Điểm \[A\] không nằm trên đường thẳng \[d\], kẻ một đường thẳng vuông góc với \[d\]tại \[H\]. Lấy \[B\] không trùng với \[H\] trên \[d\], khi đó
+ \[AH\]gọi là đoạn thẳng vuông góc hay đường vuông góc
+ \[H\] gọi là chân đường vuông góc hay hình chiếu của \[A\] trên \[d\]
+ \[AB\] gọi là đường xiên kẻ từ \[A\] đến \[d\].
2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên
Định lý 1. Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.
\[AH\bot a\Rightarrow AHAB\]
+ Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn.
\[AH\bot a,AD>AB\Rightarrow HD>HB\]
+ Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngược lại, nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.
\[AD=AC\Leftrightarrow HD=HC\]
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: So sánh hai đường xiên hoặc hai hình chiếu
Cách giải: Vận dụng định lí 2.
Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó:
+ Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.
+ Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn.
+ Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngược lại, nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.
Dạng 2: Chỉ ra hai đường xiên bằng nhau hoặc hai hình chiếu bằng nhau
Cách giải: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó. Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngược lại, nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.
Dạng 3: Quan hệ giữ đường vuông góc và đường xiên
Cách giải: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc luôn ngắn hơn đường xiên.
Các bài toán thường gặp:
Bài toán 1: So sánh các hình chiếu khi biết mối quan hệ giữa các đường xiên trong tam giác.
Bài toán 2: So sánh các cạnh trong tam giác khi biết số đo hai góc
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 8. [SGK Toán 7 tập 2 trang 59]
Hướng dẫn:
Để so sánh hai hình chiếu ta làm như sau:
– Tìm hai đường xiên tương ứng với hai hình chiếu đó.
– Đường xiên nào lớn hơn thì hình chiếu của nó lớn hơn. Hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau.
Giải:
Ta có \[AH\bot BC\] nên \[HB\] và \[HC\] lần lượt là hình chiếu của \[AB\] và \[AC\] lên \[BC\].
Vì \[AB