Ứng dụng của phương trình trong thực tế

Chúng ta đã quá quen thuộc với toán học, các bài toán từ tiểu học đến phổ thông. Nhưng không phải ai trong chúng ta cũng biết được những ứng dụng thực tế trong đời sống của toán học. Nhưng các bạn có biết không, thế giới này tồn tại là nhờ có toán đó :).

Từ nay, mình sẽ viết một loạt bài viết về các ứng dụng thực tế (rất rất thực tế) trong đời sống hằng ngày của chúng ta. Nếu các bạn muốn biết toán học thú vị và quan trọng như thế nào, thì theo dõi loạt bài viết này của mình nhé.

Bài toán đầu tiên mà mình muốn chia sẽ với các bạn đó là bài toán phổ thông: Phương trình đường tròn tâm O(x, y) bán kính R trên tọa độ Oxy. Chắc hẳn chúng ta đã quá quen thuộc với bài toán này, làm rất nhiều nữa. Và ứng dụng thực tế của bài toán này là hệ thống định vị GPS mà chúng ta biết ngày nay. Chắc hẳn chúng ta ai cũng dùng điện thoại và biết GPS là gì. Vậy GPS với bài toán phương trình đường tròn liên quan ra sao?

Cho hệ tọa độ Oxy, đường tròn tâm O bán kính bằng 1 và điểm A trên đường tròn. Làm sao chúng ta xác định tọa độ của điểm A?

Bước 1: Ta lấy 2 điểm B và C với tọa độ bất kì. Ta dùng thước đo khoảng cách đoạn AB, AC.

Bước 2: Ta viết phương trình đường tròn tâm B (tọa độ đã biết) và bán kính AB (đã đo được)

Bước 3: Ta viết phương trình đường tròn tâm C với bán kính AC.

Bước 4: Ta giải phương trình và tìm giao điểm của 3 đường tròn, giao điểm đó chính là điểm A cần tìm.

Ta xem đường tròn tâm O là trái đất.

Điểm A là chúng ta, người cần định vị.

Điểm B, C là các vệ tinh bay xung quanh trái đất.

Bởi vì chúng ta sống trên bề mặt trái đất, nên các điểm A sẽ chỉ nằm trên đường tròn tâm O.

Tọa độ các vệ tinh B, C là hoàn toàn xác định được.

Khoảng cách AB, AC xác định bằng cách trao đổi sóng giữa vệ tính và thiết bị. Dựa vào thời gian và vận tốc -> khoảng cách.

Từ đó, các vệ tinh tính toán và xác định tọa độ (kinh độ, vĩ độ) của chúng ta trên trái đất.

Từ kinh dộ, vĩ độ, thiết bị xác định địa điểm cụ thể mà chúng ta đang ở.

Trong thực tế là hệ tọa độ Oxyz, nên chúng ta cần ít nhất 3 vệ tinh.

Nhưng thực tế, để tránh sai sót, người ta dùng đến 4 vệ tinh để xác định chính xác nhất có thể vị trí của chúng ta.

Rất thú vị phải không nào? Từ bài toán đơn giản phổ thông, toán học phát triển lên thành một công nghệ vô cùng quan trọng và hữu ích ngày nay. Các bạn thấy đấy, GPS nghe thì có vẻ rườm rà (vệ tinh, công nghệ thông tin...) nhưng nó là ý tưởng từ bài toán chúng ta học từ cấp 3 đấy :). Mong rằng bài viết này cung cấp thông tin thú vị đến mọi người.

116

Phương trình lượng giác là cầu nối liên kết quan trọng giữa đại số và hình học, giữa lí thuyết và thực tiễn, đi từ các hoạt động giải trí cho đến tính chiều cao của thủy triều… Chúng đã là động lực trong nền văn minh nhân loại hàng ngàn năm nay. Các phương trình lượng giác đã chi phối xã hội, giấu mình ở phía sau sân khấu nhưng ảnh hưởng của chúng thì vẫn hiện diện ở đó, bất kể chúng ta có chú ý hay không.

Ứng dụng PTLG trong thực tế

Thông tin về sản phẩm:

Đầu tiên, ta có bài toán như sau:

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm O bán kính bằng 1 và điểm A thuộc đường tròn. Làm thế nào để chúng ta xác định được tọa độ của điểm A?

Bước 1: Lấy hai điểm B và C với tọa độ bất kì, dùng thước đo khoảng cách AB, AC.

Bước 2: Viết phương trình đường tròn tâm B (tọa độ đã biết) và bán kính AB (đã đo được)

Bước 3: Ta viết phương trình đường tròn tâm C với bán kính AC.

Bước 4: Ta giải phương trình và tìm giao điểm của 3 đường tròn, giao điểm đó chính là điểm A cần tìm.

Hiểu GPS này:

Ta xem đường tròn tâm O là trái đất.

Điểm A là chúng ta, người cần định vị.

Điểm B, C là các vệ tinh bay xung quanh trái đất.

Bởi vì chúng ta sống trên bề mặt trái đất, nên điểm A sẽ chỉ nằm trên đường tròn tâm O.

Tọa độ các vệ tinh B, C là hoàn toàn xác định được.

Khoảng cách AB, AC xác định bằng cách trao đổi sóng giữa vệ tinh và thiết bị. Dựa vào thời gian và vận tốc ⟹ khoảng cách.

Từ đó, các vệ tinh tính toán và xác định tọa độ (kinh độ, vĩ độ) của chúng ta trên trái đất.

Từ kinh dộ, vĩ độ, thiết bị xác định địa điểm cụ thể mà chúng ta đang ở.

Trong thực tế thì sao?

Trong không gian ba chiều, với hệ tọa độ Oxyz, chúng ta cần ít nhất 3 vệ tinh.

Nhưng thực tế, để tránh sai sót, người ta dùng đến 4 vệ tinh để có thể xác định chính xác nhất vị trí của chúng ta.

Rất thú vị phải không các bạn? Từ bài toán đơn giản ở phổ thông, toán học phát triển lên thành một công nghệ vô cùng quan trọng và hữu ích ngày nay. Các bạn thấy đấy, GPS nghe thì có vẻ rườm rà (vệ tinh, công nghệ thông tin...) nhưng nó là ý tưởng từ bài toán chúng ta được học từ lớp 10. Mong rằng bài viết này cung cấp thông tin thú vị đến mọi người.

CLB học tập sưu tầm và tổng hợp

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Ứng dụng phương trình, hệ phương trình giải bài toán thực tế, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.

Nội dung bài viết Ứng dụng phương trình, hệ phương trình giải bài toán thực tế: Các bài toán thực tế phương trình, hệ phương trình. Phương pháp. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng. Ví dụ 1. Hiện nay tuổi của mẹ gấp 7 lần tuổi con. Sau 2 năm nữa tuổi của mẹ gấp 5 lần tuổi con. Hỏi mẹ sinh con lúc đó mẹ bao nhiêu tuổi? Lời giải: Gọi x là tuổi mẹ hiện nay, y là tuổi con hiện nay. Vậy mẹ sinh con năm 28 – 4 = 24 tuổi. Ví dụ 2: Một khách hàng vào cửa hàng bách hóa mua một đồng hồ treo tường, một đôi giày và một máy tính bỏ túi. Đồng hồ và đôi giày giá 420.000 đ, máy tính bỏ túi và đồng hồ giá 570.000 đ, máy tính bỏ túi và đôi giày giá 750.000 đ. Hỏi mỗi thứ giá bao nhiêu? Gọi giá của đồng hồ, máy tính bỏ túi và đôi giá lần lượt là x, y, z. Khi đó ta có hệ phương trình x + y = 570.000. Giải hệ này ta được y = 450.000 . Ví dụ 3: Cho hai người A và B xuất phát cùng một lúc ngược chiều từ thành phố M và N. Khi họ gặp nhau, người ta nhận thấy A đã đi nhiều hơn B là 6km. Nếu mỗi người tiếp tục đi theo hướng cũ với cùng vận tốc ban đầu thì A sẽ đến N sau 4,5 giờ, còn B đến M sau 8 giờ tính từ thời điểm họ gặp nhau. Gọi v, v’ lần lượt là vận tốc của người A và người B. Tìm vận tốc của mỗi người. Gọi P là điểm mà hai người A và B gặp nhau. Gọi đoạn MP = x là quãng đường A đi được, NP = y là quảng đường B đi được. Khi họ gặp nhau, người ta nhận thấy A đã đi nhiều hơn B 6km có nghĩa là đoạn MP dài hơn NP là 6km và thời gian đi của hai người cho đến lúc gặp nhau là bằng nhau. Ta có hệ x – y = 6. Nếu mỗi người tiếp tục đi theo hướng cũ với cùng vận tốc ban đầu thì A sẽ đến N sau 4, 5 giờ, còn B đến M sau 8 giờ tính từ thời điểm họ gặp nhau.

Bài tập trắc nghiệm. Câu 1. Hai bạn Vân và Lan đi mua trái cây. Vân mua 10 quả quýt, 7 quả cam với giá tiền là 17800. Lan mua 12 quả quýt, 6 quả cam hết 18000. Hỏi giá tiền mỗi quả quýt, quả cam là bao nhiêu? Hướng dẫn giải. Cách 1: Gọi số tiền để mua một quả quýt là x đồng; số tiền để mua một quả cam là y đồng. Theo bài ra ta có hệ phương trình. Vậy giá tiền mỗi quả quýt là 800 đồng, mỗi quả cam là 1400 đồng. Cách 2: Thử các đáp án. Câu 2. Một xe hơi khởi hành từ Krông Năng đi đến Nha Trang cách nhau 175 km. Khi về xe tăng vận tốc trung bình hơn vận tốc trung bình lúc đi là 20 km/giờ. Biết rằng thời gian dùng để đi và về là 6 giờ; vận tốc trung bình lúc đi là. Gọi x, y > 0 lần lượt là vận tốc trung bình lúc đi và vận tốc trung bình lúc về.