- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Quảng cáo
+ Phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình đường tròn nếu:
a2 + b2 - c > 0. Khi đó; phương trình trên là phương trình đường tròn tâm I[a;b] và bán kính R =
+ Phương trình [x - a]2 + [y - b]2 = R2 là đường tròn tâm I[a; b] và bán kính R.
Ví dụ 1. Cho phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 [1] . Điều kiện để [1] là phương trình của đường tròn là
A. a2 + b2 - 4c > 0. B. a2+ b2 - c > 0. C. a2+ b2 - c2 > 0. D. a2+ b2 - 2c > 0.
Lời giải
Ta có: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0
Tương đương: [x - a]2 + [y - b]2 = a2 + b2 - c
Vậy điều kiện để [1] là phương trình đường tròn: a2 + b2 - c > 0.
Chọn B.
Ví dụ 2. Để x2+ y2- ax - by + c = 0 là phương trình đường tròn, điều kiện cần và đủ là
A. 2a2 + 2b2 - c > 0. B. a2 + b2 - 2c > 0. C. a2 + b2 - 4c > 0. D. a2 + b2 + c > 0.
Lời giải
Ta có:
x2 + y2 - ax - by + c = 0 [1]
Vậy điều kiện để [1] là phương trình đường tròn:
- c > 0 hay a2 + b2 - 4c > 0
Chọn C.
Quảng cáo
Ví dụ 3. Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn?
[I] x2 + y2 – 4x + 15y - 12 = 0.
[II] x2 + y2 – 3x + 4y + 20 = 0.
[III] 2x2 + 2y2 - 4x + 6y + 1 = 0 .
A. Chỉ [I]. B. Chỉ [II]. C. Chỉ [III]. D. Chỉ [I] và [III].
Lời giải
Ta xét các phương án:
[I] có: a2 + b2 - c = 4 + + 12 = > 0
[II] có: a2 + b2 - c = + - 20 = - < 0
[III] tương đương : x2+ y2 – 2x - 3y + 0,5 = 0.
phương trình này có: a2 + b2 - c = 1 + - = > 0
Vậy chỉ [I] và [III] là phương trình đường tròn.
Chọn D.
Ví dụ 4. Mệnh đề nào sau đây đúng?
[1] Đường tròn [C1] : x2+ y2 – 2x + 4y - 4 = 0 có tâm I[ 1; -2] bán kính R = 3.
[2] Đường tròn [C2] x2+ y2 – 5x + 3y – 0,5 = 0 có tâm
I[
; -
] bán kính R = 3.
A. Chỉ [1]. B. Chỉ [2]. C. cả hai D. Không có.
Lời giải
Ta có: đường tròn [C1] : a = 1, b = -2 ⇒ I[1; -2]; R = = 3
Vậy [1] đúng
Đường tròn [ C2]: a = , b = - ⇒ I[ ; - ]; R =
Vậy [2] đúng.
Chọn C.
Quảng cáo
Ví dụ 5. Đường tròn 3x2 + 3y2 - 6x + 9y – 9 = 0 có bán kính bằng bao nhiêu ?
A. 2,5 B. 3 C. 2 D. 4
Lời giải
Ta viết lại phương trình đường tròn: x2 + y2 - 2x + 3y - 3 = 0
Suy ra a = 1; b = -1,5 và c = -3 và bán kính R =
Chọn A.
Ví dụ 6. Cho đường tròn [C] : x2 + y2 - 4x + 3 = 0 . Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?
A. tâm I[ 2; 0] B. bán kính R = 1
C. [C] cắt trục 0x tại 2 điểm. D. [C] cắt trục Oy tại 2 điểm.
Lời giải
Cho x= 0 ta được : y2 + 3 = 0 phương trình vô nghiệm.
Vậy [C] không có điểm chung nào với trục tung.
Chọn D.
Ví dụ 7. Cho đường tròn [C] : x2+ y2 + 8x + 6y + 9 = 0. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. [C] không đi qua điểm O. B. tâm I[ -4 ; -3].
C. bán kính R = 4. D. [C] đi qua điểm M[-1 ; 0] .
Lời giải
+Ta có a = -4; b = -3 ; c = 9 và a2 + b2 - c = 16 + 9 - 9 = 16 > 0
Suy ra [C] là đường tròn tâm I[ -4; -3] và R = 4
Vậy B; C đúng.
+ Thay O vào [C] ta có: 02 + 02 + 8.0 + 6.0 + 9 = 0 vô lí . Vậy A đúng.
+ Thay M[ -1; 0] vào [C] ta có: [-1]2 + 02 + 8.[-1] + 6.0 + 9 = 0 [ vô lý]. Vậy D sai.
Chọn D.
Ví dụ 8. Đường tròn x2 + y2 - 10x - 11 = 0 có bán kính bằng bao nhiêu?
A. 6 B. 2 C. 4 D. √6
Lời giải
Ta có hệ số a = 5; b = 0 và c = -11 nên bán kính là R = = 6
Chọn A.
Ví dụ 9: Cho phương trình: x2 + y2 - 2mx + 4y + 4 = 0. Tìm điều kiện của m để phương trình trên là phương trình đường tròn?
A. m > 1 B. m > 0 C. m ≠ 0 D. m > -1 hoặc m < 2
Lời giải
Phương trình x2+ y2 - 2mx + 4y + 4 = 0 có a = m; b = -2 và c = 4.
Để phương trình đã cho là phương trình đường tròn nếu:
a2 + b2 - c > 0 hay m2 + [-2]2 - 4 > 0
⇔ m2 > 0 ⇔ m ≠ 0
Chọn C.
Ví dụ 10: Cho phương trình x2 + y2 - 2mx + 4ny - 4 = 0. Tìm m và n để phương trình trên là phương trình đường tròn tâm I[2; 4]?
A. m = 1; n = -2 B. m = 2; n = -2 C. m = 4; n = -4 D. m = -2; n = 2
Lời giải
Phương trình x2 + y2 - 2mx + 4ny - 4 = 0 có:
a = m; b = -2n và c = -4
Ta có: a2+ b2 - c = m2 + 4n2 + 4 > 0 với mọi m và n.
⇒ Phương trình trên luôn là phương trình đường tròn tâm I[m; -2n].
Để phương trình là phương trình đường tròn tâm I[2; 4] khi và chỉ khi:
Chọn B.
Ví dụ 11. Cho phương trình x2 + y2 + 2x – my + 1 = 0. Tìm m để phương trình đã cho là phương trình đường tròn có bán kính R = 2?
A. m = ± 8 B. m = 6 C. m = 10 D. m = ± 4
Lời giải
Phương trình x2 + y2 + 2x - my + 1 = 0 có:
a = -1; b = và c = 1
Để phương trình trên là phương trình đường tròn nếu: a2+ b2- c > 0
⇔ 1 + - 1 > 0 ⇔ > 0 ⇔ m ≠ 0.
Với điều kiện m ≠ 0 thì phương trình trên là phương trình đường tròn có bán kính là:
R =
Theo đề bài ta có: R = 2 nên = 2
⇔ [ thỏa mãn điều kiện ]
Chọn A.
Ví dụ 12. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của một đường tròn?
A. 4x2 + y2 – 10x - 6y - 22 = 0 B. x2 + y2 - 2x - 8y + 20 = 0
C. x2 + 2y2 - 4y - 8y + 1 = 0 D. x2 + y2 - 4x + 6y - 12 = 0
Lời giải
Xét phương trình dạng : x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 lần lượt tính các hệ số a ; b ; c. Để phương trình trên là phương trình đường tròn điều kiện là a2 + b2 - c > 0 .
+ Xét phương án D : có a = 2 ;b = 3 và c = -12
⇒ a2 + b2 - c = 4 + 9 + 12 = 25 > 0
⇒ Phương trình x2 + y2 - 4x + 6y - 12 = 0 là phương trình đường tròn.
+ Các phương trình 4x2 + y2 - 10x - 6y - 2 = 0 và x2 + 2y2- 4x - 8y + 1 = 0 không có dạng đã nêu loại các đáp án A và C.
+ Phương án x2 + y2 - 2x - 8y + 20 = 0 không thỏa mãn điều kiện a2 + b2 - c > 0.
Chọn D.
Ví dụ 13. Cho phương trình x2 + y2 + 2mx + 2[m-1]y + 2m2 = 0 [1] . Tìm điều kiện của m để [1] là phương trình đường tròn.
A. m < B. m ≤ C. m > 1 D. m = 1
Lời giải
Ta có: trình x2 + y2 + 2mx + 2[m-1]y + 2m2 = 0
⇒ a = -m; b = 1 - m; c = 2m2
Để phương trình trên là phương trình đường tròn thì:
a2 + b2 - c > 0 ⇔ m2 + [ 1 - m]2 - 2m2 > 0
⇔ m2 + 1 - 2m + m2 - 2m2 > 0
⇔ 1 - 2m > 0 ⇔ m <
Chọn A.
Ví dụ 14. Cho phương trình x2 + y2 - 2mx - 4[m - 2]y + 6 - m = 0 [1]. Tìm điều kiện của m để [1] là phương trình đường tròn.
A. đúng mọi m B. m ∈[ -∞; 1] ∪ [ 2; +∞]
C. m ∈ [ -∞; 1] ∪ [2; +∞] D. Đáp án khác
Lời giải
Ta có: x2 + y2 - 2mx - 4[m - 2]y + 6 - m = 0 có:
a = m; b = 2m - 4; c = 6 - m
Để phương trình trên là phương trình đường tròn ⇔ a2 + b2 - c > 0.
⇔ m2 + [ 2m - 4]2 - [6 - m] > 0
⇔ m2 + 4m2 – 16m + 16 – 6 + m > 0
⇔ 5m2 - 15m + 10 > 0 ⇔ m ∈ [ -∞; 1] ∪ [ 2; +∞]
Chọn B.
Câu 1: Đường tròn 2x2 + 2y2 - 8x + 4y - 4 = 0 có tâm là điểm nào trong các điểm sau đây ?
A. [8; -4] B. [ 4; -2] C. [ -4; 2] D. [2; -1 ]
Đáp án: D
Trả lời:
Ta viết lại phương trình đường tròn: x2 + y2 - 4x + 2y- 4 = 0
Ta có:
Câu 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của một đường tròn?
A. x2 + y2 + 2x - 4y + 9 = 0 B. x2 + y2 - 6x + 4y + 13 = 0
C. 2x2 + 2y2 - 8x - 4y - 6 = 0 D. 5x2 + 4y2 + x - 4y + 1 = 0
Đáp án: C
Trả lời:
Ta xét các phương án:
+Phương án D loại vì không có dạng x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0
+Phương án A : có a = -1 ; b = 2 và c = 9
⇒ a2 + b2 - c = 1 + 4 - 9 = - 4 < 0
⇒ Phương án A không là phương trình đường tròn.
+ Phương án B : có a = 3; b = -2 ; c = 13
⇒ a2 + b2 - c = 9 + 4 - 13 = 0
⇒ loại B.
+ Phương án C:
2x2 + 2y2 - 8x - 4y - 6 = 0 ⇔ x2 + y2 - 4x - 2y - 3 = 0
Có a = 2; b = 1; c = -3
⇒a2 + b2 - c = 4 + 1 + 3 = 8 > 0
⇒ Đây là phương trình đường tròn
Câu 3: Cho đường cong [C] : x2 + y2 - 8x + 10y + m = 0. Với giá trị nào của m thì [C] là đường tròn có bán kính bằng 7 ?
A. m = 4 B. m = 8 C. m = -8 D. m = -2
Đáp án: C
Trả lời:
Ta có a = 4; b = - 5 và c = m.
Bán kính đường tròn là: R =
Để bán kính đường tròn là 7 thì: = 7 ⇔ = 7.
⇔ 41 - m = 49 ⇔ m = -8
Câu 4: Phương trình x2 + y2 - 2[m + 1]x - 2[m + 2]y + 6m + 7 = 0 là phương trình đường tròn khi và chỉ khi
A. m < 0 B. m < 1 C. m > 1 D. m < - 1 hoặc m > 1.
Đáp án: D
Trả lời:
Ta có:
x2 + y2 - 2[m + 1]x - 2[m + 2]y + 6m + 7 = 0[1]
⇔ x2 - 2[m + 1]x + [m + 1]2 + y2 - 2[m + 2]y + [m + 2]2 - [m + 1]2 - [m + 2]2 + 6m + 7 = 0
⇔ [x - [m + 1]]2 + [y - [m + 2]]2 = 2m2 - 2]
Vậy điều kiện để [1] là phương trình đường tròn: 2m2 - 2 > 0 ⇔
Câu 5: Tìm m để phương trình x2 + y2 - 2mx + 4y + 8 = 0 không phải là phương trình đường tròn.
A. m < - 2 hoặc m > 2. B. m > 2 C. -2 ≤ m ≤ 2 D. m < - 2
Đáp án: C
Trả lời:
Ta có: x2 + y2 - 2mx - 4y + 8 = 0[1]
⇔ x2 - 2mx + m2 + y2 - 2.2.y + 22 - m2 - 22 + 8 = 0 ⇔ [x - m]2 + [y - 2]2 = m2 - 4
Vậy điều kiện để [1] không phải là phương trình đường tròn:
m2 - 4 ≤ 0 ⇔ -2 ≤ m ≤ 2
Câu 6: Cho hai mệnh đề
[I] [x - a]2 + [y - b]2 = R2 là phương trình đường tròn tâm I [a; b] , bán kính R.
[II] x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình đường tròn tâm I[a; b].
Hỏi mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ [I]. B. Chỉ [II].
C. Cả [I] và [II] đều sai. D. Cả [I] và [II].
Đáp án: A
Trả lời:
[I] đúng, [II] sai vì thiếu điều kiện a2 + b2 - c > 0.
Câu 7: Mệnh đề nào sau đây đúng?
[I] Đường tròn [C1] có tâm I[ 1; -2] bán kính R = 3.
[II] Đường tròn [C2] có tâm bán kính R = 3.
A. Chỉ [I]. B. Chỉ [II]. C. [I] và [II]. D. Không có.
Đáp án: C
Trả lời:
Ta có: đường tròn [C1] : a = 1, b = -2 ⇒ I[1; -2]; R = = 3
Vậy [1] đúng
Đường tròn [ C2]: a = , b = - ⇒ I[ ; - ]; R = = 3
Vậy [2] đúng.
Câu 8: Cho đường tròn [C]: x2 + y2 + 8x + 6y + 9 = 0. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. [ C] không đi qua điểm O[0 ; 0] . B. [ C] có tâm I[ -4 ; -3] .
C. [ C] có bán kính R = 4. D. [ C ] đi qua điểm M[ -1 ; 0] .
Đáp án: D
Trả lời:
Đường tròn [ C]có:
a = -4, b = -3 ⇒ I[-4; -3]; R =
Thay O[0; 0] vào [ C] ta có: 02 + 02 + 8.0 + 6.0 + 9 = 0 ⇔ 9 = 0 [ vô lý].
⇒ đường tròn [ C] không đi qua điểm O . Vậy A đúng.
Thay M[ -1; 0] vào [ C] ta có: [-1]2 + 02 + 8.[-1] + 6.0 + 9 = 0 ⇔ 2 = 0 [ vô lý].
⇒ Đường tròn [ C] không đi qua điểm M[ -1; 0] . Vậy D sai.
Câu 9: Cho đường tròn [C]2x2 + 2y2 - 4x + 8y + 1 = 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. [ C] không cắt trục Oy. B. [ C] cắt trục Ox tại hai điểm.
C. [ C] có tâm I [2 ; -4] . D. [ C] có bán kính R = √19 .
Đáp án: B
Trả lời:
+ Ta viết lại phương trình đường tròn[C] ⇔ x2 + y2 - 2x + 4y + = 0
⇒ a = 1, b = -2 ⇒ I[1; -2]; R =
Vậy C; D sai.
+ Cho x = 0 thì [C]: 2y2 + 8y + 1 = 0 ⇔ y = hoặc y =
Do đó [ C] cắt trục Oy tại hai điểm phân biệt. Vậy A sai
+ Cho y = 0 thì [C]: 2y2 + 8y + 1 = 0 ⇔ y = hoặc y =
Do đó [ C] cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt. Vậy B đúng
Câu 10: Đường tròn x2 + y2 – 6x - 8y = 0 có bán kính bằng bao nhiêu ?
A. 10 B. 25 C. 5 D. √10.
Đáp án: C
Trả lời:
Đường tròn x2 + y2 - 6x - 8y = 0 có a = 3; b = 4 và c = 0
⇒ a2 + b2 – c = 9 + 16 - 0 = 25 > 0
⇒ Phương trình đã cho là phương trình đường tròn có bán kính là:
R = = 5 .
Câu 11: Đường tròn x2 + y2 – 5y = 0 có bán kính bằng bao nhiêu ?
A. √5 B. 25 C. D.
Đáp án: C
Trả lời:
Đường tròn có a = 0; b = và c = 0.
⇒ Bán kính đường tròn là : R = =
Câu 12: Đường tròn x2 + y2 + - √3 có tâm là điểm nào trong các điểm sau đây ?
A. [0; ] B. [- ; 0] C. [√2; √3] D. [ ; 0]
Đáp án: B
Trả lời:
Ta có:
Câu 13: Đường tròn 2x2 + 2y2 – 8x + 4y - 1 = 0 có tâm là điểm nào trong các điểm sau đây?
A. [-2; 1] B. [8; -4] C. [-8; 4] D. [2; -1]
Đáp án: D
Trả lời:
Ta có [ C] : 2x2 + 2y2 - 8x + 4y - 1 = 0 ⇔ x2 + y2 - 4x + 2y - = 0
⇒ a = 2; b = - 1 nên tâm đường tròn là I [ 2; -1] .
Câu 14: Cho phương trình: x2 + y2 - 8mx + 6y + 9 = 0. Tìm điều kiện của m để phương trình trên là phương trình đường tròn?
A. m > 1 B. m > 0 C. m ≠ 0 D. m > -1 hoặc m < 2
Đáp án: C
Trả lời:
Phương trình x2 + y2 - 8mx + 6y + 9 = 0 có a = 4m; b = -3 và c = 9.
Để phương trình đã cho là phương trình đường tròn nếu:
a2 + b2 - c > 0 hay [4m]2 + [-3]2 - 9 > 0
⇔ 16m2 > 0 ⇔ m ≠ 0
Câu 15: Cho phương trình x2 + y2 - 6mx + 8ny - 1 = 0. Tìm m và n để phương trình trên là phương trình đường tròn tâm I[-6; 8]?
A. m = 1; n = -2 B. m = -2; n = -2 C. m = 4; n = -4 D. m = -2; n = 2
Đáp án: B
Trả lời:
Phương trình x2 + y2 - 6mx + 8ny - 1 = 0 có:
a = 3m; b = -4n và c = -1
Ta có: a2 + b2 - c = 9m2 + 16n2 + 1 > 0 với mọi m và n.
⇒ Phương trình trên luôn là phương trình đường tròn tâm I[3m; -4n].
Để phương trình là phương trình đường tròn tâm I[2; 4] khi và chỉ khi:
Câu 16: Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn ?
A. x2 + y2 - x - y + 9 = 0. B. x2 + y2 - x = 0
C. x2 + y2 - 2xy – 1 = 0 D. x2 - y2 - 2x + 3y - 1 = 0
Đáp án: B
Trả lời:
Loại C vì có số hạng -2xy.
Phương án A: a = b = , c = 9 ⇒ a2 + b2 - c < 0 nên không phải phương trình đường tròn.
Phương án D: loại vì có – y2 .
Phương án B: a = ,b = 0, c = 0 ⇒ a2 + b2 - c > 0 nên là phương trình đường tròn.
Câu 17: Cho phương trình x2 + y2 - 2x + 2my + 10 = 0 [1]. Có bao nhiêu giá trị m nguyên dương không vượt quá 10 để [1] là phương trình của đường tròn?
A. Không có. B. 6 C. 7 D. Vô số
Đáp án: C
Trả lời:
Phương trình : x2 + y2 - 2x + 2my + 10 = 0 có : a = 1;b = -m và c = 10
Để phương trình trên là phương trình đường tròn khi và chỉ khi:
a2 + b2 - c > 0 ⇔ 1 + m2 - 10 > 0
⇔ m2 - 9 > 0 ⇔
⇒Các giá trị m nguyên dương không vượt quá 10 để [1] là phương trình của đường tròn là : m ∈ { 4; 5; 6; 7; … ; 10}
Câu 18: Cho phương trình x2 + y2 - 2[m + 1]x + 4y - 1 = 0 [1]. Với giá trị nào của m để [1] là phương trình đường tròn có bán kính nhỏ nhất?
A. m = 2 B. m = -1 C. m = 1 D. m = -2
Đáp án: B
Trả lời:
Phương trình x2 + y2 - 2[m + 1]x + 4y - 1 = 0 có hệ số:
a = m + 1; b = - 2 và c = -1
Để [1] là phương trình đường tròn thì: a2 + b2 - c > 0
⇔ [m + 1]2 + 4 + 1 > 0 ⇔[m + 1]2 + 5 > 0 luôn đúng với mọi m vì [m + 1]3 ≥0
Vậy với mọi m [ 1] luôn là phương trình đường tròn có bán kính :
R =
⇒ Rmin khi và chỉ khi [m + 1]2 + 5 min
⇔ m + 1 = 0 hay m = -1
Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
phuong-phap-toa-do-trong-mat-phang.jsp