c, $\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\geq \frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}$ (với a, b, c là các số dương)

d, $\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b}\geq \frac{(x+y)^{2}}{a+b}$ (với a, b, c là các số dương và x, y, z là các số thực tùy ý)

3. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si chứng minh các bất đẳng thức sau, với a, b, c là các số dương:

a, $(a+b)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )\geq 4$

b, $(1+ab)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )\geq 4$

c, $\left ( 1+\frac{a}{b} \right )\left ( 1+\frac{b}{c} \right )\left ( 1+\frac{c}{a} \right )\geq 8$

Với Cách So sánh căn bậc hai số học cực hay, có đáp án Toán lớp 9 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập So sánh căn bậc hai số học từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 9.

Phương pháp giải

Dựa vào tính chất: Nếu a, b ≥ 0 thì a < b ⇔ √a < √b

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:So sánh các số sau:

1. 9 và √80

2. √15 - 1 và √10

Hướng dẫn:

1. Ta có: 9 = √81. Vì √81 > √80 nên 9 > √80

2. Ta có: √15 - 1 < √16 - 1 = 3

√10 > √9 = 3

Vậy √15-1 < √10

Ví dụ 2:So sánh các số sau

2. √10 + √5 + 1 và √35

Hướng dẫn:

1. (3√2)2 = 32.(√2)2 = 9.2 = 18

(2√3)2 = 22.(√3)2 = 4.3 = 12

⇒ (3√2)2 > (2√3)2 ⇒ 3√2 > 2√3

2. Ta có: √10 + √5 + 1 > √9 + √4 + 1 = 6

mà √35 < √36 = 6

⇒ √10 + √5 + 1 > √35

3. Ta có:

mà √3 < √4 = 2

Bài tập vận dụng

Bài 1: So sánh các số sau:

1. 2 và √3 b) 7 và √50

Bài 2:

1. 2 và 1 + √2 b) 1 và √3 - 1

3. 3√11 và 12 d) -10 và -2√31

Hướng dẫn giải và đáp án

Hướng dẫn:

Bài 1:

1. 2 > √3 b) 7 < √50

Bài 2:

1. Ta có: 1 + √2 > 1 + 1 = 2

⇒ 2 < 1 + √2

2. √3 - 1 < √4 - 1 = 2 - 1 = 1

⇒ √3 - 1 < 1

3. 3√11 < 3√16 = 3.4 = 12

⇒ 3√11 < 12

4. -2√31 < -2√25 = -10

⇒ -2√31 < -10.

Dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị gần đúng của nghiệm mỗi phương trình sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 3):

1. x² = 2

⇔ x = √2 hoặc −√2

⇔ x = 1,414 hoặc − 1,414

2. x² = 3

⇔ x = ±√3 = ±1,732

3. x² = 3,5

⇔ x = ±√3,5 = ±1,87

4. x² = 4,12

⇔ x = ±√4,12 = ±2.03

Bài 4. SGK Toán 9 tập 1

Tìm số x không âm, biết:

1. √x = 15

⇒ x = 15² = 225 <<< căn bậc hai số học của 225 bằng 15

2. 2√x = 14

⇔ √x = 7 <<< chia cả hai vế cho 2

⇔ x = 7² = 49 <<< căn bậc hai số học của 49 là 7

3. √x < √2

⇔ 0 ≤ x < 2 <<< kết hợp điều kiện x ≥ 0 và x < 2

4. √2x < 4

Ta có 4 = √16 nên √2x < √16.

Vì x ≥ 0 nên √2x < √16 ⇔ 2x < 16 ⇔ x < 8.

Vậy 0 ≤ x < 8. <<< kết hợp điều kiện x ≥ 0 và x < 8.

Bài 5. SGK Toán 9 tập 1

Đố: Tính cạnh một hình vuông, biết diện tích của nó bằng diện tích của hình chữ nhật có chiều rộng 3,5 m và chiều dài 14 m.

Giải:

Trước tiên ta tính diện tích hình chữ nhật = chiều dài × chiều rộng = 14 × 3,5 = 49 m².

Gọi cạnh của hình vuông cần tìm là x, với x > 0.

Diện tích hình vuông = cạnh × cạnh = x² = diện tích hình chữ nhật nên

x² = 49. >>> Muốn tính x ta tìm căn bậc hai số học của 49.

x > 0 nên x là căn bậc hai số học của 49 tức là x = √49 = 7.

Vậy cạnh của hình vuông cần tìm là 7m.

Tóm tắt bài học: Căn bậc hai – Căn bậc hai số học

Kết thúc bài hôm nay, chúng ta cần nhớ điều gì về căn bậc hai và căn bậc hai số học?

1. Số dương a có đúng 2 căn bậc hai là hai số đối nhau:

• Số dương kí hiệu là √a >>> gọi là CĂN BẬC HAI SỐ HỌC
• Số âm kí hiệu là −√a.

Số 0 có đúng 1 căn bậc hai là 0.

Số âm không có căn bậc hai.

2. Căn bậc hai số học của một số không âm là một số không âm >>> √a ≥ 0.

Với a ≥ 0:

Số x là căn bậc hai số học của a tức là

x = √a ⇔ x ≥ 0 và x² = (√a)² = a.

Cuối cùng, ta phải nhớ định lí sau về căn bậc hai số học:

\>>> Học Toán 9 online với giáo viên liên hệ 035 3150072.

Bài tập nâng cao về Căn bậc hai

Bài 1: Chứng minh căn bậc hai của một số là số vô tỉ

Để để chứng minh một số a là số vô tỉ, ta thường dùng phương pháp phản chứng: Giả sử a là số hữu tỉ thì dẫn đến mâu thuẫn.

Ta có thể chứng minh tổng quát rằng nếu số tự nhiên a không là số chính phương thì căn bậc hai của a là số vô tỉ.

Căn bậc hai số học của 9 là bao nhiêu?

Ví dụ, căn bậc hai số học của 9 là 3, ký hiệu √9 = 3, vì 32 \= 3 × 3 = 9 và 3 là số không âm. Mọi số dương a đều có hai căn bậc hai: √a là căn bậc hai dương và −√a là căn bậc hai âm.

Căn bậc hai của 1 là bao nhiêu?

Bất cứ nghiệm nào của 1 đều là 1 .

Căn bậc hai của 3 là bao nhiêu?

a3 \= 18817/10864 = 1.73205081...

Căn bậc hai của 4 là bao nhiêu?

Ví dụ: 2 là căn bậc hai của 4, bởi.