Ứng dụng giải bài tập đại số tuyến tính

TS. THIỀU ĐÌNH PHONGKHOA SP TOÁN HỌC - TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINHMỘT SỐ ỨNG DỤNGCỦA ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNHTài liệu lưu hành nội bộ, Nghệ An - 2016MỤC LỤC1.Phát triển tư duy trừu tượng22.Ứng dụng trong Hóa học33.Ứng dụng trong Lý thuyết mã54.Dao động điều hòa105.Ứng dụng trong Mật mã166.Ứng dụng trong mô hình input-output của Leonfief187.Ứng dụng trong Lý thuyết khử228.Ứng dụng trong Di truyền học269.Ứng dụng trong Hình học2810.Ứng dụng trong Lý thuyết đồ thị3211.Ứng dụng trong Phân bố nhiệt độ3812.Ứng dụng trong Nén ảnh4413.Ứng dụng trong Mạng lưới5014.Ứng dụng trong Xã hội học5315.Nhận diện khuôn mặt5516.Ứng dụng trong xích Markov601PHÁT TRIỂN TƯ DUY TRỪU TƯỢNGTrong khi đại số tuyến tính có nhiều ứng dụng thực tế cuộc sống, nó cũng cókhía cạnh thanh lịch của nó, khía cạnh trừu tượng. Khía cạnh này của môn học cómột ứng dụng thực tế trong cuộc sống đó là giúp phát triển tư duy và ngôn ngữ. Tạinhiều thời điểm trong quá trình công việc của bạn, bạn sẽ cần phải giải thích chongười khác hiểu những gì bạn đang làm, và thực sự lý do tại sao bạn đang làm nó.Các "người khác" có thể bao gồm những người quản lý số tiền bạn cần đầu tư chodự án của bạn. Thành công đòi hỏi phải có kỹ năng giao tiếp tốt, và chìa khóa đểthuyết phục những người khác là phải rõ ràng về mặt ý tưởng của bạn. Một điều bạncó thể học hỏi từ các định nghĩa, định lý và chứng minh bạn sẽ thấy trong Đại sốtuyến tính [và trong bất kỳ lĩnh vực nào của toán học thuần túy] là làm thế nào để cótư duy rõ ràng và thể hiện rõ bản thân mình, để tránh sự hiểu lầm và nhầm lẫn. Bạnsẽ tìm thấy, trong việc học đại số tuyến tính, việc thực hành của bạn trong việc phânloại ra các ý tưởng [một số trong đó lúc đầu sẽ có vẻ khá kỳ lạ] sẽ giúp bạn tư duymột cách rõ ràng rành mạch. Trong thực tế, điều đó có thể còn quan trọng hơn nhiềuso với bất kỳ kỹ năng kỹ thuật đặc biệt nào mà bạn có.Một lợi thế mà Đại số tuyến tính có được hơn các môn học khác trong việcnâng cao khả năng tư duy, đó là hầu hết các khái niệm, tính chất của Đại số tuyếntính đều có một giải thích hình học tương ứng. Trong không gian chiều thấp, ngườita có thể "hình học hóa" các kết quả đại số tuyến tính, và điều ngược lại cũng đúng:đại số tuyến tính sẽ giúp phát triển các tố chất hình học của bạn. Trực giác hình họcbạn đã có sẽ được bổ sung bằng một "hình ảnh đại số", cái mà sẽ cho phép bạn, trongthực tế, có thể "nhìn thấy" trong không gian chiều cao hơn những cái mà các giácquan thông thường của chúng ta không thể tiếp cận được.2ỨNG DỤNG TRONG HÓA HỌCỨng dụng 1: Cần 3 thành phần khác nhau A, B và C, để sản xuất một lượng hợpchất hóa học nào đó. A, B và C phải được hòa tan trong nước một cách riêng biệttrước khi chúng kết hợp lại để tạo ra hợp chất hóa học. Biết rằng nếu kết hợp dungdịch chứa A với tỉ lệ 1.5 g/cm3 với dung dịch chứa B với tỉ lệ 3.6 g/cm3 và dung dịchchứa C với tỉ lệ 5.3 g/cm3 thì tạo ra 25.07 g hợp chất hóa học đó. Nếu tỉ lệ của A, B,C trong phương án này thay đổi thành tương ứng 2.5, 4.3 và 2.4 g/cm3 [trong khi thểtích là giống nhau], khi đó 22.36 g chất hóa học sẽ được tạo ra. Cuối cùng, nếu tỉ lệtương ứng là 2.7, 5.5 và 3.2 g/cm3, thì sẽ tạo ra 28.14 g hợp chất. Thể tích của dungdịch chứa A, B và C là bao nhiêu?Lời giải Gọi x, y, z tương ứng là thể tích [cm3] của phương án chứa A, B và C. Khiđó 1.5x là khối lượng của A trong trường hợp đầu, 3.6y là khối lượng của B và 5.3zlà khối lượng của C. Cộng lại với nhau, ba khối lượng này sẽ tạo ra 25.07 g. Do đó1,5 x  3,6 y  5,3z  25,07.Tương tự cho hai trường hợp còn lại, ta có hệ phương trình tuyến tính 1,5 x  3,6 y  5,3z  25,072,5 x  4,3 y  2,4 z  22,36 2,7 x  5,5 y  3,2 z  28,14Ma trận bổ sung của hệ này là 1,5 3,6 5,3 25,07  2,5 4,3 2,4 22,36  .2,7 5,5 3,2 28,14 Biến đổi ma trận trên cho ta nghiệm làx  1,5; y  3,1; z  2,2.Ứng dụng 2 Một ứng dụng tiêu biểu khác của hệ phương trình tuyến tính trong hóahọc chính là việc cân bằng các phương trình phản ứng hóa học. Nguồn gốc củanó chính là Định luật bảo toàn khối lượng được phát biểu như sau:“Khối lượng không được tạo ra cũng không bị phá hủy trong bất kỳ phản ứnghóa học nào. Do đó việc cân bằng phương trình phản ứng hóa học đòi hỏi cùng mộtsố lượng nguyên tử trên cả hai vế của một phản ứng hóa học. Khối lượng của tất cảcác chất phản ứng [các chất đi vào một phản ứng] phải bằng khối lượng của sảnphẩm [các chất được sản xuất bởi các phản ứng].”3Một ví dụ chẳng hạn như việc xét phương trình hóa học sau đây:C2H6 + O2 → CO2 + H2O.Cân bằng phương trình phản ứng này đồng nghĩa với việc tìm các giá trị x, y, z và tsao cho số lượng các nguyên tử của mỗi nguyên tố là bằng nhau ở cả hai vế củaphương trình:xC2H6 + yO2 → zCO2 + tH2O.Từ đây cho ta hệ phương trình tuyến tính sau:2x  z6 x  2t 2 y  2 z  t.Nghiệm tổng quát của hệ trên là7yx2 z  2x t  3 x.Do chúng ta đang tìm các giá trị của các biến x, y z, và t, nên chọn x=2 ta thu đượcy=7, z= 4 và t=6. Phương trình cân bằng là:2C2H6 + 7O2 → 4CO2 + 6H2O.4ỨNG DỤNG TRONG LÝ THUYẾT MÃ1. Giới thiệuCác thông điệp được truyền đi, như dữ liệu từ một vệ tinh, luôn là những thôngtin đã bị gây nhiễu. Do đó, một điều quan trọng đó là khả năng để mã hóa một tinnhắn theo cách mà sau khi tiếng ồn đã gây nhiễu nó, nó có thể được giải mã về dạngchính thống ban đầu. Điều này được thực hiện đôi khi bằng cách lặp lại tin nhắn haihoặc ba lần, một điều rất phổ biến trong các bài phát biểu của con người. Tuy nhiên,việc sao chép dữ liệu được lưu trữ trên một đĩa nhỏ gọn, hoặc một đĩa mềm một hoặchai lần đòi hỏi thêm không gian để lưu trữ. Trong ứng dụng của ĐSTT này, chúngta sẽ xem xét cách thức giải mã một thông điệp sau khi nó bị bóp méo bởi một sốloại tiếng ồn. Quá trình này được gọi là mã hóa. Một mã phát hiện lỗi trong một tinnhắn bị gây nhiêu được gọi là phát hiện lỗi. Nếu, thêm vào đó, nó có thể sửa lỗi thìnó được gọi là sửa lỗi. Sẽ là khó khăn hơn nhiều để tìm cách sửa lỗi hơn so với cácmã phát hiện lỗi.2. Một số kỹ thuật mã hóa cơ bảnHầu hết các tin nhắn được gửi đi dưới dạng các dãy ký tự của 0 và 1, chẳnghạn như 10101 hoặc 1010011, nên giả sử rằng chúng ta muốn gửi tin nhắn 1011."Từ" nhị phân này có thể thay cho một từ thực tế, chẳng hạn như mua, hoặc một câunhư mua cổ phiếu. Một cách để mã hóa 1011 sẽ là việc đính kèm một "đuôi" nhịphân vào nó để sao cho nếu nó bị bóp méo, chẳng hạn như, 0011, chúng ta có thểphát hiện các lỗi. Một trong những cái đuôi có thể là 1 hoặc 0, tùy thuộc vào việcchúng ta có lẻ hoặc một số chẵn của 1 trong các từ. Bằng cách này, tất cả các từ mãhóa sẽ có một số chẵn của 1. Vì vậy, 1011 sẽ được mã hóa như 10111. Bây giờ nếutin nhắn bị bóp méo đến 00.111 chúng ta biết rằng một lỗi đã xảy ra, bởi vì chúng tachỉ nhận được một số lẻ của 1. Mã phát hiện lỗi này được gọi là kiểm tra ngang hàngvà nó quá đơn giản để có thể hữu ích. Ví dụ, nếu hai chữ số đã được thay đổi, chươngtrình của chúng ta sẽ không phát hiện các lỗi, vì vậy điều này chắc chắn không phảilà một mã sửa lỗi. Một phương pháp khác đó là việc mã hóa thông điệp bằng cáchlặp lại nó hai lần, chẳng hạn như 10111011. Sau đó, nếu ta nhận được là 00.111.011,chúng ta biết rằng một trong hai phần bằng nhau đã bị bóp méo. Nếu chỉ có một lỗixảy ra, sau đó nó rõ ràng ở vị trí 1. là chương trình mã hóa này cũng cho kết quảthấp và không thường được sử dụng. Chúng ta có thể có được kết quả tốt hơn bằngcách lặp lại thông điệp nhiều lần, nhưng sẽ mất không gian và thời gian.53. Một kỹ thuật mã hóa nâng cao: Mã HammingTrong những năm 1950, R.H. Hamming đã giới thiệu một mã sửa lỗi đơn thúvị cái mà trở thành một mã được biết đên với tên gọi là mã Hamming. Trước khichúng ta có thể kiểm tra chi tiết của kỹ thuật đó, chúng ta cần một vài kiến thức nềntảng từ đại số tuyến tính.Không gian vectơ trên 2Trong một khóa học đại số tuyến tính năm nhất tiêu biểu, lúc sinh viên đượcgiới thiệu khái niệm của một không gian vectơ, từ “vô hướng” có nghĩa là một sốthực hoặc một số phức. Điều này có thể được tổng quát tới một phần tử bất kỳ củamột trường cho trước.Một trường là một tập F với hai phép toán, cộng và nhân, thỏa mãn các tiênđề sau đây:1. Phép cộng khép kín: nếu x, y thuộc F, thì x+y cũng thuộc F.2. Phép nhân khép kín: nếu x, y thuộc F, thì xy cũng thuộc F.3. Phép cộng có tính kết hợp: nếu x, y, z thuộc F, thì [x+y]+z=x+[y+z]4. Phép nhân có tính kết hợp: nếu x, y, z thuộc F, thì [xy]z=x[yz]5. Luật phân phối: nếu x, y, z thuộc F, thì x[y+z]=xy+yz6. Tồn tại phần tử 0: một phần tử của F thỏa mãn x+0=x với mọi x thuộc F7. Tồn tại phần tử 1: một phần tử của F thỏa mãn x.1=x với mọi x thuộc F8. Tồn tại phần tử đối: Nếu x thuộc F, thì tồn tại y thuộc F sao cho x+y=09. Tồn tại phần tử nghịch đảo của phần tử khác 0: Nếu x khác 0 và thuộc Fthì tồn tại một phần tử y thuộc F sao cho xy=1.10. Luật giao hoán của phép cộng: Nếu x, y thuộc F, thì x+y=y+x11. Luật giao hoán của phép nhân: Nếu x, y thuộc F, thì xy=yx.Ví dụ của trường nhưphức], vàp[tập các số hữu tỷ],[tập các số thực],[tập các sốnếu p là một số nguyên tố [các số nguyên modulo một số nguyên tốp]: 0,1,...,[ p  1].pĐặc biệt, trong trường hợp p=2, trườnghai phần tử là 0 và 1, tức là2được ký hiệu bởi2. Nó bao gồm chỉ 2  0,1 .Trong Z2, phép cộng và phép nhân được định nghĩa như sau:0+0=0;1+0=1;0+1=1;1+1=0;0.0=0;1.0=0;0.1=0;1.1=1.nNhắc lại rằng cấu trúc không gian vectơ củatrên xác định bởi hai phép toánsau:1. [x1,…, xn]+ [y1,…, yn]= [x1+ y1,…, xn+yn]2. a[x1,…, xn]= [ax1,…,a xn] nếu a là một số thực.26Cấu trúc tương tự có thể được định nghĩa trên n2 . Chúng ta trang bị n2 với phépcộng và phép nhân với vô hướng [nhân với 0 và 1]. Chẳng hạn, trong 52 chúng tacó:[1,0,1,1,0] + [0,1,1,1,1] = [1,1,0,0,1],0.[1,1,0,1,0] = [0,0,0,0,0].nKhi đó, 2 trở thành một không gian vectơ trên trường 2 [phép nhân ở đây là với0 và 1]. Tất cả các khái niệm cơ bản của không gian vectơ như độc lập tuyến tính,tập các tổ hợp tuyến tính, không gian con, chiều, không gian hàng, không giankhông, …. đều áp dụng được trong trường hợp này. Điểm khác biệt lớn nhất vớikhông gian vectơ n là n2 chứa một số hữu hạn các vectơ, cụ thể là 2n vectơ.4. Mã Hamming [7,4]Cho trước hai số nguyên k≤ n, một không gian con của n2 với chiều k đượcgọi là một [n,k] mã tuyến tính. Các phần tử của một mã tuyến tính được gọi là cáctừ mã.Xét ma trận H trên 2 gồm các cột c1, …, c7 là các vectơ khác không của 32 :0 0 0 1 1 1 1H  0 1 1 0 0 1 1 .1 0 1 0 1 0 1Không gian không, Null[H] [còn được gọi là hạt nhân], của H được gọi là một mãHamming [7,4]. Nhắc lại rằng Null[H] không gì khác là tập tất cả các nghiệm củahệ phương trình tuyến tính thuần nhất HX=0 tương ứng với H. Ta nói rằng H là mộtma trận kiểm tra cho mã Null[H]. Ta giải hệ phương trình HX=0 để xác địnhNull[H].Sử dụng phương pháp khử Gauss-Jordan [cùng với các phép toán số học củachúng ta thu được dạng bậc thang của H như sau:1 0 1 0 1 0 1H  0 1 1 0 0 1 1 .0 0 0 1 1 1 12],Và từ hạng của H bằng 3, chiều của Null[H] là 7-3=4. Thực ra, ta có thể dễ dàng chỉra rằngB  [1,0,0,0,0,1,1];[0,1,0,0,1,0,1];[0,0,1,0,1,1,0];[0,0,0,1,1,1,1]là một cơ sở của Null[H] trên Z2.Nhận xét Giả sử {e1,…,e7} là cơ sở chuẩn tắc của 72 , khi đó Hei=ci vớimọi i=1,…,7, và do đó không có vectơ ei nào thuộc Null[H]. Như là một hệ quả, tacó hai nhận xét sau:1. Nếu v là một vectơ của Null[H], thì v+ ei không thuộc Null[H] với i=1,2,…,7.72. Nếu v là một vectơ của 72 sao cho Hv=ci với i nào đó, thì v+ ei là một vectơcủa Null[H]. Hơn nữa, v+ ej không thuộc Null[H] với mọi j i.Ma trận G gồm các hàng là các phần tử của cơ sở B được gọi là ma trận phần tử sinhcủa mã Hamming [7,4]:1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 .G0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 Bây giờ chúng ta sẽ giải thích quá trình giải mã Hamming và sửa lỗi:5. Thuật toán sửa lỗi với mã Hamming [7,4]Giả sử rằng chúng ta muốn gửi một từ u bao gồm 4 ký tự u1 u2 u3 u4, và giả sửrằng chúng ta biết trước rằng từ mã hóa có thể bị làm nhiễu bởi một việc thay đổichỉ một thành phần của nó. Gọi w là từ thu được.1. Để mã hóa u, chúng ta tạo ra một tổ hợp tuyến tính v của các phần tử của cơsở B ở trên với 4 ký tự của u như là hệ số. Chú ý rằng v có thể đạt được từ từgốc bằng việc biểu diễn phép nhân ma trận v=[u1 u2 u3 u4]G, trong đó G làma trận ở trên. Bởi xây dựng này, vectơ v thuộc Null[H]. Chú ý rằng[u1 u2 u3 u4]G có thể cho ta một vectơ 7 ký tự trong đó 4 ký tự đầu biểu diễncho từ gốc.2. Tính Hw, trong đó H là ma trận được mô tả ở trên.3. Nếu Hw=0, thì w nằm trong Null[H]. Do đó, một lỗi đơn có nghĩa là w khôngthuộc Null[H] bằng chú ý đầu tiên ở trên. Chúng ta sẽ kết luận là không có sựsai lệch ở đây và u là 4 ký tự đầu tiên của w.4. Nếu Hw=ci với i nào đó, thì v+ ei là một vectơ của Null[H], và v+ ej khôngthuộc Null[H] với mọi j  i . Điều này gợi ý một sự thay đổi thành phần thứ icủa w [từ 0 thành 1 hoặc từ 1 thành 0] và thu được một vectơ mới w’. Bốn kýtự đầu của w’ biểu diễn cho từ u.Ta cùng minh họa các bước trên bởi hai ví dụ sau đây:Ví dụ 1 Giả sử chúng ta nhận được tin nhắn là w=1100011 được mã hóa bởi mãHamming [4, 7]. Giả sử rằng có nhiều nhất một lỗi trong quá trình chuyển phát thôngtin, hãy tìm tin nhắn gốc.Lời giải8Ta có1 1  0  0  H 0   1  .0  0  1 1 Từ Hw bằng cột thứ hai của H, thay thành phần thứ hai của w cho ta từ mã hóa1000011. Chúng ta kết luận rằng tin nhắn gốc là 1000.Ví dụ 2 Giả sử rằng chúng ta nhận được tin nhắn là w=0101010 được mã hóa bởimã Hamming [4, 7]. Giả sử rằng có nhiều nhất một lỗi sai trong truyền tin, tìm tinnhắn gốc.Lời giải0 1  0  0  Ta cóH 1   0  .0  0  1 0 Từ Hw =0, không có lỗi nào trong quá trình truyền tin nhắn này, do đó từ gốc là0101.Trong kỹ thuật ở trên, các từ chúng ta gửi đi rất ngắn: chỉ 4 ký tự. Chỉ có 24 từnhư vậy. Trong thực tế, các tin nhắn điện tử chứa đựng rất nhiều ký tự. Một vấn đềkhác với mã Hamming [4, 7] đó là nó không thể nhận ra nhiều hơn một lỗi trong tinnhắn được mã hóa. Với cuộc cách mạng điện tử của thời đại chúng ta, ta có thể hìnhdung ra rằng có nhiều kiểu mã hiệu quả hơn nhiều.9DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒAChúng ta sẽ tìm hiểu các dao động điều hòa của một chuỗi tuyến tính các cơquan không tương tác đồng nhất kết nối với mỗi cái khác và với các thiết bị đầu cuốicố định bởi các lò xo đồng nhất.Đầu tiên, chúng ta nhắc lại Định luật II Newton về chuyển động:Định luật II Newton về chuyển độngTất cả mọi người một cách vô thức đều biết Luật này. Ta đều biết rằng cácvật nặng hơn đòi hỏi nhiều lực hơn để di chuyển cùng một khoảng cách so với cácvật nhẹ hơn. Định luật thứ hai này, tuy nhiên, cho chúng ta một mối quan hệ chínhxác giữa lực, trọng lượng, và gia tốc:Khi một vật chịu tác động của các ngoại lực, thì gia tốc chuyển động của vậttỉ lệ thuận với hợp lực của các ngoại lực và tỉ lệ nghịch với khối lượng của vật.Định luật này được biết đến rộng rãi với phương trình sau đây:F  ma.trong đó F là hợp lực, m là khối lượng của vật mà lực F tác động lên nó và a là giatốc của vật. Do gia tốc là đạo hàm cấp 2 của quãng đường tương ứng với thời gian,định luật trên có thể phát biểu dưới dạngF  mx ''trong đó x '' là đạo hàm cấp hai của x đối với thời gian t.Vận tốc, lực, và gia tốc có độ lớn và hướng tương ứng với chúng. Các nhàkhoa học và nhà toán học gọi đó là vectơ lượng [độ lớn cộng với hướng]. Phươngtrình ở trên thực tế là một phương trình vectơ và có thể được áp dụng trong mỗi mộthướng thành phần.Một định luật thứ hai chúng ta cần là Định luật HookeĐịnh luật Hooke được khám phá bởi nhà khoa học người Anh tên là Robert Hookevào năm 1660—nói rằng:Lực tác dụng bởi một lò xo cuộn là tỷ lệ thuận với độ giãn của nó.Hằng số của tỉ lệ này được gọi là hằng số lò xo. Độ giãn của lò xo là hiệu của độ dàithực tế và độ dài tự nhiên của nó [tức là, độ dài của nó lúc không có lực tác động.Lực tác động song song với trục của lò xo. Rõ rang, Định luật Hooke chỉ đúng nếuđộ giãn của lò xo là đủ bé. Nếu độ giãn quá lớn thì lò xo sẽ biến dạng vĩnh viễn,10hoặc thậm chí là gãy. Những trường hợp như vậy nằm ngoài phạm vi của Định luậtHooke.Chúng ta hãy xét một trường hợp đơn giản đầu tiên của một khối được gắn với mộtlò xo có một đầu được gắn với một bức tường thẳng đứng:Nếu x[t] là vị trí của vật m từ vị trí cân bằng tại thời điểm t và k là hằng số lò xo, khiđó định luật thứ hai của Newton về chuyển động cùng với định luật Hooke suy ra:mx ''  kx .hoặc tương đương,d2x k x  0.dt 2 mĐây là một trong những phương trình nổi tiếng nhất của vật lý. Nó được biết tới nhưklà phương trình điều hòa. Đặt w0 , w0 được gọi là tần số của dao động.mNghiệm của phương trình điều hòa được biết đến rộng rãi làx[t ]  A0 cos[w0t  t0 ]. [1]trong đó A0 là số thực dương biểu thị cho giá trị lớn nhất của x[t]. Ta cũng có thể chỉra rằng nghiệm của phương trình điều hòa có thể được viết dưới dạngvx [t ]  x0 cos[w0t ]  0 sin[w0t ],w0trong đó x0 và v0 tương ứng là các giá trị của vị trí ban đầu của vật và vận tốc tại t=0 của nó. Chu kỳ của dao động được mô tả bằng công thức [1] là2Tw0w1và đại lượng v0  0  được gọi là tần số tự nhiên của dao động.2 TTiếp theo, ta cùng tìm hiểu một vài trường hợp phức tạp hơn của dao động.1. Trường hợp 2 vậtXét hai vật thể giống nhau được gắn vào các lò xo giống nhau trên mặt phẳngkhông ma sát như sau:Ở đây A và B đại diện cho vị trí cân bằng của hai vật. Giả sử x1[t] và x2[t] là khoảngcách từ vị trí cân bằng của hai vật tại thời điểm t và k là hằng số lò xo.11Lực tác động lên vật đầu tiên có hai phần bởi Định luật Hooke: phần thứ nhất là –kx1 do lò xo bên trái và phần thứ hai là k[x2-x1] do lò xo trung tâm. Hợp lực tác độnglên vật thứ nhất làF1  kx1  k[ x2  x1 ]  2kx1  kx2 .Tương tự, hợp lực tác động lên vật thứ hai làF2  kx1  2kx2 .Áp dụng Định luật II Newton của chuyển động cho ta hệ phương trình vi phân sau: mx1 ''  2kx1  kx2mx2 ''  kx1  2kx2 .Hệ này có thể được viết lại dưới dạng ma trận như sau: x1 '' k  2 1  x1 [*] x ''m  1 2   x2  2  2 1Ta tìm giá trị riêng của ma trận A   của hệ phương trình trên.12Nhắc lại rằng giá trị riêng của A là các giá trị λ thỏa mãn phương trình:det[ A   I ]  0,trong đó I là ma trận đơn vị cùng cấp với A:21  1det[ A   I ]  0  [2   ]2  1  0  1 2    3.aBây giờ ta tìm các vectơ riêng tương ứng. Nếu X    là một vectơ riêng của A ứngbvới giá trị riêng 1, khi đó ta có AX=X, hoặc [A- I]X=0: 1 1 0  1 1 0  1 1 0   0 0 0  . 1Suy ra a=b. Do đó   là một cơ sở của không gian riêng ứng với 1. Tương tự, ta1 1có thể chỉ ra rằng vectơ   là một cơ sở của không gian riêng tương ứng với 3.11 0 1 1 11PAPD,khiđó,trongđóD0 3  .2 1 1 1là dạng chéo hóa của ma trận A. Chú ý rằng A  PDP , nên phương trình [*] ở trêntrở thành x1 '' k 1 1 1 1 0  2  1 1  x1 [**] x ''m 2 1 1  0 3 2  1 1  x2  2 Bây giờ, ta xét phép đổi biến như sau:x  x2 x  x2y1  1; y2  1.22Đặt P 12y1  y2y y; x2  1 2 .22Lấy đạo hàm cấp 2 ta cóy '' y2 ''y '' y2 ''x1 ''  1; x2 ''  1.22Nên phương trình [**] ở trên trở thành1 3  y1  y1 '' y2 '' 2  y '' y ''  w0 1 3   y  2 12 sau khi rút gọn. Từ đó cho ta hệ phương trình điều hòa sau: y1 ''  w02 y12 y2 ''  3w0 y2là phương trình mà chúng ta biết cách giải bằng trường hợp đơn giản ở trên của mộtvật đơn gắn vào một lò xo.Suy ra x1 Vậy, giải thích vật lý cho tất cả điều này là thế nào?Sẽ không khó để thấy rằng có hai loại chuyển động đặc biệt mà ta có thể dễ dàng môtả như sau:11. Ta xét lại vectơ riêng   ứng với giá trị riêng 1. Thực tế là các thành phần1bằng nhau cho chúng ta biết rằng x1 và x2 luôn bằng nhau. Do đó, hệ thốngdao động qua lại nhưng lò xo ở giữa là không bao giờ bị kéo dãn. Đó là, nếunhư chúng ta có hai vật, gắn liền với một lò xo hằng số k. Khi đó, dễ dàngthấy rằng sau đó tần số dao động được cho bởikw0  1w0 .m 12. Trong trường hợp của vectơ riêng thứ hai   , ta có x1 và x2 luôn bằng nhau1nhưng ngược hướng nhau. Như ta có thể đoán, điều này cho ta một loại chuyểnđộng “vào và ra”. Các tần số của hệ thống cũng có thể dự đoán trong trườnghợp này: mỗi vật được gắn vào một lò xo nén một khoảng cách x1 và lò xokhác kéo dãn một khoảng cách 2x1. Đó là, nếu như vật được gắn vào một lòxo đơn có hằng số là 3k. Chúng ta biết rằng các tần số trong trường hợp này3k 3w0 .m 1Chú ý rằng   là một vectơ riêng ứng với giá trị riêng 3, điều này giải thích tại1sao3 xuất hiện trong tuần số ở trên.13Hai trường hợp đặc biệt này được gọi là các dạng chuẩn tắc của hệ thống. Nhưta có thể đoán, chúng có tính chất là nếu hệ thống bắt đầu ra ở một trong các chế độnày, nó sẽ vẫ còn trong chế độ đó.Tất nhiên, những vấn đề nêu trên liên quan đến hai vật có thể được giải quyếtmà không nói về vectơ riêng. Lợi ích của việc sử dụng các kỹ thuật đại số đó là rõràng hơn trong các trường hợp phức tạp hơn hai vật.2. Trường hợp 3 vậtTa hãy xét trường hợp 3 vật:Lặp lại cùng các suy luận như trường hợp trước cho ta hệ sau x1 ''  2 1 0   x1  x ''  w 2  1 2 1  x  .0  2  2 x3 ''  0 1 2   x3 Với w0 k, như thông thường. Ta có thể chỉ ra rằng giá trị riêng của ma trận:m 2 1 0 A   1 2 1 0 1 2  1   1   1   là 2  2, 2, 2  2 và  2  ,  0  ,  2  là các vectơ riêng tương ứng. 1   1  1      Một chuyển động có thể miêu tả dễ hơn là cái tương ứng với giá trị riêng là 2: Vật ởgiữa không di chuyển và hai vật khác di chuyển về hai phía ngược nhau. Mỗi mộtvật trong các vật này có 2 lò xo được gắn vào, điều này giải thích giá trị riêng là 2.Hai chuyển động khác có khó hơn một ít để miêu tả.Bây giờ chúng ta hãy xem xét một ví dụ về sự rung động được mô tả bở sơ đồ sau:Sử dụng k S, hệ có thể được biểu diễn bởi phương trình ma trận:mb142 1   x  x ''2  y ''   k  1 2   y   trong đó, như thường lệ, ký hiệu x’’ là đạo hàm cấp 2 của x đối với thời gian.Khi đó ta có 2 1 A  k2  1 2 thì các giá trị riêng của nó là –k2 và -3k2, và các vectơ riêng tương ứng là:1  1 1 ,  1 .   Do đó, tần số chuẩn tắc của sự dao động là k, 3k và kiểu chuẩn tắc của sự rungđộng. Do đó, tần số chuẩn tắc của sự rung chuyển k, 3k và dạng chuẩn tắc của daođộng như sau:15ỨNG DỤNG TRONG MẬT MÃMật mã học, với hầu hết mọi người, là việc giữ thông tin liên lạc một cáchriêng tư. Thực tế là, việc bảo vệ các thông tin liên lạc nhạy cảm đã được đặt là trọngtâm của mật mã trong suốt quá trình lịch sử của nó. Mã hóa là việc chuyển đổi dữliệu vào một số hình thức không đọc được. Mục đích của nó là để đảm bảo sự riêngtư bằng cách giữ các thông tin bí mật với bất cứ ai mà nó không có ý định truyền tảiđến, ngay cả những người có thể xem dữ liệu được mã hóa. Giải mã là quá trìnhngược lại của mã hóa; nó là sự chuyển đổi dữ liệu được mã hóa trở về một số hìnhthức đọc được, hiểu được. Mã hóa và giải mã yêu cầu sử dụng một số thông tin bímật, thường được gọi là một chìa khóa. Tùy thuộc vào các cơ chế mã hóa được sửdụng, các chìa khóa tương tự có thể được sử dụng cho cả mã hóa và giải mã, trongkhi đối với các cơ chế khác, các chìa khóa được sử dụng để mã hóa và giải mã cóthể khác nhau.Ngày nay, các chính phủ sử dụng các phương pháp phức tạp để mã hóa vàgiải mã các thông điệp. Một loại mã, mà rất khó để phá vỡ, được tạo ra bằng việc sửdụng một ma trận lớn để mã hóa một thông điệp. Người nhận thông điệp giải mã nóbằng cách sử dụng ma trận nghịch đảo của ma trận đó. Ma trận đầu tiên này đượcgọi là ma trận mã hóa và nghịch đảo của nó được gọi là ma trận giải mã.Ví dụ Giả sử thông điệp cần gửi làPREPARE TO NEGOTIATEVà ma trận mã hóa là 3 3 4  0 1 1 . 4 3 4 Chúng ta gán một số cho mỗi chữ cái của bảng chữ cái. Để đơn giản, chúng ta hãygắn mỗi chữ cái với vị trí của nó trong bảng chữ cái: A là 1, B là 2, và cứ tiếp tụcnhư vậy. Ngoài ra, chúng ta chỉ định số 27 [nhớ là chúng ta chỉ có 26 chữ cái trongbảng chữ cái] là cách trống giữa hai từ. Vì vậy, thông điệp trở thành:16Từ việc chúng ta đang sử dụng một ma trận cấp 3x3, chúng ta ngắt tin nhắn trênthành một dãy của các vectơ cột gồm 3 hàng như sau:Lưu ý rằng nếu cần thiết có thể thêm cách trống vào cuối của thông điệp để hoànthành vector cuối cùng. Bây giờ chúng ta mã hóa thông điệp bằng cách nhân mỗivectơ trên với ma trận mã hóa. Điều này có thể được thực hiện bằng cách viết cácvectơ trên như là các cột của ma trận và thực hiện các phép nhân ma trận đó ma trậnvới ma trận mã hóa như sau:Và ta nhận được ma trậnCác cột của ma trận này cung cấp cho các thông điệp được mã hóa. Thông điệp đượctruyền đi dưới dạng tuyến tính như sauĐể giải mã thông điệp, người nhận viết chuỗi này như là một chuỗi của các ma trậncột 3x1 và lặp lại kỹ thuật bằng việc sử dụng ma trận nghịch đảo của ma trận mãhóa. Ma trận nghịch đảo của ma trận mã hóa này, hay ma trận giải mã, là:Vì vậy, để giải mã thông điệp, thực hiện phép nhân ma trậnTa nhận được ma trậnCác cột của ma trận này, được viết ở dạng tuyến tính, cho ta thông điệp ban đầu:17ỨNG DỤNG TRONG MÔ HÌNH INPUT-OUTPUT LEONTIEFGiới thiệu Để hiểu và có thể vận dụng vào nền kinh tế của một quốc gia hoặc mộtkhu vực, người ta cần phải tìm ra một mô hình nhất định dựa trên các lĩnh vực khácnhau của nền kinh tế này. Mô hình Leontief là một nỗ lực theo hướng này. Dựa trêngiả định rằng mỗi ngành công nghiệp trong nền kinh tế có hai loại nhu cầu: nhu cầubên ngoài [từ bên ngoài hệ thống] và nhu cầu nội bộ [nhu cầu từ một ngành côngnghiệp bởi ngành khác trong cùng một hệ thống], các mô hình Leontief biểu thị chonền kinh tế như một hệ phương trình tuyến tính. Các mô hình Leontief được phátminh vào những năm 30 bởi Giáo sư Wassily Leontief [ảnh trên], ông đã phát triểnmột mô hình kinh tế của nền kinh tế Hoa Kỳ bằng cách chia thành 500 thành phầnkinh tế. Vào ngày 18 tháng 10 năm 1973, Giáo sư Leontief đã được trao giải Nobelvề kinh tế cho những thành tựu của ông.1. Mô hình Leontief đóngXét một nền kinh tế bao gồm n ngành công nghiệp [hoặc thành phần] phụ thuộclẫn nhau S1, S2, ..., Sn. Điều đó có nghĩa rằng mỗi ngành công nghiệp tiêu thụ mộtsố hàng hoá được sản xuất bởi các ngành công nghiệp khác, bao gồm cả chính nó[ví dụ, một nhà máy phát điện sử dụng một số điện riêng cho sản xuất]. Chúng ta nóirằng một nền kinh tế là đóng nếu nó đáp ứng được mọi nhu cầu của mình; nghĩa là,không có hàng bỏ đi hoặc nhập vào hệ thống. Ký hiệu mij là số đơn vị sản xuất bởingành công nghiệp Si cần để sản xuất một đơn vị của ngành công nghiệp Sj. Nếu pklà mức sản xuất của ngành công nghiệp Sk, thì mijpj là số các đơn vị sản xuất bởingành công nghiệp Si và tiêu thụ bởi ngành công nghiệp Sj. Khi đó, tổng số đơn vịsản xuất của ngành công nghiệp Si được cho bởi:p1mi1+p2mi2+…+pnmin.Để nền kinh tế cân bằng, tổng sản phẩm của mỗi ngành công nghiệp phải bằng tổngsản phẩm tiêu thụ. Từ đó ta có hệ phương trình tuyến tính:18Nếuthì hệ trên có thể viết lại thành AP=P, trong đó.A được gọi là ma trận vào - ra.Bây giờ chúng ta tìm vectơ P thỏa mãn phương trình AP=P với các thànhphần không âm và ít nhất một thành phần là dương.Ví dụ Giả sử rằng nền kinh tế của một vùng nào đó phụ thuộc vào ba ngành côngnghiệp: dịch vụ, sản xuất điện, dầu. Giám sát hoạt động của ba ngành công nghiệptrong khoảng thời gian một năm, chúng ta đi đến các quan sát như sau:1. Để sản xuất 1 đơn vị giá trị của dịch vụ, các ngành công nghiệp dịch vụ phảitiêu thụ 0,3 đơn vị sản xuất riêng của mình, 0,3 đơn vị điện lực và 0,3 đơn vịdầu để điều hành hoạt động của nó.2. Để sản xuất 1 đơn vị điện, các nhà máy phát điện phải mua 0,4 đơn vị dịchvụ, 0,1 đơn vị sản xuất riêng của mình, và 0,5 đơn vị dầu.3. Cuối cùng, công ty sản xuất dầu cần 0,3 đơn vị dịch vụ, 0,6 đơn vị điện lực và0,2 đơn vị sản xuất riêng của mình để sản xuất 1 đơn vị dầu.Tìm năng lực sản xuất của mỗi ngành công nghiệp nhằm đáp ứng các nhu cầu bênngoài và nội bộ, giả định rằng mô hình trên là đóng, tức là, không có hàng để lạihoặc nhập vào hệ thống.Lời giải Xét các ẩn như sau:1. p1= mức sản xuất của ngành công nghiệp dịch vụ.2. p2= mức sản xuất của các nhà máy phát điện [điện].3. p3= mức sản xuất cho các công ty sản xuất dầu.Do mô hình là đóng, tổng lượng tiêu thụ phải bằng tổng lượng sản xuất. Từ đây chota hệ phương trình tuyến tính sau:Ma trận vào – ra là19và hệ trên có thể viết lại thành [A-I]P=0. Chú ý rằng đây là hệ phương trình tuyếntính thuần nhất có vô số nghiệm [và hệ quả là có 1 nghiệm không tầm thường] domỗi cột trong ma trận hệ số có tổng bằng 1. Ma trận bổ sung của hệ thuần nhất nàylàTa biến đổi sơ cấp ma trận đó thành.Để giải hệ, ta đặt p3=t [một tham số], khi đó nghiệm tổng quát làvà như chúng ta đề cập ở trên, các giá trị của các biến trong hệ này phải là không âmnhằm làm cho mô hình có nghĩa; nói một các khác, t≥0. Lấy t=100 chẳng hạn, ta cónghiệm sau2] Mô hình Leontief mởMô hình Leontief thứ nhất dùng cho trường hợp không có hàng hóa nào bỏ lạihoặc nhập vào nền kinh tế, nhưng trong thực tế, điều này không xảy ra thường xuyên.Thông thường, một nền kinh tế nào đó phải thỏa mã yêu cầu bên ngoài, ví dụ như,từ các cơ quan như cơ quan chính phủ. Trong trường hợp này, gọi di là yêu cầu từngành công nghiệp thứ i bên ngoài, pi, và mij ký hiệu như trong mô hình đóng ở trên,khi đóvới mỗi i. Từ đây cho ta hệ phương trình tuyến tính viết dạng ma trận như sau:trong đó P và A ký hiệu như ở trên vàlà vectơ nhu cầu.Một cách để giải hệ tuyến tính này là20Tất nhiên, chúng ta yêu cầu ở đây là ma trận I-A phải khả nghịch, điều đó có thểkhông phải luôn luôn đúng. Nếu, them vào đó, [I-A]-1 có các phần tử không âm, thìcác thành phần của vectơ P là không âm và do đó chúng có thể chấp nhận được nhưlà các nghiệm của mô hình này. Ta nói trong trường hợp này rằng A là ma trận sảnxuất.Ví dụ Xét một nền kinh tế mở với 3 ngành công nghiệp: khai thác than, nhà máyphát điện và một nhà máy chế tạo ô tô. Để sản xuất 1 $ than, các hoạt động khai tháckhoáng sản phải mua $ 0.1 sản phẩm riêng của mình, $ 0,30 điện và 0,1 $ giá trị củaô tô để vận chuyển của nó. Để sản xuất 1 $ điện, phải mất $ 0,25 than, $ 0.4 của điệnvà 0,15 $ của ô tô. Cuối cùng, để sản xuất 1 $ giá trị của ô tô, các nhà máy ô tô phảimua 0,2 $ than, $ 0,5 điện và tiêu thụ 0,1 $ của ô tô. Giả sử rằng trong khoảng thờigian một tuần, nền kinh tế có nhu cầu từ bên ngoài khoảng 50.000 $ giá trị của than,75.000 $ giá trị của điện, và 125.000 $ giá trị của ô tô. Tìm năng lực sản xuất củamỗi ngành công nghiệp trong khoảng thời gian một tuần để đáp ứng chính xác cảnhu cầu nội bộ và nhu cầu bên ngoài.Lời giải Ma trận vào – ra của nền kinh tế làvà vectơ nhu cầu làBởi phương trình [*] ở trên, ta có P= [I-A]-1d, trong đóSử dụng phương pháp khử của [hoặc công thức B-1=[1/det[B]]adj[B]], ta tính đượcSuy raNên, tổng sản lượng của các hoạt động khai thác than phải là 229.921,59 $, tổng sảnlượng cho các nhà máy phát điện là 437.795,27 $ và tổng sản lượng cho nhà máy tựđộng sản xuất là 237.401,57 $.21ƯNG DỤNG TRONG LÝ THUYẾT KHỬGiới thiệu Nhiều vấn đề trong đại số tuyến tính [và nhiều ngành khoa học khác] dẫntới việc giải quyết một hệ phương trình tuyến tính của một số biến. Điều này cónghĩa là tìm nghiệm chung cho một số phương trình "đa thức" bậc 1 [siêu phẳng].Trong nhiều trường hợp, chúng ta đang phải đối mặt với hệ phương trình "phi tuyến"của các phương trình đa thức của nhiều hơn một biến. Một các hình học hóa, điềunày có nghĩa là tìm điểm chung của một số "mặt". Giống như phương pháp khửGauss cho các hệ tuyến tính, lý thuyết khử nói chung là về việc khử một số lượngẩn số từ một hệ phương trình đa thức của một hay nhiều biến để có được một hệphương trình tương đương đơn giản hơn.Một cách để tìm ra nghiệm chung của các phương trình đa thức là giải từngphương trình riêng biệt và sau đó so sánh tất cả các nghiệm. Đây không phải là mộtcách hiệu quả nhất nếu mục tiêu chỉ là để chỉ ra sự tồn tại nghiệm của hệ.Để hiểu tầm quan trọng của lý thuyết khử, chúng ta bắt đầu bằng việc xét ví dụ đơngiản sau.Ví dụ Xét một hệ phương trình bậc hai của một ẩn x:Chúng ta tìm một điều kiện cần và đủ để tồn tại một nghiệm của hệNếu f[x] và g[x] có một nghiệm chung, thì chúng phải có một nhân tử tuyến tínhchung, chẳng hạn là L. ĐặtKhi đó cả q1[x] và q2[x] phải là tuyến tính, và ta có thể viết dưới dạng[chọn dấu “-“ trong q2[x] sẽ có ý nghĩa ở phần sau] với các hằng số A1, B1, A2 và B2.Bây giờ, từ22Ta cóMột cách tường minh, ta cóKhai triển và nhóm các hạng tử cùng bậc trong phương trình trên ta được:Phương trình này là đúng với mọi x nếu các hệ số của x, x2, x3 và hệ số tự do bằng 0.Từ đó ta có hệ phương trình tuyến tính sau với các ẩn được sắp xếp theo thứ tự là: A2,B2, A1, B1:Để hệ này có nghiệm không tầm thường thì ma trận hệ số của nó phải là ma trận suybiến, tức là định thức của nó phải bằng 0:Điều này tương đương vớido định thức của một ma trận bằng định thức ma trận chuyển vị của nó. Định thứcnày được gọi là kết thức [Sylvester] của f[x] và g[x]. Chú ý rằng kết thức trongtrường hợp này là định thức của ma trận cấp 4x4 bao gồm các hệ số của hai đa thứccùng với 0 ở được sắp xếp theo một cách đặc biệt.Sau đây là định nghĩa của kết thức:Định nghĩa Cholà hai đa thức bậc tương ứng là m và n sao cho am ≠ 0 và bn ≠ 0. Nếu m ≤ n, ta địnhnghĩa kết thức của f[x] và g[x] là định thức sau:23Chú ý rằng Res[f[x], g[x]] là định thức của một ma trận vuông cấp [m+n].Ví dụ NếuthìTổng quát của ví dụ đầu tiên, ta có định lý sau:Định lý Cholà hai đa thức tương ứng bậc m và n với am ≠ 0 và bn ≠ 0. Khi đó hệ phương trình đathứccó nghiệm nếu và chỉ nếu Res[f[x], g[x]]=0.Ví dụ 1 Không giải các phương trình đa thức, chứng minh rằng hệ phương trình saucó nghiệm:Lời giải Ta tính kết thức của hai đa thức24