Nếu có số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b thì ta nói b là ước số của a.
Ví dụ: 18 ÷ 6 thì 6 được xem là ước số của 18.
Ta kí hiệu tập hơp các ước của a là Ư [a].
Ví dụ: Tìm tập hợp Ư [8].
Lần lượt chia 8 cho 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ta thấy 8 chỉ chia hết cho 1, 2, 4, 8. Do đó:
Ư [8] = {1, 2, 4, 8}
Ta có thể tìm các ước của a [a > 1] bằng cách lần lượt chia a cho các số tự nhiên từ 1 đến a để xem xét a chia hết cho những số nào, khi đó các số ấy là ước của a.
2. Cách tìm ước chung
Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.
Ví dụ: Viết tập hợp các ước chung của 4 và các tập hợp ước của 6, ta có:
Ư[4] = { 1 ; 2 ; 4 }
Ư[6] = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 }
Các số 1 và 2 vừa là ước của 4, vừa là ước của 6. Ta nói chúng là các ước chung của 4 và 6.
Ta kí hiệu tập hợp các ước chung của 4 và 6 là ƯC [4, 6]. Ta có:
ƯC [4, 6] = {1 ; 2}
x € ƯC [a, b] nếu a ÷ x và b ÷ x
Tương tự ta cũng có:
x € ƯC [a, b, c] nếu a ÷ x, b ÷ x và c ÷ c
3. Ước chung lớn nhất
3.1. Khái niệm ước chung lớn nhất
Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.
Kí hiệu ước chung lớn nhất của các số a, b, c là ƯCLN [a, b, c].
3.2. Cách tìm ước chung lớn nhất
Muốn tìm ƯCLN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau:
Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.
Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.
Ví dụ: Tìm ƯCLN của 12; 20; 30
Ta có: 12 = 2² ×3
20 = 2² × 5
30 = 2 × 3 × 5
Suy ra ƯCLN[12; 20; 30] = 2
Lưu ý:
a] Nếu các số đã cho không có thừa số nào chung thì ƯCLN của chúng bằng 1.
Hai hay nhiều số có ƯCLN bằng 1 được gọi là những số nguyên tố cùng nhau.
b] Trong các số đã cho, nếu có số nhỏ nhất là ước của số còn lại thì ƯCLN của các số đã cho chính là số nhỏ nhất ấy.
3.3. Cách tìm ước chung
Muốn tìm ước chung của các số đã cho ta có thể tìm các ước của ƯCLN của các số đó.
Như vậy, tập hợp các ước chung của các số đã cho là tập hợp các ước của ƯCLN của các số đó.
Ví dụ: Tìm các ước chung của 144 và 192
Ta có:
144 = 24 × 32192 = 26 × 3ƯCLN [144, 192] = 24 × 3 = 48
Suy ra ƯC[144, 192] = Ư[48] = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48}
4. Bài tập ứng dụng
Câu 1: Tìm các ước của 4, của 6, của 9, của 13 và của 1.
Đáp án:
Ư[4] = {1; 2; 4}
Ư[6] = {1; 2; 3; 6}
Ư[9] = {1; 3; 9}
Ư[13] = {1;13}
Ư[1] = {1}
Câu 2: Tìm ƯCLN của:
a] 56 và 140
b] 24, 84, 180
c] 60 và 180
d] 15 và 19
Lời giải:
a] Phân tích ra thừa số nguyên tố:
56 = 2³ × 7
140 = 2² × 5 × 7
Các thừa số nguyên tố chung là 2; 7.
⇒ ƯCLN [56, 140] = 2² × 7 = 28
b] 84 = 2² × 3 × 7
24 = 2³ × 3
180 = 2² × 3² × 5
⇒ ƯCLN [24; 84; 180] = 2²× 3 = 12.
c] 60 = 2² × 3 × 5
180 = 2² × 3² × 5
⇒ ƯCLN [60, 180] = 2² × 3 × 5 = 60
Câu 3: Lan có một tấm bìa hình chữ nhật kích thước 75cm và 105cm. Lan muốn cắt tấm bia thành các mảnh nhỏ hình vuông bằng nhau sao cho tấm bìa được cắt hết, không còn thừa mảnh nào. Tính độ dài lớn nhất của cạnh hình vuông [số đo cạnh của hình vuông nhỏ là một số tự nhiên với đơn vị xentimét].
Hướng dẫn:
Để tấm bìa được cắt không còn thừa mảnh nào thì cạnh hình vuông phải là ước của chiều rộng và chiều dài tấm bìa.
Chiều rộng bằng 75cm, chiều dài bằng 105cm.
Do đó cạnh hình vuông phải là một trong các ƯC[75; 105].
Độ dài lớn nhất của cạnh hình vuông là ƯCLN[75; 105].
Ta có : 75 = 3 × 5²
105 = 3.5.7
⇒ ƯCLN[75; 105] = 3 × 5 = 15
Vậy cạnh hình vuông lớn nhất là 15cm.
----------------------------
Hy vọng bài viết sẽ giúp ích cho các em học sinh nắm rõ về khái niệm của ước số là gì và biết cách tìm ước chung, ước chung lớn nhất để ứng dụng vào giải bài tập thực tế.
Trong toán học, ước số chung lớn nhất [ƯSCLN] hay ước chung lớn nhất [ƯCLN] của hai hay nhiều số nguyên là số nguyên dương lớn nhất là ước số chung của các số đó. Ví dụ, ước chung lớn nhất của 6 và 15 là 3 vì 6 : 3 = 2 {\displaystyle 6:3=2} .
Những số nằm trong cả hai danh sách được gọi là những ước chung của 27 và 45:
1 , 3 , 9 {\displaystyle 1,3,9}
Trong đó số lớn nhất là 9. Vậy 9 là ước chung lớn nhất của 27 và 45. Viết UCLN[27,45]=9
Số nguyên tố cùng nhauSửa đổi
Bài chi tiết: Số nguyên tố cùng nhau
Các số được gọi là số nguyên tố cùng nhau nếu ước chung lớn nhất của chúng bằng 1. Chẳng hạn, 9 và 28 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Ước chung lớn nhất được sử dụng để đưa một phân số về dạng phân số tối giản. Chẳng hạn, ƯCLN[42, 56]=14, do đó,
42 56 = 3 ⋅ 14 4 ⋅ 14 = 3 4 . {\displaystyle {42 \over 56}={3\cdot 14 \over 4\cdot 14}={3 \over 4}.}- Mọi ước chung của các số là ước của ƯCLN của các só đó.
- Với các số nguyên a0, a1, a2,... an, ƯCLN[a0, a1, a2,... an] có thể được định nghĩa tương đương như số nguyên dương d nhỏ nhất có dạng d= ∑ k = 0 n a k x k {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}x_{k}} trong đó xk là các số nguyên. Định lý này được gọi là đẳng thức Bézout. Các số xk có thể tính nhờ Giải thuật Euclid mở rộng.
- ƯCLN[a,0] =|a|, với mọi a ≠ 0, vì mọi số khác 0 bất kỳ là ước của 0, và ước lớn nhất của a là|a|. Đây là trường hợp cơ sở trong thuật toán Euclid.
- Nếu a là ước của tích b·c, và ƯCLN[a,b]=d, thì a/d là ước của c.
- Nếu m là số nguyên dương, thì ƯCLN[ma0,ma1, ma2,...man]=m · ƯCLN[a0, a1, a2,... an].
- Nếu m là số nguyên bất kỳ, thì ƯCLN[a+m · b,b]=ƯCLN[a,b]. Nếu m ước chung [khác 0] của a và b, thì UCLN[a/m,b/m]=ƯCLN[a,b]/m.
- ƯCLN là một hàm có tính nhân theo nghĩa sau: nếu các số a1, a2,...,an là các số nguyên tố cùng nhau, thì ƯCLN[a1 · a2 · ... · an,b] = ƯCLN[a1,b] · ƯCLN [a2,b] · ... · ƯCLN [an,b].
- ƯCLN là hàm giao hoán: ƯCLN[a, b] = ƯCLN[b, a].
- ƯCLN là hàm kết hợp: ƯCLN[a,b,c]= ƯCLN[a, ƯCLN[b, c]] = ƯCLN[ƯCLN[a, b], c].
- ƯCLN[a,b] quan hệ chặt chẽ với BCNN[a,b]: ta có
- Nếu sử dụng định nghĩa ƯCLN[0,0]=0 và BCNN[0,0]=0 thì khi đó tập các số tự nhiên trở thành một dàn đầy đủ phân phối với ƯCLN.
- Trong Hệ tọa độ Descartes, ƯCLN[a,b] biểu diễn số các điểm với tọa độ nguyên trên đoạn thẳng nối các điểm [0,0] và [a,b], trừ chính điểm [0,0].
Tìm ước chung lớn nhất bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tốSửa đổi
Định lý cơ bản của số học nói rằng mọi số nguyên dương lớn hơn 1 có thể biểu diễn một cách duy nhất dạng tích các số nguyên tố [nếu không kể đến thứ tự của các thừa số]. Như vậy các hợp số có thể coi như là các nguyên tố cấu thành hợp số. Ví dụ:
90 = 2 1 ⋅ 3 2 ⋅ 5 1 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 {\displaystyle 90=2^{1}\cdot 3^{2}\cdot 5^{1}=2\cdot 3\cdot 3\cdot 5\,\!}Ở đây chúng ta có hợp số 90 tạo thành bởi một nguyên tử 2, hai nguyên tử 3 và một nguyên tử 5.
Kiến thức này có thể giúp chúng ta tìm ƯCLN của một tập hợp các số.
Ví dụ: Tìm giá trị của ƯCLN[12, 32, 60].
Đầu tiên, ta phân tích từng số thành dạng tích lũy thừa các số nguyên tố.
12 = 2 2 ⋅ 3 {\displaystyle 12=2^{2}\cdot 3} 32 = 2 5 {\displaystyle 32=2^{5}} 60 = 2 2 ⋅ 3 ⋅ 5 {\displaystyle 60=2^{2}\cdot 3\cdot 5}Với mỗi thừa số nguyên tố có chung trong các số, chọn lũy thừa thấp nhất, tích của chúng cho ta giá trị ƯCLN cần tìm. Thừa số 2 có ở cả ba số, có bậc thấp nhất là 22. Do đó:
UCLN [ 12 , 32 , 60 ] = 2 2 = 4 {\displaystyle \operatorname {UCLN} [12,32,60]=2^{2}=4}Trên thực tế phương pháp này chỉ dùng cho các số nhỏ. Việc phân tích các số lớn ra thừa số nguyên tố mất rất nhiều thời gian.
Để tìm ƯCLN của 2 số tự nhiên thì phương pháp hiệu quả là giải thuật Euclid dựa trên dãy liên tiếp các phép chia có dư.
Tính qua bội số chung nhỏ nhấtSửa đổi
Nếu a và b là các số khác không, thì ước chung lớn nhất của a và b có thể tính qua bội chung nhỏ nhất [BCNN] của a và b:
U C L N [ a , b ] = a ⋅ b B C N N [ a , b ] {\displaystyle UCLN[a,b]={\frac {a\cdot b}{BCNN[a,b]}}}
- ^ Kelley, W. Michael [2004], The Complete Idiot's Guide to Algebra, Penguin, tr.142, ISBN9781592571611.
- ^ Jones, Allyn [1999], Whole Numbers, Decimals, Percentages and Fractions Year 7, Pascal Press, tr.16, ISBN9781864413786.
- ^ Barlow, Peter; Peacock, George; Lardner, Dionysius; Airy, Sir George Biddell; Hamilton, H. P.; Levy, A.; De Morgan, Augustus; Mosley, Henry [1847], Encyclopaedia of Pure Mathematics, R. Griffin and Co., tr.589.
- ^ Hardy & Wright [1979, tr.20]Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFHardyWright1979 [trợ giúp]
- Donald Knuth. The Art of Computer Programming, Volume 2: Seminumerical Algorithms, Third Edition. Addison-Wesley, 1997. ISBN 0-201-89684-2. Section 4.5.2: The Greatest Common Divisor, pp.333–356.
- Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Section 31.2: Greatest common divisor, pp.856–862.
- Saunders MacLane và Garrett Birkhoff. A Survey of Modern Algebra, Fourth Edition. MacMillan Publishing Co., 1977. ISBN 0-02-310070-2. 1-7: "The Euclidean Algorithm."
- GCD Implementation in C++
- greatest common divisor tại Everything2.com
- Greatest Common Measure: The Last 2500 Years, by Alexander Stepanov