VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Viết phương trình đường thẳng trong không gian bằng phương pháp tham số hóa, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Viết phương trình đường thẳng trong không gian bằng phương pháp tham số hóa: Viết phương trình đường thẳng bằng phương pháp tham số hóa. Phương pháp. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M vuông góc và cắt đường thẳng d. Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M0 trên đường thẳng d. Khi đó đường thẳng d là đường thẳng đi qua M, H. Cách 2: Gọi [P] là mặt phẳng đi qua M0 và vuông góc với d. [Q] là mặt phẳng đi qua M0 và chứa d. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và cắt hai đường thẳng d, d1. Cách 1: Gọi M, Suy ra M1, M2, M3 thẳng hàng. Từ đó tìm được M1, M2 và suy ra phương trình đường thẳng d. Cách 2: Gọi [P] là mặt phẳng đi qua M0 và chứa d1, [Q] là mặt phẳng đi qua M0 và chứa d2. Do đó một vectơ chỉ phương của d có thể chọn là. Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng [P] và cắt cả hai đường thẳng d1, d2: Tìm các giao điểm. Khi đó d chính là đường thẳng AB. Đường thẳng d song song với và cắt cả hai đường thẳng d1, d2: Viết phương trình mặt phẳng [P] song song và chứa d1, mặt phẳng [Q] song song với d1 và chứa d2. Khi đó đường thẳng d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau: Viết phương trình đường thẳng MN chính là đường vuông góc chung của d1, d2. Bài tập 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng [Pxyz] và đường thẳng. Phương trình đường thẳng d1 là hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng [P] là. Đường thẳng d có phương trình tham số là. Lấy điểm M. Thay đổi tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng [P]. Lấy A[4; 2; 1]. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng [P]. Đường thẳng AH đi qua A[4; 2; 1] và nhận n[1; 1; 1] làm vectơ chỉ phương nên AH có phương trình là. Thay tọa độ H vào phương trình mặt phẳng [P] được MH là hình chiếu của d lên mặt phẳng [P], MH đi qua M[0; 2; 1] và nhận MH là vectơ chỉ phương nên có phương trình là. Bài tập 2. Cho các đường thẳng d và đường thẳng d1. Phương trình đường thẳng d đi qua A[1; 0; 2], cắt d1 và vuông góc với d2 là. Gọi I là một vectơ chỉ phương của d. Bài tập 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng [P] và hai đường thẳng. Đường thẳng vuông góc với [P] cắt cả hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình là. Đường thẳng d vuông góc với [P] cắt cả hai đường thẳng d tại M và cắt d2 tại N. Bài tập 4. Viết phương trình đường thẳng d qua A[1; 2; 3] cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng [Pxyz]. Bài tập 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng [P], điểm A[1; 3; 2] và đường thẳng. Tìm phương trình đường thẳng d cắt [P] và d lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của MN. A là trung điểm của MN. Mà MP nên tọa độ M thỏa phương trình [P]. Đường thẳng d đi qua hai điểm M và N nên có một vectơ chỉ phương.
Bài tập 6. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A[3; 3; 3] thuộc mặt phẳng và mặt cầu. Đường thẳng d qua A nằm trên mặt phẳng cắt S tại MN. Để độ dài MN lớn nhất thì phương trình đường thẳng là. Mặt cầu S có tâm I[2; 3; 5] và bán kính R = 10. Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến n[2; 2; 1. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của I lên d và mặt phẳng nên phương trình đường thẳng IK đi qua I và vuông góc với mặt phẳng là. Tọa độ điểm K là nghiệm hệ phương trình. Do đó IH nhỏ nhất khi H trùng với K. Để MN lớn nhất thì IH phải nhỏ nhất. Khi đó đường thẳng d cần tìm đi qua A và K.
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.
Nội dung bài viết Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng: Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng. Phương pháp giải: Để viết phương trình tham số của đường thẳng A ta cần xác định Điểm A[2; 3]. Một vectơ chỉ phương [a; b] của A Khi đó phương trình tham số của A. Để viết phương trình chính tắc của đường thẳng A ta cần xác định Điểm A[1; 3]. Một vectơ chỉ phương qua [a; b], ab = 0 của A. Phương trình chính tắc của đường thẳng A là [trường hợp ab = 0 thì đường thẳng không có phương trình chính tắc] Chú ý: Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì chúng có cùng VTCP và VTPT. Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTCP của đường thẳng này là VTPT của đường thẳng kia và ngược lại Nếu A có VTCP = [a; b] thì n = [-b; a] là một VTPT của A. Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho điểm A[1; -3] và B[-2; 3]. Viết phương trình tham số của đường thẳng A trong mỗi trường hợp sau: a] A đi qua A và nhận vectơ m[1; 2] làm vectơ pháp tuyến A đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng AB c] A là đường trung trực của đoạn thẳng AB Vì A nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến nên VTCP của A là u[-2; 1]. Vậy phương trình tham số của đường thẳng A là A: Ta có AB[-3; 6] mà A song song với đường thẳng AB nên nhận a[-1; 2] làm VTCP x = -t. Vậy phương trình tham số của đường thẳng A là A Vì A là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên nhận AB[-3; 6] làm VTPT và đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB. Ta có A nhận u[-1; 2] làm VTCP nên phương trình tham số của đường thẳng A.
Ví dụ 2: Viết phương trình tổng quát, tham số, chính tắc [nếu có] của đường thẳng A trong môi trường hợp sau: a] A di qua điểm A[3; 0] và B[1; 3] A di qua và vuông góc với đường thẳng d’. Đường thẳng A đi qua hai điểm A và B nên nhận AB =[-2; 3] làm vectơ chỉ phương do đó phương trình tham số là x = 3 – 2t, phương trình chính tắc là y = 3t phương trình tổng quá b] A vuông góc d’ nên VTCP của d’ cũng là VTPT của A nên đường thẳng A nhận [-3; 5] làm VTPT và t[-5; -3] làm VTCP do đó đó phương trình tổng quát là 3[- 3] + 5[4 – 4] = 0 hay phương trình tham số l hương trình chính tắc là y = – 3. Ví dụ 3: Cho tam giác ABC. a] Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác. b] Viết phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến AM. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm D, G với D là chân đường phân giác trong góc A và G là trọng tâm của AABC.
I. Lý thuyết về đường thẳng trong không gian
1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng
2. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng trong không gian
3. Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng
4. Góc giữa 2 đường thẳng
5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
6. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng
* Cách tính 1:
- Viết phương trình mặt phẳng [Q]qua M1và vuông góc với Δ.
- Tìm tọa độ giao điểm H củaΔvà mặt phẳng [Q].
- d[M1,Δ] = M1H
* Cách tính 2:
7. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau
* Cách tính 1:
- Viết phương trình mặt phẳng[Q]chứa [Δ]và song song với [Δ1].
- Tính khoảng cách từ M0M1tới mặt phẳng [Q].
- d[Δ,Δ1] = d[M1,Q]
* Cách tính 2:
II. Các dạng bài tập về đường thẳng trong không gian
Dạng 1: ViếtPT đường thẳng [d] qua 1 điểm và có VTCP
Phương pháp:
Lời giải:
Dạng 2: Viết PT đường thẳng đi qua 2 điểm A, B
Phương pháp
Ví dụ: Viết PTĐT [d] đi qua các điểm A[1; 2; 0], B[–1; 1; 3];
Lời giải:
Dạng 3: Viết PT đường thẳng đi qua A và song song với đường thẳngΔ
Phương pháp
Ví dụ:Viết phương trình đường thẳng đi qua A[2;1;-3] và song song với đường thẳng Δ:
Lời giải:
Dạng 4: Viết PT đường thẳng [d] đi qua A và vuông góc với mp [∝].
Phương pháp
Ví dụ: Viết PT đường thẳng [d]đi qua A[1;1;-2] và vuông góc với mp [P]: x-y-z-1=0
Lời giải:
Dạng 5: Viết PT đường thẳng [d] đi qua A và vuông góc với 2 đường thẳng [d1], [d2].
Phương pháp:
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng d biết d đi qua điểm M[1;-3;2] vuông góc với d1:
Dạng 6: Viết PT đường thẳng [d] là giao tuyến của 2 mp
- mp [P]: Ax + By + Cz + D = 0 và [Q]: A'x + B'y + C'z + D' = 0;
Phương pháp:
+ Cách giải 1:
+ Cách giải 2:
- Bước 1: Tìm toạ độ 2 điểm A, B∈ d. [Tìm 2 nghiệm của hệ 2 PT trên]
- Bước 2: Viết PT đường thẳng đi qua 2 điểm AB.
+ Cách giải 3:
- Đặt 1 trong 3 ẩn bằng t [chẳng hạn x = t], giải hệ 2 PT với 2 ẩn còn lại theo t rồi suy ra PT tham số của d.
Ví dụ:Viết phương trình đường thẳng [d] là giao tuyến của 2 mặt phằng[P]: 2x+y-z-3=0 và[Q]: x+y+z-1=0.
Lời giải:
Dạng 7: Viết PT hình chiếu của đường thẳng [d] lên mp [P].
Phương pháp
- Bước 1: Viết PT mp[Q] chứa d và vuông góc với mp [P].
- Bước 2: Hình chiếu cần tìm d’= [P]∩[Q]
- Chú ý:Nếu d⊥[P] thì hình chiếu của d làđiểm H=d∩[P]
Lời giải:
-Mặt phẳng Q đi qua d có phương trình dạng: m[x-2z] + n[3x-2y+z-3]=0
⇔ [m+3n]x - 2ny + [-2m+n]z - 3n = 0
Q⊥ P⇔ 1.[m+3n] - 2[-2n] + 1.[-2m+n] = 0
⇔ m + 3n + 4n - 2m + n = 0⇔ -m + 8n = 0
Chọn m = 8 thì n = 1 ta được phương trình mp [Q]: 11x - 2y - 15z - 3 = 0
- Vì hình chiếu d’ của d trên P nên d'là giao tuyến của P và Q,phương trình của d’ sẽ là:
Dạng 8 : Viết PT đường thẳng d đi qua điểm A và cắt hai đường thẳng d1, d2
Phương pháp
+ Cách giải 1:
- Bước 1: Viết PT mặt phẳng [α] đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1.
- Bước 2: Tìm giao điểm B = [α]∩ [d2]
- Bước 3: Đường thẳng cần tìm là đt đi qua 2 điểm A, B.
+ Cách giải 2:
- Bước 1: Viết PT mặt phẳng [α] đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1
- Bước 2: Viết PT mặt phẳng [β] đi qua điểm A và chứa đường thẳng d2.
- Bước 3: Đường thẳng cần tìm d’= [α]∩ [β]
+ Cách giải 3:
- Bước 1: Tìm toạ độ giao điểm B của d với d1 và C của d với d2
- Bước 2:Từ điều kiện 3 điểm thẳng hàng tính được toạ độ B, C
- Bước 3: Viết PT [d] đi qua 2 điểm
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, viết PT của đường thẳng d biết d đi qua điểm A[1;1;0] và cắt cả 2 đường thẳng d1:
Lời giải:
- Gọi B, C lần lượt là các điểm và d cắt d1 và d2, ta có toạ độ B[1+t;-t;0] và C[0;0;2+s]
Dạng 9: Viết PT đường thẳng d song song với d1và cắt cả hai đường thẳng d2và d3.
Phương pháp
- Bước 1: Viết PT mp[P] song song với d1và chứa d2.
- Bước 2: Viết PT mp[Q] song song với d1và chứa d3.
- Bước 3: Đường thẳng cần tìm d = [P]∩ [Q]
Ví dụ:Viết phương trình đường thẳng[d]song song với trụcOxvà cắt[d1],[d2]có PT:
Lời giải:
Dạng 10: Viết PT đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc đường thẳng d1và cắt đường thẳng d2
Phương pháp
+ Cách giải 1:
- Bước 1: Viết PT mặt phẳng [α] qua điểm A và vuông góc đường thẳng d1.
- Bước 2: Tìm giao điểm B = [α]∩ [d2]
- Bước 3: Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B.
+ Cách giải 2:
- Bước 1: Viết PT mp [α] đi qua điểm A và vuông góc với d1.
- Bước 2: Viết PT mp [β] đi qua điểm A và chứa d2.
- Bước 3: Đường thẳng cần tìm d = [α]∩ [β]
Lời giải:
- PT mp [P]⊥ d2 nên nhận VTCP d2 làm VTPT nên có PT:2x - 5y + z + D = 0
- PT mp [P] đi qua M[1;1;1] nên có: 2.1 - 5.1 + 1 + D = 0⇒ D = 2
⇒ PT mp [P]:2x - 5y + z + 2 = 0
- Toạ độ giao điểm A của d1 và mp[P] là: [-5;-1;3]
Dạng 11 : Lập đường thẳng d đi qua điểm A , song song mp [α] và cắt đường thẳng d’
Phương pháp:
+ Cách giải 1:
- Bước 1: Viết PT mp [P] đi qua điểm A và song song với mp [α].
- Bước 2: Viết PT mp [Q] đi qua điểm A và chứa đường thẳng d’.
- Bước 3: Đường thẳng cần tìm d = [P]∩ [Q]
+ Cách giải 2:
- Bước 1: Viết PT mặt phẳng [P] qua điểm A và song song mặt phẳng [α]
- Bước 2: Tìm giao điểm B = [P]∩ d’
- Bước 3: Đường thẳng cần tìm d đi qua hai điểm A và B.
Lời giải:
Dạng 12: Viết PT đường thẳng d nằm trong mp [P] và cắt hai đường thẳng d1, d2cho trước .
Phương pháp:
- Bước 1: Tìm giao điểm A = d1∩[P]; B = d2∩[P]
- Bước 2: d là đường thẳng qua hai điểm A và B .
Ví dụ: Cho 2 đường thẳng:
và mặt phẳng [P]: x - y - 2z + 3 = 0; Viết phương trình đường thẳngΔ nằm trong mặt phẳng [P] và cắt 2 đường thẳng d1 , d2;
Lời giải:
- Gọi A = d1∩[P]; B = d2∩[P] thì tọađộ của A và B là: A[-1+2t;1-t;1+t] và B[1+s;2+s;-1+2s]
- Ta lại có: A∈[P] nên: [-1+2t]-[1-t]-2[1+t]+3=0⇔ t = 1⇒ A[1;0;2]
- Tương tự: B∈[P] nên: [1+s]-[2+s]-2[-1+2s]+3=0⇔ s = 1⇒ B[2;3;1]
Dạng 13: Viết PT đường thẳng d nằm trong mp [P] và vuông góc đường thẳng d’ cho trước tại giao điểm I của d’ và mp [P].
Phương pháp
Dạng 14: Viết PT đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng chéo nhau d1, d2.
Phương pháp
+ Cách giải 1:
- Bước 4: Đường thẳng cần tìm d = [P]∩ [Q]. [Lúc này ta chỉ cần tìm thêm 1điểm M thuộc d].
+ Cách giải 2:
- Bước 1: Gọi M[x0+at; y0+bt; z0+ct]∈ d1; N[x0'+a’t’; y0’+b’t’; z0’+c’t’]∈ d2là chân cácđường vuông góc chung của d1và d2.
- Bước 2: Ta có
- Bước 3: Thay t và t’ tìm được vào toạ độ M, N tìm được M, N. Đường thẳng cần tìm d là đường thẳng đi qua 2 điểm M, N.
- Chú ý : Cách 2 cho ta tìm được ngay độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.
Lời giải:
Dạng 15: Viết PT đường thẳng d vuông góc với mp[P] và cắt cả hai đường thẳng d1và d2.
Phương pháp:
- Bước 1: Viết PT mp[P] chứa d1và vuông góc với [P].
- Bước 2: Viết PT mp[Q] chứa d2và vuông góc với [P].
- Bước 3: Đường thẳng cần tìm d = [P]∩ [Q].
Lời giải:
Dạng 16: Lập PT đường thẳng d đi qua điểm A , cắt và vuông góc với đường thẳng d.
Phương pháp:
- Đây là trường hợp đặc biệt của dạng 10, phương pháp tương tự dạng 10.