điểm nó đi qua.

+ Nếu hai vecto

có giá song song hoặc nằm trên [α] thì là một VTPT của [α].

Phương trình tổng quát của mặt phẳng:

+ Trong không gian Oxyz, mọi mặt phẳng đều có dạng sau: Ax+ By+Cz+D=0 [với A²+B²+C²≠0]

+ Khi đó vecto [A,B,C] được xem là VTPT của mặt phẳng.

+ Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M[x0,y0,z0] và xem vecto [A,B,C] ≠ 0 là VTPT là: 

A[x-x0]+B[y-y0]+C[z-z0]=0

Một số trường hợp đặc biệt: Xét phương trình mặt phẳng [α]: Ax+ By+Cz+D=0

[với A²+B²+C²≠0]:

+ Nếu D=0 thì mặt phẳng đi qua gốc tọa độ.

+ Nếu A=0, BC≠0 thì mặt phẳng song song hoặc chứa trục Ox.

+ Nếu B=0, AC≠0 thì mặt phẳng song song hoặc chứa trục Oy

+ Nếu C=0, AB≠0 thì mặt phẳng song song hoặc chứa trục Oz.

+ Nếu A=B=0, C≠0 thì mặt phẳng song song hoặc trùng với [Oxy]

+ Nếu B=C=0, A≠0 thì mặt phẳng song song hoặc trùng với [Oyz]

+ Nếu A=C=0, B≠0 thì mặt phẳng song song hoặc trùng với [Oxz]

Như vậy ta rút ra nhận xét: 

+ Nếu trong phương trình [α] không chứa ẩn nào thì mặt phẳng [α] sẽ song song hoặc chứa trục tương ứng [ví dụ A=0, tức là thiếu ẩn x, kết quả là mặt phẳng song song hoặc chứa trục Ox].

+ Phương trình mặt phẳng đoạn chắn: x/a +y/b + z/c=1. ở đây, mặt phẳng sẽ cắt các trục tọa độ tại các điểm có tọa độ [a,0,0]; [0,b,0] và [0,0,c] [với abc≠0]

Vị trí tương đối của hai mặt phẳng: cho [α]: Ax+By+Cz+D=0 và [β]: A’x+B’y+C’z+D’=0, khi đó:

+ [α] song song [β]:       

+ [α] trùng [β]:

+ [α] cắt [β]: chỉ cần

Khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng: cho mặt phẳng [α]: Ax+By+Cz+D=0 và điểm M[x0,y0,z0], lúc này khoảng cách từ M đến mặt phẳng [α] được tính theo công thức:

II. Hướng dẫn các dạng giải toán nâng cao 12 phương trình mặt phẳng.

Dạng 1: viết phương trình khi biết 1 điểm và VTPT. Dạng này có thể biến tấu bằng cách cho trước 1 điểm và một phương trình mặt phẳng khác song song với phương trình mặt phẳng cần tìm.

Phương pháp: Áp dụng trực tiếp phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có VTPT, áp dụng thêm lưu ý hai mặt phẳng song song thì có cùng VTPT.

VD: Xét không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua A[1;0;-2] và VTPT [1;-1;2]?

Hướng dẫn:

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng.

Phương pháp:

Mấu chốt vấn đề là ta phải tìm được VTPT của mặt phẳng, vì đã biết trước được một điểm mà mặt phẳng đi qua rồi [A, B và C].

Do A, B, C cùng nằm trên mặt phẳng nên AB, AC là hai đoạn thẳng nằm trong mặt phẳng, lúc này:

Trường hợp này có thể biến tấu bằng cách thay vì cho 3 điểm cụ thể, bài toán sẽ cho 2 đường thẳng song song hoặc nằm trong mặt phẳng cần tìm. Cách làm là tương tự, thay các vecto AB, AC bằng các vecto chỉ phương của mặt phẳng, ta sẽ tìm được VTPT. Sau đó, chọn 1 điểm bất kì trên 1 đường thẳng là ta lại quay về dạng 1.

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A[1;0;-2], B[1;1;1] và C[0;-1;2].

Hướng dẫn:

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng [α] song song với mặt phẳng [β]: Ax+By+Cz+D=0 cho trước và cách điểm M một khoảng k cho trước.

Phương pháp:

Do [α] song song [β] nên mặt phẳng cần tìm có dạng: Ax+By+Cz+D’=0.

Sử dụng công thức khoảng cách để tìm D’.

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] song song với [Q]: x+2y-2z+1=0 và cách điểm M[1;-2;1] một khoảng là 3.

Hướng dẫn: 

Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng [α] tiếp xúc với mặt cầu [S] cho trước.

Phương pháp:

Ta tìm tọa độ tâm I của [S]. Do [α] tiếp xúc [S] nên ta sẽ tìm tọa độ tiếp điểm, gọi tiếp điểm là M. Có được điểm đi qua, VTPT lại là vecto MI thì ta dễ dàng áp dụng như dạng 1.

Nếu bài toán không cho tiếp điểm mà ta chỉ có thể tìm được VTPT dựa vào 1 số dữ kiện ban đầu, lúc này phương trình mặt phẳng có dạng: Ax+By+Cz+D=0. Sử dụng công thức tính khoảng cách để tìm D.

Ví dụ: Xét không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] song song với mặt phẳng [Q]: x+2y-2z+1=0 và tiếp xúc với mặt cầu [S]: x²+y²+z²+2x-4y-2z-3=0.

Hướng dẫn:

III. Giải toán nâng cao 12 – Các bài tập tự luyện.

Đáp án:

Trên đây là những vấn đề giải toán nâng cao 12 chủ đề phương trình mặt phẳng mà Kiến Guru muốn chia sẻ tới các bạn. Trong khuôn khổ bài viết, tuy mới chỉ là một trong số rất nhiều dạng trong chương trình Toán THPT, nhưng Kiến hy vọng đây sẽ là một tài liệu ôn tập hữu ích dành cho các bạn. Ngoài ra, các bạn có thể tham khảo thêm nhiều bài viết khác trên trang của Kiến nhé. “Có công mài sắt có ngày nên kim”, chúc các bạn học tập tốt và đạt kết quả cao trong kì thi THPT sắp tới.

Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm

và cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất:

A.A:

B.B:

C.C:

D.D:

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Phương trình mặt phẳng đi qua điểm

và cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất khi và chỉ khi mặt phẳng [P] đó vuông góc với OB: Vậy đápán đúng là D

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Bài tập trắc nghiệm 60 phút Phương trình mặt phẳng trong không gian - Toán Học 12 - Đề số 2

Làm bài

Chia sẻ

Một số câu hỏi khác cùng bài thi.

• Trongkhônggiantọađộ

  , viếtphươngtrìnhmặtphẳng
  đi qua haiđiểm
  ,
  vàvuônggócvớimặtphẳng

• Trongkhônggian

  , phươngtrìnhmặtphẳng
  đi qua
  điểm
  ,
  ,
  là.

• [Câu 20 - Đề chính thức mã 101 năm 2017-2018] Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm A2;−1;2 và song song với mặt phẳng P:2x−y+3z+2=0 có phương trình là
  

• Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm

  và vuông góc với đường thẳng
  có phương trình là

• Phươngtrìnhmặtphẳngqua

  vàvuônggócvớimặtphẳng
  .

• Trong không gian với hệ tọa độ

  ,cho mặt phẳng
  và điểm
  .Mặt phẳng
  đi qua
  vuông góc với mặt phẳng
  song song với trục
  có phương trình là:

• Trong không gian với hệ tọa độ

  , cho mặt phẳng
  . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của
  ?

• Trong không gian với hệ tọa độ

  , cho điểm
  và hai mặt phẳng
  và
  . Viết phương trình mặt phẳng đi qua
  và vuông góc với hai mặt phẳng
  .

• Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm

  và cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất:

• Trongkhônggianvớihệtrụctọađộ

  , chomặtphẳng:
  . Tìmtọađộvectơpháptuyến
  củamặtphẳng.

• Trong không gian

  , cho mặt phẳng
  đi qua điểm
  và cắt các trục
  ,
  ,
  lần lượt tại các điểm
  ,
  ,
  . Viết phương trình mặt phẳng
  sao cho
  là trực tâm của tam giác
  .

• TrongkhônggianchoOxyzchomặtphẳng

  và haiđiểm
  . Phươngtrìnhmặtphẳng
  qua A, B vuônggócvới[P] là

• Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua

  , vuông góc với hai mặt phẳng lần lượt có phương trình
  và
  .

• Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

  Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

• [2H3-2. 3-2] Trong không gian Oxyz , mặt phẳng đi qua điểm M1;2;3 và song song với mặt phẳng P:x−2y+z−3=0 có phương trình là
  

• Trong không gian với hệ toạ độ

  ,cho mặt phẳng
  :
  .Mặt phẳng
  có một véctơ pháp tuyến là

• Phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng

  và cách
  một khoảng bằng
  là

• Viết phương trình mặt phẳng chứa điểm A[4;2;3] vàđường thằng

  .

• Trong không gian Oxyz, cho ba điểm

  . Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC có phương trình là

• Trongkhônggianvớihệ tọađộ Oxyz, chođiểm

  và đườngthẳng
  . Phươngtrìnhmặtphẳngchứa A và vuônggócvới d là ?

• Trong không gian với hệtọa độ

  , cho đường thẳng
  . Phương trình mặt phẳng
  qua
  vàvuông góc với
  là

• Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng

  Mặt phẳng nào dưới đây song song với đường thẳng d?

• Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm

  vớia,b,c là các số thực thay đổi sao cho
  là trực tâm của tam giácABC.Tính

• Mặt phẳng nào sau đây có vecto pháp tuyến

  .

• Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua điểm

  và cắtcác trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba điểm A, B, C khác với gốc tọa độ O sao chobiểuthức
  có giá trị nhỏ nhất.

• Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M[3;-1;-2] và mặt phẳng

  . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua M vàsong song với
  ?

• Trong không gian tọa độ Oxyz , mặt phẳng đi qua điểm I1;1;1 và nhận n→=1;−2;3 làm véctơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là
  

• Cho

  . Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là :

• Trong không gian Oxyz , cho điểm A1 ;−1 ; 2 ; B2 ; 1 ;1 và mặt phẳng P:x+y+z+1=0 . Mặt phẳng Q chứa A , B và vuông góc với mặt phẳng P . Mặt phẳng Q có phương trình là
  

• Tìm phương trình mặt phẳng

  đối xứng với mặt phẳng
  qua mặt phẳng
  với
  .

• Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Cho

  với a,b,c thuộc Rvà
  . Khi đó phương trình mặt phẳng [ABC] là:

• Trong không gian với hệ toạ độ

  , cho ba điểm
  ,
  ,
  . Phương trình mặt phẳng
  là:

• Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm

  Mặt phẳng cách đều hai điểm A, B và vuông góc với đường thẳngABcó phương trình là:

• Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

  và điểm
  . Viết phương trình mặt phẳng
  chứa d và đi qua A

• Trong không gian với hệtọa độ

  , cho mặt cầu
  và hai đường thẳng
  ,
  . Phương trình nào dưới đây là phương trình của một mặt phẳng tiếp xúc với
  , song song với
  và
  ?

• Trong không gian với hệ trục độ

  , cho ba điểm
  ,
  ,
  . Một véc tơ pháp tuyến
  của mặt phẳng
  là:
  

• Cho H[2;1;1]. Gọi [P] là mặt phẳng đi qua H và cắt các trục tọa độ tại A, B và C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC. Phương trình của mặt phẳng [P] là:

• Trongkhônggianvớihệ tọađộ Oxyz, chobốnđiểm

  . Hỏicó tấtcả baonhiêumặtphẳngcáchđều5 điểmO, A, B, C, D [O là gốctọađộ]?

• Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng

  . Mặt phẳng [Q] vuông góc với [P] và cách điểm
  một khoảng bằng
  có dạng
  với
  . Ta có thể kết luận gì về A, B, C?

• Trong không gian với hệtọa độ

  , cho điểm
  vàhai mặt phẳng
  ,
  . Viết phương trình mặt phẳng
  đi qua
  đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng
  và
  .

Một số câu hỏi khác có thể bạn quan tâm.

• Trong phản ứng hạt nhân không có sự bảo toàn
  

• Cho hàm số y=fx xác định, liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên:
  

  
  Hỏi khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
  

• Trong mặt phẳng phức, gọi

  lần lượt là điểm biểu diễn các số phức
  Tam giác
  là:

• Cho

  là thiết diện song song với trục OO’ của hình trụ [A, B thuộc đường tròn tâm O]. Cho biết
  và thể tích của hình trụ bằng
  Khoảng cách d từ O đến mặt phẳng
  là:

• Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số

  là ?

• Tính chất nào sau đây là tính chất vật lí chung của kim loại?
  

• Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng P:x−2y−2z−3=0 và Q:x−2y−2z+6=0 . Bán kính của mặt cầu tiếp xúc với cả hai mặt phẳng đã cho bằng
  

• Cho hàm số

  có đạo hàm trên
  ,
  và
  . Tính
  
  

• Trong các hạt nhân:

  ,
  ,
  và
  , hạt nhân bền vững nhất là
  

• Cho hàm số y=fx liên tục trên ℝ và có bảng xét dấu f′x như sau:
  

  
  Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?