Ứng dụng của phương trình đạo hàm riêng

Tên đề tài luận án: Một số phương trình với đạo hàm cấp không nguyên  Ngành: Toán giải tích Mã số ngành: 9460102 Họ tên nghiên cứu sinh: Trần Bảo Ngọc Khóa đào tạo: 2018 Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Huy Tuấn    Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên- ĐHQG.HCM 1. Tóm tắt luận án  Kết quả của luận án này được tổng hợp từ 3 bài báo đã công bố trên các tạp chí Journal of Inverse and Ill-posed Problems, Computers and Mathematics with Applications,   Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, và được chia thành 3 chương chính sau đây - Chương 1: Bài toán biên một bên cho phương trình khuếch tán phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên. Bài toán này được chỉ ra không chỉnh theo nghĩa Hadamard, và được đề xuất chỉnh hóa bằng phương pháp chặt cụt Fourier. Kết quả chính của chương này là đánh giá sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác trong   - Chương 2: Bài toán giá trị cuối phi địa phương cho phương trình khuếch tán phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên. Kết quả chính của chương này là sự tồn tại nghiệm tích phân cho bài toán trong không gian   thông qua định lý điểm bất động Krasnoselskii.    - Chương 3: Bài toán giá trị cuối cho hệ phương trình khuếch tán phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên. Kết quả chính của chương này là sự tồn tại nghiệm tích phân trong không gian tích  . Hơn nữa, việc áp dụng kết quả chính thu được sự tồn tại nghiệm tích phân của một lớp bài toán giá trị cuối cho hệ phương trình tích phân Volterra với đạo hàm, tích phân cấp không nguyên.  2. Những kết quả mới của luận án  Luận án chứa đựng nhiều kết quả mới, mạnh hơn những kết quả đã có, và được công bố trên các tạp chí khoa học uy tín trên thế giới. Luận án này đưa ra các kết quả mới sau:   - Chỉ ra sự không chỉnh, đề xuất phương pháp chặt cụt Fourier chỉnh hóa bài toán biên một bên cho phương trình khuếch tán phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên. Như đã biết, các bài toán không chỉnh chứa hàm nguồn phi tuyến luôn là các bài toán hóc búa và khó xử lý. - Xây dựng các tính chất compact trong không gian  , và thiết lập sự tồn tại nghiệm tích phân cho bài toán điều kiện cuối phi địa phương với đạo hàm cấp không nguyên thông qua định lý điểm bất động Krasnoselskii.  - Thiết lập được sự tồn tại nghiệm tích phân của bài toán giá trị cuối cho hệ phương trình khuếch tán phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên trong trường hợp   Giải quyết một lớp bài toán giá trị cuối cho hệ phương trình tích phân Volterra tương ứng. 3. Các ứng dụng/ khả năng ứng dụng trong thực tiễn hay những vấn đề còn bỏ ngỏ cần tiếp tục nghiên cứu Trong tương lai, chúng tôi sẽ mở rộng nghiên cứu theo các hướng sau   - Hướng 1: Khảo sát sự tồn tại, tính chính qui hóa nghiệm cho các bài toán giá trị biên/giá trị đầu/giá trị cuối/điều kiện phi địa phương với các đạo hàm cấp không nguyên theo cả biến thời gian và không gian. - Hướng 2: Khảo sát sự tồn tại nghiệm cổ điển, tính chất tắt dần, bùng nổ... của nghiệm cho các bài toán giá trị biên/giá trị đầu/giá trị cuối/điều kiện phi địa phương với các đạo hàm cấp không nguyên theo cả biến thời gian và không gian. - Hướng 3: Mở rộng hai hướng nghiên cứu trên cho các loại đạo hàm cấp không nguyên có nhiều ứng dụng trong khoa học kỹ thuật. Ngoài ra, khảo sát thêm các bài toán mở với đạo hàm cấp nguyên theo chủ đề của luận án. - Hướng 4: Nghiên cứu các hướng 1 và 2 ở trên cho các phương trình vi phân - đạo hàm riêng ngẫu nhiên.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 TRẦN THỊ THƢƠNG ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG BÀI TOÁN Ô NHIỄM KHÔNG KHÍ VÀ Ô NHIỄM MÔI TRƢỜNG NƢỚC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Hùng HÀ NỘI, 2014 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy cô giáo, đặc biệt là Tiến sỹ Nguyễn Văn Hùng người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ban lãnh đạo, các thầy cô giáo, cán bộ, nhân viên trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập tại trường. Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 11 năm 2014 Tác giả Trần Thị Thương Lời cam đoan Qua một thời gian học tập và nghiên cứu luận văn này là kết quả của tôi đã đạt được dưới sự giúp đỡ chỉ bảo tận tình của Tiến sỹ Nguyễn Văn Hùng. Trong quá trình nghiên cứu luận văn này tôi có tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo. Tôi xin cam đoan nội dung đề tài “Ứng dụng của phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng trong bài toán ô nhiễm không khí và ô nhiễm môi trường nước” không có sự trùng lặp với các đề tài khác. Hà Nội, tháng 11 năm 2014 Tác giả Trần Thị Thương MỤC LỤC Lời cảm ơn ............................................................................................................. Lời cam đoan ......................................................................................................... Mở đầu ................................................................................................................. 1 Chƣơng1. Kiến thức chuẩn bị ............................................................................ 3 1.1. Phương trình vi phân thường ......................................................................... 3 1.1.1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 .................................................. 3 1.1.2. Phương trình Becnuli ............................................................................ 4 1.1.3. Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất và không thuần nhất cấp n với hệ số là hằng số ............................................................................... 5 1.2. Phương trình vi phân đạo hàm riêng .............................................................. 7 1.2.1. Các định nghĩa ...................................................................................... 7 1.2.2. Phương trình truyền nhiệt ..................................................................... 8 1.3. Một số khái niệm cơ bản của mô hình hóa môi trường ............................... 10 Chƣơng 2. Ứng dụng của phƣơng trình vi phân và phƣơng trình đạo hàm riêng trong giải bài toán ô nhiễm không khí .......................................... 12 2.1. Mô hình hóa không khí theo phương pháp Gauss ....................................... 12 2.1.1. Phương trình cơ bản để tính nồng độ chất ô nhiễm trong không khí ....... 12 2.1.2. Mô hình Gauss tính toán lan truyền chất ô nhiễm không khí ............. 18 2.1.3. Môt số bài toán về mô hình Gauss ...................................................... 26 2.2. Mô hình hóa không khí theo phương pháp Berliand ................................... 43 2.2.1. Sự phân bố chất ô nhiễm và phương trình toán học cơ bản ............... 43 2.2.2. Công thức Berliand trong trường hợp chất khí và bụi nặng ............... 45 2.2.3. Công thức Berliand trong trường hợp lặng gió................................... 47 2.2.4. Một số bài toán về mô hình Berliand .................................................. 48 Chƣơng 3. Ứng dụng của phƣơng trình vi phân và phƣơng trình đạo hàm riêng trong giải bài toán ô nhiễm nƣớc .................................................. 63 3.1. Các định nghĩa.............................................................................................. 63 3.2. Mô hình Streeter – Phelps ............................................................................ 64 3.2.1. Cách tiếp cận cân bằng vật chất .......................................................... 64 3.2.2. Độ thiếu hụt Oxy ................................................................................. 65 3.2.3. Phương trình diễn tiến DO .................................................................. 67 3.3. Bài toán ứng dụng mô hình Streeter – Phelps.............................................. 70 Kết luận ............................................................................................................... 86 Tài liệu tham khảo ............................................................................................... 87 1 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Ô nhiễm môi trường sống là vấn đề rất quan trọng mang tính chất toàn cầu. Đặc biệt là ô nhiễm không khí. Những hậu quả của sự ô nhiễm mang lại cho con người là rất nghiêm trọng. Trong quá trình học tập và nghiên cứu về phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng, qua quá trình tìm hiểu các bài toán thực tế tôi đã rằng đây là một ngành có nhiều ứng dụng. Đặc biệt là ứng dụng của phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng để giải quyết bài toán ô nhiễm không khí và nước. Với mong muốn đó, nhờ sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình của Tiến sỹ Nguyễn Văn Hùng tôi đã mạnh dạn chọn và nghiên cứu đề tài: “Ứng dụng của phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng trong bài toán ô nhiễm không khí và ô nhiễm môi trường nước”. Luận văn tìm hiểu về: Mô hình ô nhiễm không khí theo phương pháp Gauss và phương pháp Berliand. Mô hình ô nhiễm nước theo Streeter – Phelps. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng của phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng trong vấn đề ô nhiễm không khí và ô nhiễm nước. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Mô hình ô nhiễm không khí theo phương pháp Gauss và phương pháp Berliand.Mô hình chất lượng nước. 2 4. Đối tƣơng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Ứng dụng của phương trình vi phân vào các bài toán về ô nhiễm không khí và chất lượng nước. Phạm vi nghiên cứu: Phương trình vi phân, và ứng dụng của phương trình vi phân vào các bài toán về ô nhiễm môi trường. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu của phương trình vi phân. Phương pháp nghiên cứu của khoa học môi trường. 6. Những đóng góp mới của luận văn Trình bày một cách có hệ thống một số ứng dụng của phương trình vi phân thông qua các mô hình toán học trong việc giải quyết các bài toán ô nhiễm không khí và nước. 3 CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Phƣơng trình vi phân thƣờng 1.1.1 Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 1 Định nghĩa. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình có dạng:     dy  p[ x]. y  q[ x] [ p x , q x là các hàm liên tục] dx [1.1] Phương pháp giải. Bước 1: Xét phương trình trình tuyến tính thuần nhất: dy  p[ x]. y  0 dx [1.2] Trường hợp 1: y = 0 là nghiệm của [1.2] Trường hợp 2: Xét y ≠ 0,[1.2]   p [ x ] dx dy   p[ x]. y  y  e  C dx  p [ x ] dx C được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình [1.2] Nghiệm y  e  Bước 2: Ta coi C = C[x] khi đó ta có:  p [ x ] dx  p [ x ] dx ye  C  ye  C [ x]       p [ x ] dx dy d [C [ x]]   p [ x ] dx    p[ x]dx e  C [ x]  e dx dx  p [ x ] dx dy d [C [ x]]   p [ x ] dx   p[ x]e  C [ x]  e dx dx Thay [1.3] và [1.4] vào [1.1] ta được: [1.3] [1.4] 4  p [ x ] dx  p [ x ] dx d [C [ x]]   p [ x ] dx  p [ x ]e  C [ x]  e  p[ x].C [ x]e   q [ x] dx p [ x ] dx p [ x ] dx d [C [ x]]   e q [ x]  C [ x]   e  q[ x]  C1 dx Thay vào [1.4] ta được y   [q[ x]e  p [ x ] dx  p [ x ] dx là nghiệm tổng  C1 ].e  quát của phương trình [1.1]. 1.1.2 Phƣơng trình Becnuli. Định nghĩa. Phương trình Becnuli là phương trình có dạng: dy  p[ x]. y  q[ x]. y dx [1.5] Phương pháp giải. Trường hợp 1:   0 phương trình [1.5] là phương trình tuyến tính cấp 1. Trường hợp 2:   1 phương trình [1.5] trở thành: dy dy   q [ x]  p [ x]  y    q[ x]  p[ x]  dx dx y Đây là phương trình tuyến tính thuần nhất Trường hợp 3:   0 ;   1 Giả sử y ≠ 0. Ta chia cả 2 vế cho y ta được Đặt z  y1  1 dy y  p[ x]   q[ x]  y dx y dz dy 1   dy  [1   ] y  y  [1   ] y    dx dx y dx  1  dz Phương trình [1.5] trở thành :    p[ x].z  q[ x]  1    dx Phương trình [1.6] là phương trình tuyến tính cấp một. [1.6] 5 1.1.3 Phƣơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất và không thuần nhất cấp n với hệ số là hằng số * Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp n với hệ số hằng số Định nghĩa. Là phương trình có dạng:  ai  const  y [ n]  an1 y [ n1]  ...  a0 y  0, [1.7] Phương pháp giải. Xét phương trình k n  an1k n1  ...  a0  0 [1.8] Phương trình [1.8] được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình [1.7]. Ta đi giải [1.8] trên trường số phức. Giả sử trên trường này phương trình [1.8] có n nghiệm k1, k2 ,, kn Trường hợp 1: k1, k2 ,, kn  R , k i  k j i  j Các nghiệm riêng của phương trình [1.7] là: y1  ek1x , y2  ek2 x ,...., yn  ekn x n  y   c je kjx là nghiệm tổng quát của phương trình [1.7]. j 1 Trường hợp 2: Phương trình [1.8] có một nghiệm kj nào đó là nghiệm thực bội s [s  1]. Ứng với các kj ta có các nghiệm riêng của [1.7] như sau: y j  e j , y j 1  xe j ,..., y j s1  x s1e k x k x kjx Từ đó suy ra nghiệm tổng quát của phương trình [1.7]. Trường hợp 3: Phương trình [1.8] có một nghiệm kj nào đó là nghiệm phức k j   j  i j . Khi đó ứng với các kj ta có các nghiệm riêng của phương  jx trình [1.7] như sau: y j  e  jx cos  j x, y j 1  e sin  j x . 6 Từ đó suy ra nghiệm tổng quát của phương trình [1.7]. Trường hợp 4: Phương trình [1.8] có một k j   j  i j nào đó là nghiệm phức bội s [ s  1 ]. Ứng với các kj ta có các nghiệm riêng của phương trình [1.7] như sau:  jx cos  j x, y j 1  xe  jx sin  j x, y j 1  xe yj  e yj  e  jx cos  j x,...., y j  s 1  x s 1e  jx  jx sin  j x,...., y j  s 1  x s 1e  jx cos  j x sin  j x Từ đó suy ra nghiệm tổng quát của phương trình [1.7] * Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất cấp n với hệ số hằng số Định nghĩa. Là phương trình có dạng:  y n   an 1y n 1    ...  a1y   a0y  f x , ai  const [1.9] Phương pháp giải. Xét phương trình đặc trưng của [1.7] là k n  an1k n1  ...  a0  0 Để tìm nghiệm tổng quát của [1.9] ta tìm một nghiệm riêng y* của phương trình [1.9] như sau: Trường hợp 1: Nếu f[x] có dạng f [ x]  e x Pn [ x] Nếu  không là nghiệm đặc trưng của phương trình [1.8] thì y* có dạng: y*  e x Pn [ x] ; trong đó Pn [ x] là đa thức bậc n. Nếu  là nghiệm bội s [ s  1 ] của phương trình đặc trưng [1.8] thì y* có dạng: y*  x s e x Pn [ x] Trường hợp 2: Nếu f[x] có dạng: f [ x]  e x [ Pn [ x]cos  x  Qn [ x]sin  x] 7 Nếu   i không là nghiệm của phương trình đặc trưng [1.8] thì y* có dạng: y*  e x [ Pn [ x]cos  x  Qn [ x] sin  x] Nếu   i là nghiệm bội [s  1] của phương trình đặc trưng [1.8] thì y* có  dạng: y*  x s e x Pn [ x]cos  [ x]  Qn [ x]sin  [ x]  1.2 Phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng 1.2.1 Các định nghĩa Phương trình đạo hàm riêng cấp k đối với hàm phải tìm có dạng:  u u u  2u  2u  ku  ku  F  x 1, x 2,...x n , , ,..., , 2, ,..., k ,..., k ...   0  x  x  x  x  x  x x 1 x n   1 2 n 1 1 2 Trong đó:   u  u x 1, x 2,..., x n là nghiệm của hàm cần tìm.   F là hàm nhiều biến, x  x1, x2, , x n  n ; Cấp của phương trình đạo hàm riêng là bậc cao nhất của các đạo hàm riêng có trong phương trình. Phương trình đạo hàm riêng là tuyến tính nếu nó có dạng:   Lu  a 0 x u  m  k1 ,k2 ,...,kn k1 k2 ...kn m k1 ,k2 ,...,kn ak   x ku b x k x 1...x n n   Phương trình đạo hàm riêng là tuyến tính thuần nhất nếu Lu = 0 Nghiệm tổng quát của phương trình đạo hàm riêng là hàm mà khi thay nó cho giá trị của ẩn hàm trong phương trình ta nhận được đồng nhất thức. 8 1.2.2 Phƣơng trình truyền nhiệt Phương trình truyền nhiệt trong vật thể đẳng hướng không thuần nhất có dạng:  u   u    u    u   k  k   k   F x, y, z, t  0 t x  x  y  y  z  z    [1.10] Trong đó:       Hàm u  u x, y, z, t là nhiệt độ của vật thể rắn tại x, y, z và thời điểm t. V là thể tích vật thể giới hạn bởi mặt kín trơn S.  x, y, z  là nhiệt dung.  x, y, z  là tỷ khối của thế vật thể tại  x, y, z  .   F x, y, z, t là mật độ nguồn nhiệt trong vật thể tại x, y, z và tại thời điểm t [ Nhiệt lượng tỏa ra hay mất đi trong một đơn vị thể tích và đơn vị thời gian].   k >0 là hệ số truyền nhiệt phụ thuộc vào x, y, z . Với vật thể thuần nhất thì γ, ρ, k là hằng số và phương trình trên trở thành: 2 u 2u 2u  2   u  a  2  2  2   f x , y, z, t t y z   x  a k    ; f x , y, z, t   F x, y, z, t    [1.11] 9   Nếu trong vật thể không có nguồn nhiệt nghĩa là F x, y, z, t  0 , phương trình [1.11] trở thành:   2u  2u  2u  u  a2  2  2  2  t y z   x [1.12] Nếu nhiệt độ chỉ phụ thuộc x, y, t chẳng hạn xét sự truyền nhiệt trong bản 2 u  2u  2   u phẳng mỏng thì [1.12] sẽ là: a  2  2 t y   x [1.13] Nếu nhiệt độ chỉ phụ thuộc x, t chẳng hạn xét sự truyền nhiệt trong thanh 2 u 2  u thẳng, mỏng thì [1.13] sẽ là: a t x 2 Điều kiện đầu của phương trình truyền nhiệt chỉ rõ sự phân bố nhiệt độ tại    thời điểm đầu t = 0: u x, y, z, 0   x, y, z  Điều kiện biên của phương trình truyền nhiệt chỉ rõ chế độ trên biên:    u x, y, z, t x ,y ,z S   x, y, z, t  Điều kiện hỗn hợp là bao gồm cả điều kiện đầu lẫn điều kiện biên Phương trình truyền nhiệt trong môi trường đẳng hướng và không có 2 u  2u  2u  2   u nguồn nhiệt có dạng: a  2  2  2 t y z   x Giả sử sau một thời gian nào đấy, nhiệt độ trong môi trường ổn định,   nghĩa là u x, y, z, t không phụ thuộc thời gian, tức ta có u 0 t 2u 2u 2u Khi đó ta có phương trình Laplace sau:   0 x 2 y 2 z 2 10 1.3 Một số khái niệm cơ bản của mô hình hóa môi trƣờng Các thành phần trong quá trình mô hình hóa môi trường bao gồm. * Biến trạng thái Là biến mô tả tình trạng của hệ sinh thái. Việc lựa chọn biến trạng thái cho cấu trúc của mô hình là rất quan trọng và phụ thuộc vào mục tiêu. Thí dụ, nếu chúng ta muốn mô hình hóa sự tích lũy sinh học của độc chất, khi đó cần lấy các biến trạng thái là các sinh vật trong các chuỗi thức ăn quan trọng và nồng độ các chất độc trong cơ thể sinh vật. * Hàm điều khiển Là hàm số của các biến đặc tính bên ngoài có ảnh hưởng đến tình trạng của hệ sinh thái. Nếu hàm điều khiển nằm trong tầm kiểm soát thì được gọi là hàm kiểm soát. Ví dụ, trong các mô hình độc học sinh thái, các hàm kiểm soát là các chất độc đầu vào hệ sinh thái. Trong mô hình phú dưỡng thì hàm kiểm soát là các chất dinh dưỡng đầu vào. Những hàm điều khiển khác cần chú ý là các biến khí hậu có ảnh hưởng đến thành phần hữu sinh và vô sinh cũng như đến tỷ lệ các quá trình xảy ra trong một hệ sinh thái. Đây là hàm điều khiển nhưng không phải là các hàm kiểm soát. * Phương trình toán học Phương trình toán được sử dụng để biểu diễn các quá trình sinh học, hóa học và vật lý. Chúng mô tả mối quan hệ giữa hàm điều khiển và biến trạng thái. Cùng một quá trình có thể có tìm thấy trong nhiều ngữ cảnh môi trường khác nhau, điều này có nghĩa là cùng một phương trình có thể được sử dụng trong nhiều mô hình khác nhau. Tuy nhiên, điều này không có nghĩa là cùng một quá 11 trình sẽ luôn luôn được biểu diễn bằng cùng một phương trình. Quá trình đang xét có thể được mô tả tốt hơn khi sử dụng phương trình toán có lưu ý tới ảnh hưởng của các nhân tố cụ thể. Thứ hai, mức độ chi tiết cần phải có trong mô hình có thể là khác nhau trong các trường hợp khác nhau, điều này phụ thuộc vào sự khác biệt về tính phức tạp của hệ thống hay của bài toán. * Các tham số Là các hệ số trong các phương trình toán biểu diễn quá trình. Chúng có thể được xem là hằng số đối với một hệ sinh thái đặc biệt hoặc một phần của hệ sinh thái. Tuy nhiên kiến thức về các tham số còn hạn chế, là một trong những điểm yếu nhất trong quá trình mô hình hóa. Hơn nữa, việc áp dụng các tham số là hằng số trong các mô hình môi trường là không thực tế do có rất nhiều phản ứng trong một hệ sinh thái thực. Tính thường xuyên thay đổi của một hệ sinh thái mâu thuẫn với việc áp dụng các thông số là hằng số cho các mô hình. * Các hằng số Thí dụ như hằng số khí và trọng lượng nguyên tử, cũng được sử dụng trong hầu hết các mô hình. 12 CHƢƠNG 2. ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG GIẢI BÀI TOÁN Ô NHIỄM KHÔNG KHÍ 2.1 Mô hình hóa không khí theo phƣơng pháp Gauss 2.1.1 Phƣơng trình cơ bản để tính nồng độ chất ô nhiễm trong không khí Khi mô tả quá trình khuyếch tán chất ô nhiễm trong không khí bằng mô hình toán học thì mức độ ô nhiễm không khí thường được đặc trưng bằng trị số nồng độ chất ô nhiễm phân bố trong không gian và biến đổi theo thời gian. Trong trường hợp tổng quát, trị số trung bình của nồng độ ô nhiễm trong không khí phân bố theo thời gian và không gian được mô tả từ phương trình chuyển tải vật chất [hay là phương trình truyền nhiệt] có biến đổi hoá học đầy đủ như sau: C C C C   C    C    C  u v w   kx ky   kz   t x y z x  x  y  y  z  z  C   C   C  wc z [2.1] Trong đó:     C x, y, z : Nồng độ chất ô nhiễm trong không khí, x, y, z  3 t: Thời gian. kx , ky , kz : Các thành phần của hệ số khuyếch tán rối theo các trục Ox, Oy, Oz. u, v, w : Các thành phần vận tốc gió theo trục Ox, Oy, Oz. wc: Vận tốc lắng đọng của các chất ô nhiễm 13  : Hệ số liên kết của chất ô nhiễm với các phần tử khác của môi trường không khí.  : Hệ số biến đổi chất ô nhiễm thành các chất khác do những quá trình phản ứng hoá học xảy ra trên đường lan truyền. Tuy nhiên phương trình [2.1] rất phức tạp nó là hình thức mô phỏng sự lan truyền ô nhiễm. Thực tế để giải phương trình này người ta phải tiến hành đơn giản hoá trên cơ sở thừa nhận 1 số điều kiện gần đúng bằng cách đưa ra các giả thuyết phù hợp với điều kiện cụ thể sau: Nếu hướng gió trùng với trục Ox thì thành phần tốc độ gió chiếu lên trục Oy sẽ bằng 0, có nghĩa là v = 0. Tốc độ gió thẳng đứng thường nhỏ hơn rất nhiều so với tốc độ gió nên có thể bỏ qua, có nghĩa là w = 0. Trong nhiều trường hợp, nếu xét bụi nhẹ thì Ws = 0 [trong trường hợp bụi nặng thì lúc đó ta sẽ cho ws  0]. Nếu bỏ qua hiện tượng biến đổi hoá học [chuyển pha] của chất ô nhiễm cũng như không xét đến chất ô nhiễm được bổ sung trong quá trình khuyếch tán thì     0 . Như vậy sau các giả thiết và chấp nhận 1 số điều kiện gần đúng thì phương trình [2.1] được viết dưới dạng là: C C   C    C  u  ky   kz  t x y  y  z  z  [2.2] Nếu giả sử rằng các hệ số k y , k z là không đổi thì phương trình [2.2] được viết lại là : C C  2C  2C u  k y 2  kz 2 t x y z [2.3] 14 Trong trường hợp không tính đến thành phần phi tuyến u trình [2.3] được viết là: C thì phương x C  2C  2C  k y 2  kz 2 t y z [2.4] Phương trình [2.4] là phương trình truyền nhiệt 2 chiều. Tuỳ theo điều kiện ban đầu và điều kiện biên mà ta có các nghiệm giải tích khác nhau. Để tìm nghiệm giải tích phương trình [2.4], ta xét bài toán truyền nhiệt 1 chiều sau: 2 u 2  u a t x 2   x   , t = 0 [2.5] Điều kiện ban đầu: u  x, t     x  ,   x  : là một hàm liên tục   Đặt u x, t     X x T t  u  X t T  t  XT  t   u 2u  T x X  t  TX    TX  x x 2    Thay vào phương trình [2.5] ta được: XT   a 2 X T Hay X  T   2   2  const X aT [2.6] Suy ra X    2 X  0 [2.7] T   a 2 2T  0 [2.8] Giải phương trình [2.7] 15 Phương trình đặc trưng: k 2   2  0  k  i  Nghiệm của phương trình [2.7] là X1  C1ei x , X 2  C2ei x Giải phương trình [2.8] T   a 2 2T  0   dT  a 2 2 T dT    a 2 2  ln T  a 2 2t  T  C3e  a  t T 2 2 Nghiệm tổng quát của phương trình [2.5] là: u  x, t   A    e  a t i x ,   2 2  Do   x   nên ta được hàm số: u  x, t    A   e   2 a 2 t  i x d [2.9]  Nếu các đạo hàm của phương trình [2.5] có thể tính được bằng cách vi phân hàm dưới dấu tích phân [2.9] thì có nghĩa phương trình [2.9] sẽ thoả mãn phương trình [2.5] hay phương trình [2.9] sẽ là nghiệm của phương trình [2.5].   Điều kiện ban đầu t = 0 : u x, 0    Đặt:  x    A   e   A   e d i x  d i x    Tính tích phân Fourier ngược ứng với hàm số  x ta được: 1 A   2       e   i  d   [ tức là F 1   A ] [2.10]