Sáng kiến kinh nghiệm rút gọn biểu thức chứa căn lớp 9 Violet
Skkn nâng cao chất lượng rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai trong chương i môn đại số 9 ở lớp 91 trường trung học cơ sở truông mít bằng cách sử dụng hằng đẳng thức
MỤC LỤC I- Tóm tắt đề tài...................................................................................................2 II- Giới thiệu........................................................................................................3 III- Phương pháp ................................................................................................5 1. Khách thể nghiên cứu............................................................................5 2. Thiết kế..................................................................................................5 3. Quy trình nghiên cứu.............................................................................7 4. Đo lường..............................................................................................17 IV- Phân tích dữ liệu và kết quả......................................................................18 V- Bàn luận........................................................................................................19 VI- Kết luận và khuyến nghị............................................................................20 VII- Tài liệu tham khảo VIII- Phụ lục 1 I. TÓM TẮT ĐỀ TÀI Qua những năm giảng dạy ở trường trung học cơ sở, chúng tôi nhận thấy rằng các em học sinh, nhất là lớp 9 phải chịu nhiều áp lực trong việc thi tuyển vào lớp 10 hoặc trường chuyên để định hướng cho tương lai của mình sau này. Mà ở các kỳ thi đó, nội dung đề thi thường rơi vào một phần kiến thức cơ bản không thể thiếu đó là chương căn thức bậc hai cho dưới dạng rút gọn biểu thức và thực hiện phép tính căn. Phần lớn các em không làm được bài hoặc làm không trọn vẹn bài tập của phần này, nguyên nhân dẫn đến hiện trạng trên là do: - Học sinh chưa nắm vững các hằng đẳng thức đã được học ở lớp 8. - Kỹ năng vận dụng các hằng đẳng thức đã học dưới dạng biểu thức chứa dấu căn ở lớp 9 chưa thành thạo. - Kỹ năng biến đổi, tính toán, giải toán về căn thức bậc hai của đa số học sinh còn yếu. - Vì học sinh chưa nắm vững các hằng đẳng thức đã được học ở lớp 8 và vận dụng các hằng đẳng thức đã học dưới dạng biểu thức chứa dấu căn ở lớp 9 chưa thành thạo nên giáo viên thường hướng dẫn giải chi tiết. Đây thường là hình thức hướng dẫn giải bài tập cụ thể mà không có định hướng phương pháp cũng như cơ sở kiến thức được vận dụng vào bài tập. Do đó, học sinh không có kỹ năng làm bài dẫn đến đa số học sinh ít hứng thú khi giải toán về căn thức bậc hai. Qua thực tế giảng dạy, chúng tôi luôn trăn trở để tìm ra những phương pháp giúp học sinh có kĩ năng, phương pháp giải toán chứa căn thức bậc hai. Một trong những phương pháp có hiệu quả mà chúng tôi đã thực hiện nhằm nâng cao chất lượng giải bài tập khi học chương I Đại số 9 là sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn một số biểu thức có chứa căn thức bậc hai. Trên cơ sở đó, chúng tôi đã chọn đề tài: Nâng cao chất lượng rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai trong chương I môn Đại số 9 ở lớp 91 Trường Trung học cơ sở Truông Mít bằng cách sử dụng hằng đẳng thức. 2 Nghiên cứu được tiến hành thực nghiệm trên hai nhóm tương đương là hai lớp 91 và 93 trường Trung học cơ sở Truông Mít. Lớp 91 là lớp thực nghiệm, lớp 93 là lớp đối chứng. Lớp thực nghiệm được thực hiện giải pháp thay thế khi dạy các bài của chương I (cụ thể ở các tiết 10, 11, 12, 13, 16). Kết quả cho thấy tác động đã có ảnh hưởng rõ rệt đến kết quả học tập của học sinh: Lớp thực nghiệm đã đạt kết quả cao hơn so với lớp đối chứng. Điểm trung bình bài kiểm tra sau tác động của lớp thực nghiệm là 7.1, lớp đối chứng là 5.8. Kết quả kiểm tra Ttest p= 0.000176< 0.05 cho thấy sự chênh lệch kết quả giữa điểm trung bình của nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng rất có ý nghĩa. Nói cách khác, chênh lệch kết quả điểm trung bình của lớp thực nghiệm cao hơn điểm trung bình của lớp đối chứng là không ngẫu nhiên mà do kết quả của tác động. Độ chênh lệch giá trị trung bình chuẩn là SMD �0.97 cho thấy mức độ ảnh hưởng sau tác động là lớn. Điều đó chứng minh rằng, việc sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn một số biểu thức có chứa căn thức bậc hai trong dạy học đã làm nâng cao hiệu quả khi học chương I Đại số 9 của lớp 9 1 trường Trung học cơ sở Truông Mít. II. GIỚI THIỆU: 1. Hiện trạng: Trong chương trình Toán lớp 9, sách giáo khoa lớp 9 và sách bài tập (Tập 1), đưa ra rất nhiều bài tập về rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai rất khó, nó đòi hỏi học sinh phải nắm vững các hằng đẳng thức đã được học ở lớp 8 và vận dụng các hằng đẳng thức đã học dưới dạng biểu thức chứa dấu căn ở lớp 9 để biến đổi và rút gọn. Tuy nhiên, qua tìm hiểu thực tế học sinh lớp 9 tại trường Trung học cơ sở Truông Mít, chúng tôi nhận thấy nhiều em học sinh học khá, giỏi nhưng năng lực giải loại bài tập này là rất yếu hoặc không giải được dạng bài tập này. Vậy trong cách giảng dạy của giáo viên và cách học của học sinh đã có điểm nào bất cập, chưa hợp lý? Đó là câu hỏi mà bản thân chúng tôi luôn suy nghĩ. 2. Nguyên nhân: 3 Với mong muốn tìm ra hướng khắc phục, chúng tôi đã đi sâu tìm hiểu nhận thấy có một số nguyên nhân dẫn đến hiện trạng trên là do: - Học sinh chưa nắm vững các hằng đẳng thức đã được học ở lớp 8. - Kĩ năng vận dụng các hằng đẳng thức đã học dưới dạng biểu thức chứa dấu căn ở lớp 9 chưa thành thạo. - Kĩ năng biến đổi, tính toán, giải toán về căn thức bậc hai của đa số học sinh còn yếu. - Giáo viên còn ngại sử dụng bài tập trên lớp. - Giáo viên đầu tư thời gian giải bài tập trên lớp chưa hợp lý. - Giáo viên chưa hướng dẫn học sinh một cách tường minh. Trong các nguyên nhân trên chúng tôi chọn nguyên nhân "Kĩ năng vận dụng các hằng đẳng thức đã học dưới dạng biểu thức chứa dấu căn ở lớp 9 chưa thành thạo" để nghiên cứu và tìm biện pháp khắc phục. 3. Giải pháp thay thế: Với ước vọng để tìm ra hướng khắc phục, chúng tôi có suy nghĩ nhiều đến các giải pháp mà bản thân đã tích cực áp dụng trong quá trình giảng dạy như: - Hướng dẫn chu đáo bài tập về nhà. - Tăng cường bài tập về nhà và kiểm tra thường xuyên. - Cố gắng dành thời gian để hướng dẫn học sinh giải nhiều dạng bài toán rút gọn biểu thức tại lớp. Với những giải pháp trên mang lại kết quả chưa cao. Để thay đổi hiện trạng trên, trong đề tài này chúng tôi đưa ra giải pháp đó là Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn một số biểu thức có chứa căn thức bậc hai nhằm phát huy năng lực lựa chọn phương pháp phù hợp cho mỗi dạng, mỗi kiểu bài khác nhau, đồng thời giúp các em hiểu sâu sắc và vận dụng có hiệu quả. Để thực hiện giải pháp này, giáo viên cần đưa ra các dạng bài toán rút gọn biểu thức cơ bản, thường gặp trong chương trình, hướng dẫn cho học sinh phương pháp giải gọn, dễ hiểu, dễ nhớ đối với những bài có nhiều cách giải. Trên cơ sở phân tích đề bài, giáo viên cần giúp đỡ cho các học sinh giải quyết những vấn đề mà các em hay lúng túng, không xác định được hướng giải. 4 Biện pháp thực hiện - Để khắc phục vấn đề đã nêu ở trên, chúng ta cần cho học sinh học kỹ bảy hằng đẳng thức đã học ở lớp 8 (theo thứ tự): 1) Bình phương một tổng: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 2) Bình phương một hiệu: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 3) Hiệu hai bình phương: a2 - b2 = (a + b).(a b) 4) Lập phương một tổng: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 5) Lập phương một hiệu: (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 6) Tổng hai lập phương: a3 + b3 = (a + b).(a2 - ab + b2) 7) Hiệu hai lập phương: a3 - b3 = (a - b).(a2 + ab + b2) - Biết vận dụng các hằng đẳng thức trên để đưa ra những hằng đẳng thức đáng nhớ có chứa căn ở lớp 9 (theo thứ tự) để tác động học sinh trong quá trình giảng dạy: 1) a �2 ab b a�b 2) a �2 a 1 a �1 2 2 3) a b a b a b . a b 2 2 4) a a �b b a � b ( a � b ). a m ab b 3 3 5) 1 � a a 13 � a (1 � a ). 1 m a a 3 6) a b �b a ab ( a � b ) 7) a � a a ( a �1) Chú ý: + Các biểu thức chứa chữ đều có nghĩa. + Hằng đẳng thức số 4; 5 ở lớp 8 ít được sử dụng ở lớp 9, nên chúng tôi không đưa vào phần ghi nhớ ở lớp 9. 5 4. Vấn đề nghiên cứu: Việc sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn một số biểu thức có chứa căn thức bậc hai trong chương I Đại số 9 có rèn luyện được kĩ năng, phương pháp giải toán chứa căn thức bậc hai cho học sinh lớp 91 trường Trung học cơ sở Truông Mít, huyện Dương Minh Châu, Tây Ninh hay không? 5. Giả thuyết nghiên cứu: Có, việc sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn một số biểu thức có chứa căn thức bậc hai trong chương I Đại số 9 có rèn luyện được kĩ năng, phương pháp giải toán chứa căn thức bậc hai cho học sinh lớp 91 trường Trung học cơ sở Truông Mít, huyện Dương Minh Châu, Tây Ninh. 6 III. PHƯƠNG PHÁP 1. Khách thể nghiên cứu: Khách thể được sử dụng để thực hiện đề tài là học sinh lớp 9 1 và 93 trường Trung học cơ sở Truông Mít do thầy Đặng Quốc Cường trực tiếp giảng dạy vì các đối tượng này có nhiều thuận lợi cho việc nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng cả về phía đối tượng học sinh và giáo viên. * Học sinh: Hai lớp 91, 93 được chọn tham gia nghiên cứu có nhiều điểm tương đồng nhau: + Về giới tính và địa bàn cư trú: Bảng 1: Số HS Lớp Địa bàn cư trú TS Nam Nữ Thuận An Thuận Bình Lớp 91 37 16 21 10 Lớp 93 37 18 19 11 Thuận Hòa Thuận Tân 12 8 7 13 7 6 + Về ý thức học tập của học sinh ở hai lớp: Đa số học sinh đều ngoan, tích cực, chủ động, sáng tạo. Bên cạnh đó cả hai lớp vẫn còn nhiều học sinh học yếu, kém, cụ thể qua kết quả khảo sát đầu năm của trường kết quả như sau: Bảng 2: Kém Lớp Yếu TS TL% TS Lớp 91 Trung Khá bình TL% TS TL% TS Giỏi TL% TS TL% TS 7 7 18.9 12 32.4 18. 8 21.6 9 7 3 8.1 Trên TB 18 48. 6 TL% Lớp 93 6 16.2 11 29.7 8 21.6 8 21.6 4 10.8 20 54.1 2. Thiết kế nghiên cứu: Chọn lớp 91 là lớp thực nghiệm (TN), lớp 93 là lớp đối chứng (ĐC). Tiến hành làm bài kiểm tra trước tác động, dùng bài kiểm tra 30 phút làm bài kiểm tra trước tác động sau khi dạy xong tiết 8 bài 6 Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai và tiết 9 Luyện tập, kết quả như sau: 8 Bảng 3: Thống kê điểm kiểm tra trước tác động Kém TS Lớp Yếu TL% TS Trung bình TL% TS Khá TL% TS Giỏi TL% TS TL % Lớp 91 0 0 14 37.8 14 37.8 6 16.2 3 8.1 Lớp 93 0 0 11 29.7 20 54.1 4 10.8 2 5.4 Kết quả kiểm tra cho thấy điểm trung bình của hai nhóm có sự khác nhau. Do đó chúng tôi dùng phép kiểm chứng T-Test độc lập để kiểm chứng sự chênh lệch giữa điểm số trung bình của hai nhóm trước khi tác động. Bảng 4: Kiểm chứng để xác định các nhóm tương đương: Điểm trung bình Nhóm đối chứng (93) Nhóm thực nghiệm (91) 5.4 5.3 Giá trị p= 0.869734 Kết quả kiểm tra (p=0.869734 > 0.05) cho thấy sự chênh lệch điểm số trung bình của cả hai nhóm thực nghiệm và đối chứng là không có ý nghĩa. Từ đó, kết luận được kết quả học tập của hai lớp trước tác động là tương tương. Sử dụng thiết kế 2: Kiểm tra trước và sau tác động đối với các nhóm tương đương. Sau khi học xong chương I Đại số 9, giáo viên tiến hành cho làm bài kiểm tra 30 phút và lấy kết quả làm kết quả bài kiểm tra sau tác động. Bảng 5: Bảng thiết kế nghiên cứu Lớp KT trước Tác động tác động 9 KT sau tác động Lớp 91 (TN) Sử dụng thường xuyên hằng đẳng thức 5.3 có chứa căn để rút gọn một số biểu 7.1 thức có chứa căn thức bậc hai Giảng dạy bình thường và ít tác động Lớp 93 (ĐC) các hằng đẳng thức có chứa căn để rút 5.4 gọn một số biểu thức có chứa căn thức 5.8 bậc hai Ở thiết kế này, chúng tôi sử dụng phép kiểm chứng T-Test độc lập. 3. Quy trình nghiên cứu: 3.1. Chuẩn bị của giáo viên: - Giáo viên dạy lớp 93 (Lớp đối chứng): Thiết kế bài học ở các tiết 10, 11, 12, 13, 15, 16 ít tác động các hằng đẳng thức có chứa căn để rút gọn một số biểu thức có chứa căn thức bậc hai. - Giáo viên dạy lớp 91 (Lớp thực nghiệm): Thiết kế bài học ở các tiết 10, 11, 12, 13, 16 tác động thường xuyên các hằng đẳng thức có chứa căn để rút gọn một số biểu thức có chứa căn thức bậc hai. - Giáo viên chuẩn bị các bài tập ở sách giáo khoa lớp 9 và sách bài tập (Tập 1), một số bài tập trong đề cương ôn thi học kì về rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai. Sau đây là một số bài tập chúng tôi đã lựa chọn giảng dạy cho học sinh: * Bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập Bài tập 64Chứng minh các đẳng thức sau: 2 a) � � � 1 a a 1 a � � � �1 a a � � �1 a � � 1 � � � � ( a �0; a �1) Nhận xét: Bài toán cho gồm có các hằng đẳng thức sau: 1 a a 13 a 1 a . 1 a a 3 1 a 12 a 1 a . 1 a 2 10 Tương tự hằng đẳng thức số 5; 3 lớp 9. Áp dụng vào bài toán, ta biến đổi vế trái. Giải 2 � � � 1 a a 1 a � VT � a � � �1 a � �1 a � � � � � � 2 �1 a . 1 a a �� � 1 a � � a �� . � �� 1 a 1 a . 1 a � � �� � 2 � 1 � 1 2 a a .� 1 a � � � 2 Đến đây, ta lại thấy xuất hiện hằng đẳng thức: 1 2 a a 1 a tương tự hằng đẳng thức số 1 lớp 9. Tiếp tục biến đổi ta được kết quả: 2 VT 1 a . b) ab b2 1 1 a 2 1 VP a 2b 4 a a 2 2ab b 2 (đpcm) với a+b >0 và b �0 Nhận xét: a 2 2ab b2 a b hằng đẳng thức số 1 lớp 8. Áp dụng vào 2 bài toán ta biến đổi vế trái: Giải ab a 2b 4 VT b2 a 2 2ab b 2 ab b2 a 2b 4 a b 2 a b ab . b2 a b 2 ab b a . b2 a b 2 11 a VP (vì a + b >0) (đpcm) Bài 65Rút gọn rồi so sánh giá trị của M với 1, biết: 1 � a 1 � 1 M � ( a 0 va #a �1) �: a a a 1 a 2 a 1 � � Nhận xét: a a a ( a 1) và a 2 a 1 2 a 1 có dạng hằng đẳng thức số 7 và 2 lớp 9. Áp dụng vào bài toán: Giải 1 � a 1 � 1 M � �: a 1 �a 2 a 1 �a a � � 1 1 � � : � a a 1 a 1 � � � � � 1 a � � : � a a 1 � � � � � 1 a � � . � a a 1 � � � a 1 a 1 2 a 1 a 1 a 1 2 2 a 1 a 1 1 1 1 a a Vi # a 0 Bài 75Chứng minh các đẳng thức sau: c) a b b a 1 : a b ab a b d) � a a �� a a � 1 .� 1 � � � � � � � 1 a a 1 a 1 � �� � ( a, b 0 ; a �b) ( a �0 va #a �1) Nhận xét: Hai câu trên gồm có các hằng đẳng thức số 6 và 7 lớp 9: a b b a ab a b 12 a� a a a �1 Áp dụng vào bài toán, ta biến đổi vế trái còn gặp thêm dạng hằng đẳng thức số 3 lớp 9: Giải: c) a b b a 1 : ab a b VT ab a b ab a b a b . 2 . a b a b 2 a b VP (đpcm) � a a �� a a � VT � 1 .� 1 � � � � � a 1 a 1 � � �� � � a a 1 �� a a 1 � � 1 .� 1 � � � a 1 a 1 � �� d) 1 a . 1 a 12 � � � � 2 a 1 a VP (đpcm) Bài 86Cho biểu thức: � 1 Q� � a 1 1 �� a 1 a 2 � :� � a� a 1 � �� � a 2 � (a 0; a �4 ; a �1) a) Rút gọn Q b) Tìm giá trị của a để Q dương Nhận xét: Sau khi quy đồng mẫu thức, ta thấy xuất hiện dạng hằng đẳng thức số 3 lớp 8 a 2 a 2 a4 13 Giải: � 1 a) Q � � a 1 1 �� a 1 a 2� :� � � a �� a 1 � � a 2 � � a a 1 �� a 1 a 1 �� Q� : � a a 1 �� a 2 � �� � �� � a a 1 �� a 1 a 4 � � Q : � a a 1 �� a 2 a 1 � � �� � Q 1 : a a 1 Q 1 : a a 1 Q Q 1 . a a 1 a 1 � a 2 � � � a 1 a 4 a 2 a 1 3 a 2 a 2 a 1 a 1 3 a 2 3 a Q0 b) a 2 � vì 3 a 0 a 2 0 3 a ( a 0) a 2 0 Nên � � a 2 a 4 Bài 105Chứng minh các đẳng thức (với a, b không âm và a �b ) a) a b a b 2b 2 b 2 a 2 b 2 a 2 b ba a b 2 �a a b b � �a b� b) � ab � � � a b � � a b � � 1 � � � � 14 Nhận xét: Bài toán cho dưới dạng hằng đẳng thức số 3 và 4 lớp 9 kết hợp với quy tắc đổi dấu. Áp dụng vào bài toán, biến đổi vế trái rồi áp dụng hằng đẳng thức số 1 để biến đổi: 15 Giải: a b a b 2b 2 a 2 b 2 a 2 b ba a ) VT a b a b 2b 2( a b ) 2( a b ) a b a b 2 a b 2 a b 2 4b (a 2 ab b) ( a 2 ab b) 4b 2 a b a 2 ab b a 2 ab b 4b 2 a b 4 ab 4b 2 a b 4 b 2 a b a b 2 b a b a b VP (đpcm) 2 �a a b b �� a b � b) VT � ab � � � a b �� � � � �� a b � 2 � a 3 b 3 �� � a b �� � � � a b ab �� a b a b � � �� � � � 2 � a b a ab b �� � a b � � � � ab � � � a b a b a b � � �� � 2 � 1 � a ab b ab � � �a b� 16 2 � 1 � a 2 ab b � � �a b� 1 2 a b . a b 1 VP 2 (đpcm) Bài 106Cho biểu thức: A 2 a b 4 ab a b b a a b ab a) Tìm điều kiện để A có nghĩa b) Khi A có nghĩa. Chứng tỏ giá trị của A không phụ thuộc vào a Nhận xét: Bài toán đã cho gồm có hằng đẳng thức sau: a �2 ab b a� b 2 a b b a ab ( a b ) Áp dụng vào giải toán Giải: A a b 2 4 ab a b aĐK ) a :b ; a0; b� a b b a ab 2 a b 4 ab a b b a b) A a b ab a 2 ab b 4 ab ab a b a b ab a 2 ab b a b a b 17 a b 2 a b a b a b a b a b a b 2 b Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào a. Bài 107Cho biểu thức: � �2 x 1 ��1 x3 x � � B� x� �1 x � � 3 x x 1 � � x 1 �� � ( x �0 ; x �1) a) Rút gọn B b) Tìm x để B = 3 Nhận xét: Bài toán đã cho gồm có hằng đẳng thức sau: x3 1 x 1 x x 1 1 x3 1 x 1 x x Áp dụng vào giải toán Giải: a) � � �2 x 1 � x 1 x3 B� x � � � � x3 1 x x 1 � �1 x � � � � � � ��1 x 1 x x � 2 x 1 x �� B � . x� � x 1 x x 1 x x 1 �� � 1 x � �� � B B . 1 x 1 x x 1 2 x 1 x x 1 x x x 2x 1 x x . 1 2 x x x 1 x x 1 18 B b) 2 x x 1 . 1 x x 1 x 1 x x 1 B 3 � x 1 3 � x 4 � x 16 * Bài tập trong đề cương ôn thi học kì Bài 1. Rút gọn: P x xy y x y x y 2 ( x 0, y 0) Nhận xét: Trong bài toán có thể áp dụng hằng đẳng thức sau: x xy y x y x xy y . Áp dụng vào giải toán 19 Giải: P x xy y x y x y 3 x x y xy y x y 2 3 x y x y x y 2 x2 x xy y x 2 xy y xy y x xy y x 2 xy y xy Bài 2. Chứng minh đẳng thức 1 � a 1 a 1 �1 : � � �a a a 1 �a 2 a 1 a ( a 0 ; a �1) Nhận xét: Bài toán đã cho gồm có hằng đẳng thức sau: a a a a 1 a 2 a 1 a 1 2 Áp dụng vào bài toán, ta biến đổi vế trái Giải: 1 � a 1 � 1 VT � �: a a a 1 � �a 2 a 1 � � 1 1 � a 1 � : 2 � a a 1 a 1 � a 1 � � 20 Tải về bản full
|
