- LG 1
- LG 2
Gọirvàhlần lượt là bán kính đáy và chiều cao của một hình nón. Kí hiệu \[{V_1},{V_2}\] lần lượt là thể tích hình nón và thể tích hình cầu nội tiếp hình nón.
LG 1
Tỉ số \[{{{V_1}} \over {{V_2}}}\] theo r, h.
Lời giải chi tiết:
Gọi [P] là mặt phẳng đi qua trục của hình nón thì [P] cắt hình nón theo tam giác cân SAB, cắt mặt cầu theo đường tròn lớn, đường tròn này nội tiếp tam giác cân.
Khi đó, bán kính \[{r_1}\] của hình cầu nội tiếp hình nón được tính bởi công thức
\[{r_1} = {{rh} \over {r + \sqrt {{h^2} + {r^2}} }}.\]
Thể tích hình nón là \[{V_1} = {1 \over 3}\pi {r^2}h.\]
Thể tích hình cầu nội tiếp hình nón là \[{V_2} = {{4\pi } \over 3}{\left[ {{{rh} \over {r + \sqrt {{r^2} + {h^2}} }}} \right]^3}.\]
Vậy \[{{{V_1}} \over {{V_2}}} = {1 \over 4}{{{{\left[ {r + \sqrt {{r^2} + {h^2}} } \right]}^3}} \over {r{h^2}}}.\]
LG 2
Khirvàhthay đổi, tìm giá trị bé nhất của tỉ số \[{{{V_1}} \over {{V_2}}}\].
Lời giải chi tiết:
\[{{{V_1}} \over {{V_2}}} = {1 \over 4}{{{{\left[ {\sqrt {1 + {{{h^2}} \over {{r^2}}}} + 1} \right]}^3}} \over {{{{h^2}} \over {{r^2}}}}} = {1 \over 4}{{{{\left[ {1 + \sqrt {1 + x} } \right]}^3}} \over x},\] ở đó \[{{{h^2}} \over {{r^2}}} = x > 0.\]
Xét \[f[x] = {{{{\left[ {1 + \sqrt {1 + x} } \right]}^3}} \over {4x}},f'[x] = {{{{\left[ {\sqrt {1 + x} + 1} \right]}^2}\left[ {x - 2 - 2\sqrt {1 + x} } \right]} \over {4.2{x^2}\sqrt {x + 1} }}.\]
Vì \[{{{{\left[ {\sqrt {1 + x} + 1} \right]}^2}} \over {4.2{x^2}\sqrt {x + 1} }} > 0\] nên khi xét dấu củaf[x], ta chỉ cần xét dấu của \[g[x] = x - 2 - 2\sqrt {1 + x} .\] Ta có \[g'[x] = 1 - {1 \over {\sqrt {x + 1} }}.\]
Dễ thấyg[x] > 0vì khi x > 0 thì \[{1 \over {\sqrt {x + 1} }} < 1,\] đồng thờig[x] = 0\[ \Leftrightarrow x = 8.\]
Vậyg[x]là hàm tăng trên miềnx > 0vàg[8] = 0nên
với \[0 < x \le 8\] thì \[g[x] \le 0;\]
với \[8 < x < + \infty \] thì g[x] > 0.
Bảng biến thiên củaf[x]
Vậy giá trị bé nhất của \[{{{V_1}} \over {{V_2}}}\] bằng 2.