Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số là một dạng toán quan trọng trong đề thi THPT các năm. Top lời giải hướng dẫn chi tiết nhất cách giải dạng toán đồng biến, nghịch biến trên R qua bài viết sau:
1. Định lí về tính đồng biến nghịch biến
Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm trên khoảng [a;b]. Khi đó hàm số sẽ đồng biến và nghịch biến với:
- Hàm số y = f[x] đồng biến trên khoảng [a;b] khi và chỉ khi f’[x] ≥ 0 với mọi giá trị x thuộc khoảng [a;b]. Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.
- Hàm số y = f[x] nghịch biến trên khoảng [a;b] khi và chỉ khi f’[x] ≤ 0 với mọi giá trị x thuộc khoảng [a;b]. Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.
Một số trường hợp cụ thể chúng ta cần phải nhớ về điều kiện đơn điệu trên R:
Đối với hàm số đa thức bậc 1:
– Hàm số y = ax + b [a ≠ 0] đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi a > 0
– Hàm số y = ax + b [a ≠ 0] nghịch biến trên ℝ khi và chỉ khi a < 0
Đối với hàm số đa thức bậc 3:
Đây là dạng bài toán thường gặp đối với hàm số đa thức bậc 3, hơn 90% các bài viết đều áp dụng cho hàm số bậc 3. Nên ta sẽ áp dụng như sau:
Xét hàm số y = ax3+ bx2+ cx + d⇒ y’ = 3ax2+ 2bx + c
– TH1: a = 0 [nếu có tham số]
– TH2: a ≠ 0
Hàm số đa thức bậc chẵn không thể đơn điệu trên R được.
Ví dụ 1:
Cho hàm số y = x³ + 2[m-1]x² + 3x -2. Tìm m để hàm đã cho đồng biến trên R.
Lời giải:
Để y = x³ + 2[m-1]x² + 3x - 2 đồng biến trên R thì [m-1]² - 3.3 ≤ 0⇔ -3 ≤ m - 1 ≤3 ⇔ -2 ≤ m ≤ 4.
Các bạn cầnlưu ývới hàm đa thức bậc 3 có chứa tham số ở hệ số bậc cao nhất thì chúng ta cần xét trường hợphàm số suy biến.
Ví dụ 2:
Cho hàm số y = mx³ -mx² - [m + 4 ]x + 2. Xác định m để hàm số đã cho nghịch biến trên R.
Lời giải:
Ta xét trường hợp hàm số suy biến. Khi m = 0, hàm số trở thành y = -x + 2. Đây là hàm bậc nhất nghịch biến trên R. Vậy m = 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với m ≠ 0, hàm số là hàm đa thức bậc 3. Do đó hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi m < 0 đồng thời m² + 3m[m+4] ≤ 0. Giải các điều kiện ra ta được -3 ≤ m 0 ở đâu thì hàm số đồng biến ở đấy.
+] f’[x] < 0 ở đâu thì hàm số nghịch biến ở đấy.
Quy tắc:
+] Tính f’[x], giải phương trình f’[x] = 0 tìm nghiệm.
+] Lập bảng xét dấu f’[x]
+] Dựa vào bảng xét dấu và kết luận.
Ví dụ 1. Cho hàm số f[x] đồng biến trên tập số thực ℝ, mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Với mọi x1> x2∊ ℝ⇒ f [x1] < f [x2]
B. Với mọi x1, x2∊ ℝ⇒ f [x1] > f [x2]
C. Với mọi x1, x2∊ ℝ⇒ f [x1] < f [x2]
D. Với mọi x1< x2∊ ℝ⇒ f [x1] < f [x2]
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D.
Ta có: f[x] đồng biến trên tập số thực ℝ.
⇒ x1< x2∊ ℝ⇒ f [x1] < f [x2]
Ví dụ 2. Cho hàm số f[x] = -2x3+ 3x2– 3x và 0 ≤ a < b. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hàm số nghịch biến trên ℝ
B. f [a] > f [b]
C. f [b] < 0
D. f [a] < f [b]
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D.
Ta có: f’[x] = -6x2+ 6x – 3 < 0,∀ x∊ ℝ
⇒ Hàm số nghịch biến trên ℝ.
0 ≤ a < b⇒ f [0] ≥ f [a] > f [b]
Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số m
Kiến thức chung
+] Để hàm số đồng biến trên khoảng [a;b] thì f’[x] ≥ 0,∀ x∊ [a;b].
+] Để hàm số nghịch biến trên khoảng [a;b] thì f’[x] ≤ 0,∀ x∊ [a;b].
. Có TXĐ là tập D. Điều kiện như sau:
Chú ý:Cho hàm số y = ax3+ bx2+ cx + d
+] Khi a > 0 để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng k⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2sao cho |x1– x2| = k
+] Khi a < 0 để hàm số đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng k⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho |x1– x2| = k
Ví dụ 1. Hàm số y = x3– 3x2+ [m – 2] x + 1 luôn đồng biến khi:
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A.
Ta có: y’ = 3x2– 6x + m – 2
Hàm số đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi y’ = 3x2– 6x + m – 2 ≥ 0,∀ x∊ ℝ
⇔ ∆’ ≤ 0⇔ 15 – 3m ≤ 0⇔ m ≥ 5
Ví dụ 2. Hàm số y = ⅓x3– mx2– [3m + 2] x + 1 đồng biến trên ℝ khi m bằng
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
Ta có: y’ = x2– 2mx – 3m + 2
Hàm số đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi y’ = x2– 2mx – 3m + 2 ≥ 0,∀ x∊ ℝ
⇔ ∆’ ≤ 0⇔ m2+ 3m + 2 ≤ 0⇔ -2 ≤ m ≤ -1
Dạng 3: Xét tính đơn điêu hàm số trùng phương
- Bước 1: Tìm tập xác định
- Bước 2: Tính đạo hàm f’[x] = 0. Tìm các điểm xi[i= 1, 2,… n] mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
- Bước 3: Sắp xếp các điểm xitheo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
- Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Ví dụ 1. Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau:y = x4– 2x2+ 1
Hàm số xác định với mọi x∊ ℝ
y’ = 4x3– 4x = 4x [x2– 1]
Cho y’ = 0⇒ x = 0 hoặc x = -1 hoặc x = 1
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên suy ra:
- Hàm số đồng biến trên các khoảng [-1;0] và [1; +∞].
- Hàm số nghịch biến trên các khoảng [-∞; -1] và [0;1]
Ví dụ 2. Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau:y = -x4+ x2– 2
Hàm số xác định với mọi x∊ ℝ
y’ = -4x3+ 2x = 2x [-2x2+ 1]
Cho y’ = 0⇒ x = 0 hoặcx = -√2/2 hoặc x = √2/2
Bảng biến thiên:
Ví dụ 3. Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau: y = ¼x4+ 2x2– 1
Hàm số xác định với mọi x∊ ℝ
y’ = x3+ 4x = x [x2+ 4]
Cho y’ = 0⇒ x = 0 [do x2+ 4 = 0 vô nghiệm]
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên suy ra:
- Hàm số đồng biến trên khoảng [0; +∞]
- Hàm số nghịch biến trên khoảng [-∞; 0]
Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R là tài liệu vô cùng hữu ích mà Download.vn muốn giới thiệu đến quý thầy cô cùng các bạn lớp 12 tham khảo.
Các bài tập tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R được biên soạn theo mức độ từ dễ đến khó theo chương trình toán lớp 12 giúp bạn đọc dễ dàng tiếp cận nhất. Thông qua tài liệu này các bạn nhanh chóng nắm vững kiến thức, giải nhanh được các bài tập Toán 12. Bên cạnh đó các bạn tham khảo thêm Bài tập trắc nghiệm sự đồng biến và nghịch biến của hàm số.
- Định lí: Cho hàm số
+ Hàm số đồng biến trên khoảng
+ Hàm số nghịch biến trên khoảng khi và chỉ khi
- Để giải bài toán này trước tiên chúng ta cần biết rằng điều kiện để hàm số y=f[x] đồng biến trên R thì điều kiện trước tiên hàm số phải xác định trên
+ Giả sử hàm số y=f[x] xác định và liên tục và có đạo hàm trên . Khi đó hàm số y=f[x] đơn điệu trên khi và chỉ khi thỏa mãn hai điều kiện sau:
- Hàm số y=f[x] xác định trên .
- Hàm số y=f[x] có đạo hàm không đổi dấu trên .
+ Đối với hàm số đa thức bậc nhất:
- Hàm số y = ax + b đồng biến trên khi và chỉ khi a > 0.
- Hàm số y = ax + b nghịch biến trên khi và chỉ khi a < 0.
- Đây là dạng bài toán thường gặp đối với hàm số đa thức bậc 3. Nên ta sẽ áp dụng như sau:
Xét hàm số TH1: TH2: + Hàm số đồng biến trên + Hàm số nghịch biến trên |
Chú ý: Hàm số đa thức bậc chẵn không thể đơn điệu trên R được.
- Các bước tìm điều kiện của m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên
Bước 1. Tìm tập xác định .
Bước 2. Tính đạo hàm y’ = f’[x].
Bước 3. Biện luận giá trị m theo bảng quy tắc.
Bước 4. Kết luận giá trị m thỏa mãn.
II. Ví dụ minh họa tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R
Ví dụ 1: Cho hàm số
Hướng dẫn giải
Ta có:
Hàm số nghịch biến trên
Đáp án B
Ví dụ 2: Cho hàm số
Hướng dẫn giải
Ta có:
TH1:
TH2:
Đáp án D
Ví dụ 3: Tìm m để hàm số
Hướng dẫn giải
Để hàm số đồng biến trên thì:
Đáp án A
Ví dụ 4: Cho hàm số
Hướng dẫn giải
Tập xác định:
Tính đạo hàm:
TH1: Với m = 1 ta có
Vậy m = 1 không thỏa mãn điều kiện đề bài.
TH2: Với ta có:
Hàm số luôn nghịch biến
Ví dụ 5: Tìm m để hàm số
Hướng dẫn giải
Tập xác định:
Đạo hàm:
TH1: Với m = -3
Vậy m = -3 hàm số nghịch biến trên
TH2: Với
Hàm số nghịch biến trên khi
II. Bài tập tự luyện tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R
Câu 1: Hàm số nào đồng biến trên ?
Câu 2: Cho hàm số
Câu 3: Cho các hàm số sau:
Hàm số nào nghịch biến trên ?
Câu 4: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số
Câu 5: Tìm tất cả các giá trị m để hàm số
Câu 6: Cho hàm số
Câu 7: Cho hàm số y = f[x] = x3 - 6x2 + 9x - 1. Phương trình f[x] = -13 có bao nhiêu nghiệm?
Câu 8: Xác định giá trị của m để hàm số y =
| A. m < -1 | B. m > 2 |
| C. -1 ≤ m ≤ 2 | D.-1 < m < 2 |
Câu 9: Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho hàm số y =
| A. -3 ≤ m ≤ 1 | B. m ≤ 2 |
| C. m ≤ -3; m ≥ 1 | D. -3 < m < 1 |
Câu 10: Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng y = x3 - 3mx2 đồng biến trên
| A. m ≥ 0 | B. m ≤ 0 |
| C. m < 0 | D. m =0 |
Câu 11: Cho hàm số: y =
| A. m > 4 | B. -2 ≤ m ≤ -1 |
| C. m < 2 | D. m < 4 |
Câu 12: Cho hàm số: y = x3 + 2x2 - mx + 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó.
| A. m ≥ 4 | B. m ≤ 4 |
| C. m > 4 | D. m < 4 |
Câu 13: Tìm tham số m để hàm số
| A. m ≥ -1 | B. m ≤ -1 |
| C. m ≤ 1 | D. m ≥ 2 |
Câu 14: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số:
a. y = [m + 2].
b. y = [m - 1]x3 - 3[m - 1]x2 + 3[2m - 3]x + m nghịch biến trên .
Cập nhật: 24/08/2021