Cách giải chi tiết Các dạng bài tập ý nghĩa vật lý của đạo hàm
+ Cho một vật chuyển động có phương trình : s = s[ t]. Vận tốc tức thời tại thời điểm \[{t_0}\] được xác đinh bởi: \[v\left[ {{t_0}} \right] = s’\left[ {{t_0}} \right]\]
+ Cho một vật chuyển động có phương trình vận tốc: v= v[t]. Gia tốc tức thời tại thời điểm \[{t_0}\] được xác định bởi: \[a\left[ {{t_0}} \right] = v’\left[ {{t_0}} \right]\]
+ Cường độ tức thời của điện lượng Q= Q[ t] tại thời điểm \[{t_0}\] là: \[I\left[ {{t_0}} \right] = Q’\left[ {{t_0}} \right]\]
Ví dụ 1. Một xe máy chuyển động theo phương trình \[s\left[ t \right] = {t^2} + 6t + 10\] trong đó t đơn vị là giây; s là quãng đường đi được đơn vị m. Tính vận tốc tức thời của xe tại thời điểm t= 3
A. 12 m/ s B .36 km/h C.6 m/s D. 24 m/s
Phương trình vận tốc của xe là \[v\left[ t \right] = s’\left[ t \right] = 2t + 6\] [ m/s]
⇒ vận tốc tức thời của xe tại thời điểm t = 3 là:
V[3] = 2. 3+ 6 = 12[ m/s]
Ví dụ 2. Một vật chuyển động có phương trình vận tốc là: \[v = 4t + 10\] [m/s] . Tính gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 10s?
Phương trình gia tốc của chuyển động là : \[a\left[ t \right] = v’\left[ t \right] = 4\left[ {m/{s^2}} \right]\]
⇒ Gia tốc của vật trong quá trình chuyển động là \[4\left[ {m/{s^2}} \right]\]- không thay đổi.
Ví dụ 3. Cho một vật chuyển động theo phương trình \[s\left[ t \right] = {t^2} – 40t + 10\] trong đó s là quãng đường vật đi được [ m] và t thời gian chuyển động [ s]. Hỏi tại thời điểm nào vật dừng lại?
A. 40 s B. 60 s C. 80 s D. 20 s
Phương trình vận tốc của chuyển động là :
\[v\left[ t \right] = s’\left[ t \right] = 2t – 40\] [ m/s ]
Khi vật dừng lại thì vận tốc của chuyển động bằng 0. Khi đó; ta có phương trình:
2t – 40= 0 ⇔ t = 20 [s] .
Vậy sau 20s kể từ khi khởi hành vật sẽ dừng lại.
Ví dụ 4. Một vật chuyển động theo phương trình \[s\left[ t \right] = – 2{t^2} + 20t + 100\]. Trong đó; s là quãng đường vật đi được [ m] và t là thời gian vật chuyển động [ s]. Hỏi tại thời điểm nào vật có vận tốc tức thời là 4m/s?
Phương trình vận tốc của chuyển động là:
\[v\left[ t \right] = s’\left[ t \right] = – 4t + 20\] [ m/s]
Để vận tốc tức thời của vật là 4m/s thì – 4t+ 20 = 4 ⇔ t = 4 [ s]
Như vậy sau 4s kể từ lúc xuất phát thì vận tốc tức thời của vật là 4m/s.
Ví dụ 5. Một chất điểm chuyển động theo phương trình \[s\left[ t \right] = {t^3} – 2{t^2} – 1\][ m] là quãng đường vật đi được . Hỏi sau bao lâu kể từ lúc xuất phát gia tốc tức thời của vật là \[56\left[ {m/{s^2}} \right]\]?
A. 10 s B. 12 s C. 8 s D.6s
Phương trình vận tốc của chuyển động là:
\[v\left[ t \right] = s’\left[ t \right] = 3{t^2} – 4t\] [ m/s]
Phương trình gia tốc của chuyển động là:
\[a\left[ t \right] = v’\left[ t \right] = 6t – 4\left[ {m/{s^2}} \right]\]
Để gia tốc tức thời của chuyển động là \[56\left[ {m/{s^2}} \right]\] thì:
\[6t – 4 = 56 \Leftrightarrow t = 10\left[ s \right]\]
Vậy sau 10 s kể từ lúc xuất phát gia tốc tức thời của vật là \[56\left[ {m/{s^2}} \right]\]
Ví dụ 6. Cho vật chuyển động theo phương trình: \[s\left[ t \right] = {t^3} – 3{t^2} + 6t\][ m]. Tính vận tốc của vật tại thời điểm gia tốc bị triệt tiêu?
A. 1m/s B. 2m/s C. 4 m/s D. 3 m/s
Phương trình vận tốc của chuyển động:
\[v\left[ t \right] = s’\left[ t \right] = 3{t^2} – 6t + 6\][ m/s]
Phương trình gia tốc của chuyển động là:
\[a\left[ t \right] = v’\left[ t \right] = 6t – 6\left[ {m/{s^2}} \right]\]
Gia tốc bị triệt tiêu khi và chỉ khi: 6t – 6= 0 ⇔ t= 1 [s] .
Tại thời điểm t = 1 [s] vận tốc của chuyển động là: v[1]= 3[ m/s]
Ví dụ 7. Cho một vật chuyển động theo phương trình \[s\left[ t \right] = {t^{^2}} + mt + 10\][m] . Xác định m biết tại thời điểm t = 3 thì vận tốc tức thời của vật là 8m/s.
A. m= 2 B. m= 4 C.m= -2 D. m= 1
Phương trình vận tốc của chuyển động là :
\[v\left[ t \right] = s’\left[ t \right] = 2t + m\][ m/s]
Tại thời điểm t = 3 thì vận tốc tức thời của vật là 8m/s nên ta có:
Ví dụ 8. Cho chất điểm chuyển động theo phương trình : \[s\left[ t \right] = m{t^2} + 4t + 10\][ s]. Xác định m biết rằng tại thời điểm t = 3 thì gia tốc tức thời của vật là \[a = 4\left[ {m/{s^2}} \right]\]
A. m = 1 B. m = 2 C. m = – 2 D. m = 4
Phương trình vận tốc tức thời của chuyển động: \[v\left[ t \right] = s’\left[ t \right] = 2mt + 4\][m/s]
Phương trình gia tốc tức thời của chuyển động là:
\[a\left[ t \right] = v’\left[ t \right] = 2m{\rm{ }}\left[ {m/{s^2}} \right]\]
Tại thời điểm t = 3 thì gia tốc tức thời của vật là \[a = 4\left[ {m/{s^2}} \right]\] nên ta có;
Ví dụ 9. Cho vật chuyển động theo phương trình : \[s\left[ t \right] = {t^3} + m{t^2} – t + 2\][ m] . Biết rằng tại thời điểm t = 1/3[ s] vận tốc của chuyển động bị triệt tiêu. Tìm gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 1 s?
A. 4 B. 6 C. 8 D. Đáp án khác
Phường trình vận tốc của chuyển động là :
\[v\left[ t \right] = s’\left[ t \right] = 3{t^2} + 2mt – 1\][m/s ]
Vận tốc của chuyển động bị triệt tiêu khi và chỉ khi: \[3{t^2} + 2mt – 1 = 0\]
Theo giả thiết vận tốc bị triệt tiêu tại t = 1/3 s nên ta có:
\[\begin{array}{l} 3.{\left[ {\frac{1}{3}} \right]^2} + 2m.\frac{1}{3} – 1 = 0\\ \Leftrightarrow m = 1
\end{array}\]
⇒ phương trình vận tốc của chuyển động là: \[v\left[ t \right] = 3{t^2} + 2t – 1\][m/s]
⇒ Phương trình gia tốc của chuyển động là : \[a\left[ t \right] = 6t + 2\left[ {m/{s^2}} \right]\]
Do đó gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 1 là \[a\left[ 1 \right] = 8\left[ {m/{s^2}} \right]\]
Like share và ủng hộ chúng mình nhé:
Trong chương trình Toán học trung học phổ thông, đạo hàm của hàm số là một nội dung vô cùng quan trọng. Vậy đạo hàm là gì? Những công thức tính đạo hàm nào hay gặp nhất? Trong bài viết này, Team Marathon Education sẽ tổng hợp cho các em lý thuyết đạo hàm là gì và các công thức tính đạo hàm thường gặp.
>>> Xem thêm:
Đạo hàm là gì?
Để giải các bài toán về đạo hàm, các em cần hiểu rõ khái niệm đạo hàm là gì. Theo toán học giải tích, đạo hàm thực chất là một đại lượng được dùng để mô tả sự biến thiên của hàm số tại một điểm nào đó.
Định nghĩa
\begin{aligned} &\footnotesize\text{Cho hàm số y = f[x] được xác định trên khoảng [a;b] và }x_0 \text{ ∈ [a;b].}\\ &\footnotesize\text{Giới hạn hữu hạn của tỉ số }\frac{f[x]-f[x_0]}{x-x_0} \text{ [nếu có] khi x} \to x_0 \text{ được gọi là}\\ &\footnotesize\text{đạo hàm của hàm số f[x] tại }x_0. \text{ Ký hiệu đạo hàm là }f'[x_0]\text{ hay }y'[x_0]. \end{aligned}
Như vậy:
f'[x_0]=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f[x]-f[x_0]}{x-x_0}
Đặt: x – x = ∆x và ∆y = f[x+∆x] – f[x] thì các em sẽ có được:
f'[x_0]=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}
Trong đó:
- ∆x là số gia của đối số tại x0.
- ∆y được gọi là số gia tương ứng của hàm số.
Lý Thuyết Toán 10 Mệnh Đề Và Các Dạng Mệnh Đề Thường Gặp
Cách tính đạo hàm dựa trên định nghĩa
Khi các em đã biết được đạo hàm là gì, nội dung này cũng sẽ trở nên đơn giản hơn. Dựa vào định nghĩa trên, các em có thể tính đạo hàm của hàm số theo các bước sau:
\begin{aligned} &\footnotesize\text{Bước 1: Tính } Δy = f[x0+Δx] − f[x0]\text{ với Δx là số gia của số đối tại }x_0.\\ &\footnotesize\text{Bước 2: Lập tỉ số }\frac{\Delta y}{\Delta x}.\\ &\footnotesize\text{Bước 3: Tính}\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} \end{aligned}
Nhận xét: Nếu các em thay x0 = xthì sẽ có định nghĩa và quy tắc tính đạo hàm của hàm số y = f[x] tại điểm x ∈ [a;b].
Quan hệ giữa tính liên tục và sự tồn tại đạo hàm
Định lý: Nếu hàm số y = f[x] có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại x0.
Lưu ý: Nếu hàm số y = f[x] gián đoạn tại x0 thì nó không có đạo hàm tại điểm x. Tuy nhiên, một hàm số liên tục tại một điểm cũng có thể không có đạo hàm tại điểm đó.
Ý nghĩa của đạo hàm là gì?
Ý nghĩa hình học
Cho hàm số y = f[x] có đồ thị [C] thì f’[x] là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị [C] của hàm số y = f[x] tại điểm M [x; f[x]].
Lúc này, phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M [x;f[x]] sẽ là:
y - f[x_0] = f'[x_0][x-x_0]
Ý nghĩa vật lý
Ngoài ý nghĩa hình học thì đạo hàm còn có ý nghĩa vật lý. Vậy ý nghĩa vật lý của đạo hàm là gì?
Trong một chuyển động thẳng, vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t có thể được tính bằng công thức v[t] = s'[t].
Các công thức tính đạo hàm thường gặp
Sau khi biết được đạo hàm là gì, các em hãy ghi nhớ một số công thức tính đạo hàm thường gặp sau để áp dụng giải các bài tập.
Các Dạng Toán Tìm Phần Thực Và Phần Ảo Của Số Phức
Công thức tính đạo hàm hàm hợp:
\begin{array}{ccc} [u+v]'=u'+v' & [uv]'=u'v+uv'&\left[ \frac{u}{v}\right]'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\\ y'_x=y'_u.u'_x&[ku]'=k.u'&\left[ \frac{k}{u}\right]'=\frac{k.u'}{u^2} \end{array}
Công thức tính đạo hàm các hàm số sơ cấp:
Công thức tính đạo hàm cấp cao:
Các quy tắc tính đạo hàm:
Công thức tính đạo hàm của một số phân thức hữu tỉ thường gặp:
Marathon Education là nền tảng học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh uy tín và chất lượng hàng đầu Việt Nam dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12. Với nội dung chương trình giảng dạy bám sát chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, Marathon Education sẽ giúp các em lấy lại căn bản, bứt phá điểm số và nâng cao thành tích học tập.
Tại Marathon, các em sẽ được giảng dạy bởi các thầy cô thuộc TOP 1% giáo viên dạy giỏi toàn quốc. Các thầy cô đều có học vị từ Thạc Sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong giáo dục. Bằng phương pháp dạy sáng tạo, gần gũi, các thầy cô sẽ giúp các em tiếp thu kiến thức một cách nhanh chóng và dễ dàng.
Marathon Education còn có đội ngũ cố vấn học tập chuyên môn luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học tập và cá nhân hóa lộ trình học tập của mình.
Với ứng dụng tích hợp thông tin dữ liệu cùng nền tảng công nghệ, mỗi lớp học của Marathon Education luôn đảm bảo đường truyền ổn định chống giật/lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất.
Bất Đẳng Thức Mincopxki Và Bài Tập Vận Dụng Có Đáp Án Chi Tiết
Nhờ nền tảng học livestream trực tuyến mô phỏng lớp học offline, các em có thể tương tác trực tiếp với giáo viên dễ dàng như khi học tại trường.
Khi trở thành học viên tại Marathon Education, các em còn nhận được các sổ tay Toán – Lý – Hóa “siêu xịn” tổng hợp toàn bộ công thức và nội dung môn học được biên soạn chi tiết, kỹ lưỡng và chỉn chu giúp các em học tập và ghi nhớ kiến thức dễ dàng hơn.
Marathon Education cam kết đầu ra 8+ hoặc ít nhất tăng 3 điểm cho học viên. Nếu không đạt điểm số như cam kết, Marathon sẽ hoàn trả các em 100% học phí. Các em hãy nhanh tay đăng ký học livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – lớp 12 năm học 2022 – 2023 tại Marathon Education ngay hôm nay để được hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39% giảm từ 699K chỉ còn 399K.
Các khóa học online tại Marathon Education
Qua bài viết này, Marathon Education đã tổng hợp những nội dung cơ bản để các em hiểu rõ đạo hàm là gì và các công thức tính đạo hàm thường gặp. Đây là kiến thức trọng tâm để chuẩn bị cho kỳ thi THPTQG. Các em hãy chú ý học thuộc, nắm chắc các công thức để giải đúng các bài tập và dễ dàng vượt qua các kỳ thi. Chúc các em học tập tốt!